Стереометрия. Аксиомы стереометрии.

Стереометрия Аксиомы стереометрии

Стереометрия изучает свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» объемный, пространственный, «метрео» – мерить.

Основные фигуры: точка, прямая, плоскость.

Наряду с основными фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности. Такие, как: куб, параллелепипед, призма, пирамида.

А также тела вращения: шар, сфера, цилиндр, конус.

Для обозначения точек как и в планиметрии используют прописные латинские буквы:

Прямую обозначают одной строчной латинской буквой и двумя прописными латинскими буквами:

F

l

B

A

Плоскость в стереометрии обозначают греческими буквами, например:

А на рисунках чаще всего плоскость изображают в виде параллелограмма. Но следует понимать и представлять себе данную геометрическую фигуру как неограниченную во все стороны.

При изучении в курсе стереометрии геометрических тел пользуются их плоскими изображениями на чертеже.

Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на плоскость.

Изображения конуса

Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т. д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит прикладное значение геометрии.

Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих

других областях науки и техники.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены в аксиомах. Существует множество аксиом стереометрии, в учебнике вам представлены три:

А 1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

C

На кнопку «i» можно нажать несколько раз.

A

B

4

Самый простой пример к аксиоме А 1 из повседневной жизни:

Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине.

Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка (четвертая «точка») не лежит в плоскости

пола, а висит в воздухе.

А 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

B

a

A

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

10

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Свойство, выраженное в аксиоме А 2 , используется для проверки «ровности» чертежной линейки.

Линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный, то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола.

Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

11

Следствия из аксиомы А 2 :

• Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.
• Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

a

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

N

12

А 3 . Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Самый простой пример к аксиоме А 3 из повседневной жизни является пересечение двух смежных стен комнаты.

a

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

12

Следствия из аксиом

Теорема

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Q

P

М

a

Теорема

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна

b

N

М

a

Задача 1

Назовите плоскости, в которых лежат прямые

РЕ, МК, DB , AB , EC

Назовите точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС

Назовите точки, лежащие в плоскостях А DB и DBC

D

K

P

M

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 8. На кнопку «i» нажмите несколько раз.

A

E

B

14

Задача 2

B 1

Q

C 1

Назовите точки, лежащие в плоскостях DCC 1 и BQC

Назовите плоскости, в которых лежит прямая АА 1

P

D 1

A 1

M

K

R

B

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 9.

A

D

14