Разработанное электронное учебное пособие рекомендуется для студентов первого курса, обучающихся по техническим специальностям, а так же будет полезно всем, изучающим дисциплину «Математика». Учебное пособие может быть использовано как на аудиторных занятиях, так и для самостоятельной работы студентов. Данное электронное учебное пособие посвящен обзору одного из разделов геометрии - стереометрии.
В настоящее время студенты прекрасно осознают необходимость применения компьютера в процессе обучения и в своей будущей профессиональной деятельности. Формирование основных общекультурных и профессиональных компетенций происходит быстрее в том случае, если учебные задачи, решаемые в рамках информационных технологий обучения, связаны с практической деятельностью будущего специалиста или представляют интерес в его сегодняшней учебной работе.
Пособие написано таким образом, чтобы студенты имели возможность самостоятельно изучать курс. Каждая глава теоретического материала начинается ее структурной схемой, позволяющей студенту составить целостное представление об изучаемом материале, увидеть взаимосвязь отдельных тем, понятий в теме, место темы в главе и курсе. После изучения темы студент в состоянии сам проверить свои успехи, обратившись к целям и заданиям для самоконтроля, а преподаватель легко может составить контролирующие материалы, например в тестовой форме, ориентируясь на сформулированные цели. Презентации по математике включают в себя дидактические материалы и содержат рисунки, схемы, определения и таблицы.
Диск предназначен для демонстрации учителем дидактического материала на уроках по математике с использованием интерактивной доски, мультимедийного проектора и других компьютерных демонстрационных комплексов.
Учебное пособие состоит из 107 слайдов, содержащих следующие разделы:
1. Основные аксиомы и определения.
2. Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве.
3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
4. Параллельность прямой и плоскости.
5. Параллельные плоскости.
6. Перпендикулярность прямой и плоскости.
7. Двугранный и трехгранный углы.
8. Перпендикулярность плоскостей.
9. Теоремы стереометрии.
10. Индивидуальные задания.
11. Тестовые задания.
Таким образом, в теоретический модуль электронного учебного пособия включены разделы учебной информации согласно стандартам обучения.
Созданное электронное пособие имеет следующие особенности:
Возможность построения простого и удобного механизма навигации в пределах электронного учебника;
Вспомогательный поисковый механизм в пределах электронного учебника, использующий гипертекстовые ссылки;
Возможность самоконтроля уровня знаний студента;
Возможность специального варианта структурирования материала;
Возможность введения адаптации проходимого материала пособия к уровню знаний студента, следствием чего является быстрый рост мотивации студента проходимым материалом;
Возможность адаптации и оптимизации пользовательского интерфейса под индивидуальные запросы обучаемого.
Включение в состав пособия интерактивных фрагментов для обеспечения оперативного диалога с обучаемым;
Презентабельное мультимедийное оформление пособия, которое включается в себя диалог на общедоступном языке.
Наличие элементов мультимедиа в структуре электронного пособия позволяет сделать пособие наглядным, передать сочетание различных видов информации. В процессе использования в ходе учебной деятельности электронное пособие выполняют широкие функциональные возможности, которые дают преимущества в сравнении с бумажным учебником. Помогает быстро найти информацию, обеспечивает мгновенную обратную связь, экономит время.
Каждая глава пособия содержит внутри себя также гиперссылки с материалом, при нажатии на гиперссылку осуществляется переход к содержанию материала. Разделы содержат разное количество лекций, поэтому при выборе теоретического раздела мы переходим к обзору той или иной лекции.
Раздел «Индивидуальные задания» содержит различные варианты заданий по стереометрии. Для просмотра этих заданий необходимо нажать на гиперссылку, которая находится в содержании учебного пособия, в результате чего, появится окно с индивидуальными заданиями.
Практический и контролирующий компонент электронного учебного ресурса состоит из следующих блоков:
индивидуальных заданий;
тестов.
Раздел тестовые задания состоит из следующих блоков:
Аксиомы стереометрии и следствия из них.
Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.
Параллельность прямых и плоскостей.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Перпендикуляр и наклонные.
Задания с выбором ответа позволяют проверить уровень теоретической подготовки студентов и сформированности необходимых умений и навыков. Задания, требующие полного решения, позволяют сделать анализ типичных ошибок с последующей работой над ними на практических занятиях. Также они позволяют анализировать рациональность решения и в целом проверить логику мышления студентов, их способность выбирать более краткий путь решения.
Литература, которой пользовались при создании пособия: 1. Математика – большой справочник для школьников и поступающих в вузы. Авторы разделов Аверьянов Д.И. Алтынов П.И. Дрофа, 1997г.; 2. Элементарная математика. Под редакцией В.В. Рыжкова, Москва, 1974 г.; 3. Геометрия, А.В.Погорелов, «Просвещение» 2005г.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Презентация по математике "Уроки стереометрии" »
Уроки стереометрии
Содержание
1. Основные аксиомы и определения.
2 . Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве.
3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
4. Параллельность прямой и плоскости.
5. Параллельные плоскости.
6 . Перпендикулярность прямой и плоскости.
7. Двугранный и трехгранный углы.
8. Перпендикулярность плоскостей.
9. Теоремы стереометрии.
10. Индивидуальные задания.
11. Тестовые задания.
А a
А a
Аα
Аα
a b
a ∩ b
Не имеют общих точек
α = β
α ׀׀ β
α ∩ β
a ∩ α
a α
a ׀׀ α
Две прямые в
пространстве
Лежат в одной
плоскости
Не лежат в
одной плоскости
Совпадают
Пересекаются
(в одной точке)
Скрещиваются
Не имеют общих точек
(параллельны)
Две прямые
Не имеют
общих точек
Имеют
общие точки
Имеют
единственную
общую точку
Имеют более
одной общей
точки
Не лежат
В одной
плоскости
Лежат в
одной плоскости
скрещиваются
= параллельны
= пересекаются
совпадают
Прямая и плоскость
Не имеют
общих точек
Имеют общие точки
= параллельны
одну
более одной
прямая лежит
= пересекаются
в плоскости
Две плоскости
Не имеют
общих точек
Имеют
общие точки
= параллельны
Не
совпадают
совпадают
= пересекаются
Две плоскости
Совпадают
Не совпадают
Не имеют
общих точек
Имеют
общие точки
= пересекаются
= параллельны
Через любые три точки, не лежащие
на одной прямой, проходит
одна и только одна плоскость
В
С
А
α
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
С
В
b
α
Прямая называется
параллельной плоскости,
а плоскость –
параллельной прямой,если они не имеют общих точек.
а
β
а׀׀β,β׀׀а
Две прямые, имеющие только одну общую точку, называютсяпересекающимися
а
М
М
а∩b= М
b
Две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, называютсяпараллельными.
а
b
α
Прямая, все точки которой принадлежат плоскости, называется прямой,лежащей в этой плоскости .
а
β
аβ
Прямая пересекает плоскость, если у них есть только одна общая точка.
а
В
α
а∩α=В
Две плоскости, не имеющие общих точек, называются параллельными
α
β
а׀׀β
Прямая называетсяперпендикулярной плоскости(а плоскость прямой), если прямая перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости.
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым,
лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
a
b
α
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
Перпендикуляром,опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Наклонной,проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.
А
В
С
α
Двугранным углом
называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называютсягранями,а ограничивающая их прямая —ребромдвугранного угла.
Линейным углом двугранного
угланазывается пересечение этого двугранного угла и плоскости перпендикулярной его ребру.
Трехгранным углом (аbс)называется фигура, составленная из трех плоских углов(аb), (bс)и(ас). Эти углы называютсягранямитрехгранного угла, а их стороны —ребрами.Общая вершина плоских углов называетсявершинойтрехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называютсядвугранными углами трехгранного угла.
Две пересекающиеся плоскости называютсяперпендикулярными,если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по
перпендикулярным прямым.
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна и только одна плоскость
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость
Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость
Если точкиA,B,C,Dне лежат в одной плоскости, то прямыеABиCDскрещиваются
Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость
Признак параллельности прямых
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой
Признак параллельностипрямой и плоскости
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости
Если одна из пересекающихся плоскостей проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой.
Если каждая из пересекающихся плоскостей проходит через одну из двух параллельных прямых, то прямая пересечения плоскостей параллельна этим прямым
Если две пересекающиеся плоскости пересечены третьей плоскостью по параллельным прямым, то линия их пересечения параллельна этим прямым
Если две пересекающиеся плоскости пересечены третьей плоскостьюпо пересекающимся прямым,то точка их пересечения лежитна линии пересечения плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны
Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой
Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то прямые пересечения параллельны
Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость
Если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость
Через точку, не лежащую на плоскости, можно провести одну и только одну плоскость, параллельную данной
Если (ортогональная) проекция наклонной перпендикулярна прямой на плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой.
Если наклонная перпендикулярна некоторой прямой плоскости, то и (ортогональная) проекция наклонной на эту плоскость перпендикулярна этой прямой.
Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости,то она перпендикулярна этой плоскости
Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости,то и линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости
Угол, образованный наклонной и плоскостью, не больше угла между этой наклонной и любой прямой плоскости.
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на эту плоскость.
Карточка 1
Точки A , B , C , D не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые AB и CD пересекаться?
Через точки K , L и середину N отрезка KL проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках K 1 , L 1 , N 1 соответственно. Найдите длину отрезка NN 1 , если KK 1 = 15 м, LL 1 = 5 м, причем отрезок KL не пересекает плоскость α.
Карточка 2
Точки K , L , M , T не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые KL и MT пересекаться?
Через точки A , B и середину N отрезка AB проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках A 1 , B 1 , N 1 соответственно. Найдите длину отрезка NN 1 , если AA 1 = 10 м, BB 1 = 8 м, причем отрезок AB не пересекает плоскость α.
Карточка 3
Прямые b и c пересекаются. Прямая f является скрещивающейся с прямой b . Могут ли прямые с и f быть параллельными? Ответ обоснуйте.
Плоскость β проходит через середины боковых сторон AB и C D трапеции ABCD – точки S и P . Докажите, что AD || β . Найдите BC , если AD =6 м, SP =9 м.
Карточка 4
Прямые а и b пересекаются. Прямая k является скрещивающейся с прямой а . Могут ли прямые b и k быть параллельными? Ответ обоснуйте.
Плоскость β проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции A BCD – точки S и P . Докажите, что AD || β . Найдите BC , если AD =12 см, SP =10см.
Карточка 1
Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости β, пересекающие её в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 8 см, ВD= 5 см, СD= 4 см и отрезок АВ не пересекает плоскость β.
Карточка 2
Через точки М и К проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие её в точках Т и L соответственно. Найдите расстояние между точками М и К, если МТ= 12 см, КL = 8 см, ТL = 3 см и отрезок МК не пересекает плоскость α.
Карточка 3
Телефонная проволока длиной 10 м. протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 12 м. от поверхности земли, к дому, где её прикрепили на высоте 18 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.
Карточка 4
Телефонная проволока длиной 10 м. протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 14 м. от поверхности земли, к дому, где её прикрепили на высоте 22 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.
Карточка 1
Точка отстоит от плоскости на 12 см; из неё проведена к плоскости наклонная, равная 13 см. Чему равна проекция этой плоскости?
CDEK – квадрат, диагональ которого равна 8 см. BD перпендикулярно плоскости CDE. Найдите расстояние от точки B до плоскости CDE, BK=10 см.
Карточка 2
Точка отстоит от плоскости на 8 см; из неё проведена к плоскости наклонная, равная 10 см. Чему равна проекция этой плоскости?
CDEK – квадрат, диагональ которого равна 12 см. BD перпендикулярно плоскости CDE. Найдите расстояние от точки B до плоскости CDE, BK=13 см.
Параллельность прямых и плоскостей
№ 1
Через концы отрезка СD и его середину К проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках С1, D1 и К1.Найдите длину отрезка КК1, если отрезок СD не пересекает плоскость и СС1=8 см, DD1=10 см.
СС1=10 см, DD1=12 см.(второй вариант)
№ 2
Плоскость β проходит через основание КL трапеции КМNL. А и В – середины боковых сторон трапеции. Докажите, что АВ||β. Найдите КL, если МN=5 см, АВ = 7 см.
МN=7 см, АВ = 9 см. (второй вариант)
№ 3
Даны параллельные плоскости β и γ. Через точки С и D плоскости проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость γ в точках С1 и D1. Найдите С1D1, если СD=9 см.
СD=10 см. (второй вариант)
№ 4
Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
№ 5
Параллельные прямые а и b пересекают одну из двух параллельных плоскостей в точках А1 и В1, а другую в точках А2 и В2 соответственно. Найдите
Перпендикулярность прямых и плоскостей. № 1
1. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие её в точках Си Д соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если отрезок АВ не пересекает плоскость α и АС = 10 см, ВД = 4 см, СД = 8 см.
(Второй вариант: АС = 10 см, ВД = 2 см, СД = 6 см.)
№ 2
Точка А отстоит от плоскости на расстояние 4 м. Найти длину наклонной, проведенной из этой точки под углом 30° к плоскости.
(Второй вариант: Точка А отстоит от плоскости на расстояние 6 м.)
№ 3
Дан прямоугольник АВСД. Через точку О пересечения его диагоналей проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от т. К до вершин прямоугольника, если ОК =24 см, АВ =12 см, АД =16 см.
Вопросы
1) Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве?
2) Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости?
3) Назовите основные фигуры в пространстве?
4) Могут ли прямая и плоскость иметь две общие точки?
5) Сколько плоскостей можно провести через три точки?
6) Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку?
7) Сколько может быть общих точек у прямой и плоскости?
8) Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку?
Задания
Верно ли, что две прямые называются перпендикулярными в пространстве, если они пересекаются под углом 180º?
Верно ли, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны?
Верно ли, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую?
Верно ли, что перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, больше любой наклонной, проведенной из той же точки к плоскости?
Верно ли, что если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости?
Верно ли утверждение: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости?
Тестовые задания
Аксиомы стереометрии и следствия из них.
Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.
Параллельность прямых и плоскостей.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Перпендикуляр и наклонные.
Тема «Аксиомы стереометрии и следствия из них».
Вариант 1.
1. Какое из следующих утверждений верно?
а) любые четыре точки лежат в одной плоскости; б) любые три точки не лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость; д) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.
2. Сколько общих точек могут иметь две различные плоскости?
а) 2; б) 3; в) несколько; г) бесконечно много; д) бесконечно много или ни одной.
3. Точки А, В, С лежат на одной прямой, точка D не лежит на ней. Через
каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных
плоскостей при этом получилось?
а) 2; б) 3; в) 1; г) 4; д) бесконечно много.
4. Если три точки не лежат на одной прямой, то положение плоскости в
пространстве они:
а) не определяют в любом случае; б) определяют, но при дополнительных условиях;
в) определяют в любом случае; г) ничего сказать нельзя; д) другой ответ.
5. Выберите верное утверждение.
а) Если одна точка прямой лежит в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; б) через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна; в) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя; г) любые две плоскости не имеют общих точек; д) если четыре точки не лежат в одной плоскости, то какие-нибудь три из них лежат на одной прямой.
Тема «Аксиомы стереометрии и следствия из них».
Вариант 2.
1.Что можно сказать о взаимном расположении двух плоскостей, которые имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой?
а) Пересекаются; б) ничего сказать нельзя; в) не пересекаются; г) совпадают; д) имеют три общие точки.
2. Какое из следующих утверждений верно?
а) Если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости; б) прямая, лежащая в плоскости треугольника, пересекает две его стороны; в) любые две плоскости имеют только одну общую точку; г) через две точки проходит плоскость и притом только одна; д) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две прямые, содержащие стороны треугольника.
3. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?
а) Никогда; б) могу, но при дополнительных условиях; в) всегда имеют; г) нельзя ответить на вопрос; д) другой ответ.
4. Точки K, L, M лежат на одной прямой, точка N не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось?
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) бесконечно много.
5. Выберите верное утверждение.
а) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна; б) если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; в) если две плоскости имеют общую точку, то они не пересекаются; г) через прямую и точку, лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна; д) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя.
Тема «Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми».
Вариант 1.
1. Выясните взаимное расположение прямых АС и КС.
а) Параллельны; б) определить нельзя; в) скрещиваются; г) пересекаются; д) совпадают в любом случае.
2. Точка М не лежит в плоскости треугольника ABC, K – середина MB. Каково взаимное расположение прямых MA и CK?
3. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Что можно сказать о прямых а и b?
а) Взаимное расположение точно определить нельзя; б) скрещиваются или параллельны; в) параллельны или пересекаются; г) совпадают; д) пересекаются или скрещиваются.
4. Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда:
а) прямые а и с пересекаются; б) прямая с лежит в плоскости α ; в) прямые а и с скрещиваются; г) прямая b лежит в плоскости α ; д) прямые а и с параллельны.
5. В треугольнике ABC угол А на 30˚ больше суммы углов В и С. Найдите угол между прямыми АС и ВС.
3. Прямые а и с скрещиваются с прямой b. Что можно сказать о прямых а и c?
а) параллельны или пересекаются; б) скрещиваются или параллельны; в) взаимное расположение определить точно нельзя; г) пересекаются или скрещиваются; д) совпадают.
4. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β. Прямая b параллельна прямой а, тогда:
а) прямые b и с пересекаются; б) прямая b лежит в плоскости β ; в) прямые b и с скрещиваются; г) прямые b и с параллельны; д) прямая а лежит в плоскости β.
5. В треугольнике ABC угол С на 40˚ больше суммы углов В и А. Найдите угол между прямыми АС и ВС.
1. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если прямая а лежит в плоскости α, а прямая b параллельна этой плоскости?
а) Параллельны или пересекаются; б) скрещиваются или пересекаются; в) параллельны или скрещиваются; г) определить нельзя; д) совпадают.
2. Прямая а параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно?
а) Прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α ; б) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α; в) прямая а скрещивается со всеми прямыми плоскости α; г) прямая а имеет общую точку с плоскостью α; д) прямая а лежит в плоскости α.
3. Даны треугольник АВС и плоскость α, причем АВ║α,АС║α, тогда прямая ВС и плоскость α:
а) параллельны; б) пересекаются; в) прямая лежит в плоскости; г) определить нельзя; д) другой ответ.
4. Через концы отрезка АВ , не пересекающего плоскость α и точку С – середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А1, В1 ,С1 соответственно. Найдите длину отрезка СС1, если АА1 = 12, ВВ1 = 6.
а) 6; б) 9; в) 6√2; г) 9√2; д) другой ответ.
5. Прямая а параллельна прямой b и плоскости α. Выберите верное утверждение.
а) Прямая b параллельна плоскости α ; б) прямая b лежит в плоскости α; в) прямая b пересекает плоскость α; г) прямая b лежит в плоскости α или параллельна ей; д) прямая b скрещивается с плоскостью α.
Тема «Параллельность прямых и плоскостей».
Вариант 2.
1. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если обе они параллельны одной плоскости?
а) Только параллельны; б) определить нельзя; в) все случаи взаимного расположения; г) только скрещиваются; д) только пересекаются.
2. Прямая b параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно?
а) Прямая b параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α; б) прямая b параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости α; в) прямая b пересекается со всеми прямыми плоскости α; г) прямая b пересекается с некоторой прямой плоскости α; д) любая плоскость, проходящая через прямую b, пересекает плоскость α.
3. Даны трапеция ABCD и плоскость α. Диагонали трапеции AC и BD параллельны плоскости α. Тогда прямая BAи плоскость α:
а) Параллельны; б) пересекаются; в) определить нельзя; г) прямая лежит в плоскости; д) другой ответ.
4. В треугольнике АВС точки Fи E принадлежат сторонам СВ и АВ соответственно, причём ВЕ : ЕА = 2 : 3. Через эти точки провели плоскость, параллельную АС. Найдите отношение BF : FC.
5 . Прямая а параллельна плоскости α, точка М принадлежит этой плоскости. Выберете верное утверждение.
а) Точка М принадлежит прямой а; б) любая прямая, проходящая через точку М , будет параллельна прямой а; в) в плоскости α существует прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой а; г) существует прямая, не лежащая в плоскости α, которая проходит через точку М и параллельная прямой а; д) в плоскости α существуют две прямые, проходящие через точку М и параллельные прямой а.
Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости».
Вариант 1.
1. Какое из следующих утверждений неверно?
а) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой;
б) прямая называется параллельной плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости;
в) две прямые, перпендикулярные к плоскости, параллельны;
г) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости;
д) через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
2. Две скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны. Чему равен угол между ними?
4. Дан правильный треугольник ABC со стороной, равной 3. Точка O – центр треугольника, OM – перпендикуляр к его плоскости,OM = 1. Найдите расстояния от точки Mдо вершин треугольника. а) ; б) определить нельзя; в) 3; г) 1; д) 2.
5.Прямая m перпендикулярна к прямым a и b, лежащим в плоскостиα, но m не перпендикулярна к плоскостиα. Выясните взаимное расположение прямыхaи b.
а) Если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости;
б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает;
в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны;
г) если две прямые перпендикулярны к плоскости ,то они параллельны;
д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
3. Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?
а) Да; б) да, но при определенных условиях; в) определить нельзя; г) нет; д) другой ответ.
4. ABCD – квадрат со стороной, равной, O – точка пересечения его диагоналей, OE – перпендикуляр к плоскости ABC, OE =. Найдите расстояние от точки E до вершин квадрата. а) Определить нельзя; б) ; в) ; г) 1; д) 2.
5. Прямая а перпендикулярна к прямым с и b, лежащим в плоскостиα, прямая а перпендикулярна к плоскостиα. Выясните взаимное расположение прямых с и b.
а) Параллельны; б) пересекаются; в) параллельны или пересекаются; г) совпадают; д) определить нельзя.
Тема «Перпендикуляр и наклонные».
Вариант 1.
1. Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 18см и 2см. Их проекции на эту плоскость относятся как 3 : 4. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
а) 6см; б) 30см; в) 6см; г) 3см; д) 2см.
2. Какое из следующих утверждений неверно?
а) Перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют разную длину;
б) расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной плоскости; в) равные наклонные, проведенные к плоскости из одной точки, имеют разные проекции; г) проекцией точки на плоскость является точка; д) углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и неперпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
3. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC , если AB = 6см.
а) 4см; б) 16 - 2см; в) 8см; г) 6см; д) 2см.
4. Через точку А, удаленную от плоскости α на 4см , проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью α , если длина отрезка АВ равна 6см.
5. Из точки к плоскости проведены две равные наклонные. Величина угла между этими наклонными равна 60 0 . Величина угла между их проекциями равна 90 0 . Найдите угол между каждой наклонной и ее проекцией.
1. Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 18см и 2см. Их проекции на эту плоскость относятся как 4 : 3. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
а) 34см; б) 2см; в) 2см; г) 2см; д) 10см.
2. Какое из следующих утверждений неверно?
а) Перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины;
б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая; в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин; г) прямая, проведенная к плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции; д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.
3. Расстояние от точки К до каждой из вершин квадрата ABCD равно 4см. Найдите расстояние от точки K до плоскости ABC , если AB = 2см.
а) 4 - см; б) 14см; в) 2см; г) см; д) 2см.
4. Через точку А, удаленную от плоскости α на 3см , проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В. Угол между прямой АВ и плоскостью α равен arcsin 0,6. Найдите длину отрезка АВ.
а)4см; б)3см; в)6см; г)50см; д)5см.
5. Из точки к плоскости проведены две равные наклонные. Величина угла между этими наклонными равна 600. Найдите величину угла между их проекциями, если угол между каждой наклонной и ее проекцией равен 450.
