Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем Алгебра 7 класс

Орехова Татьяна Константиновна

Учитель математики

ГБОУ ООШ №132 Калининский район

Исторические сведения

Диофант Александрийский описывает первые натуральные степени чисел так:

«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты , получающиеся от умножения не­которого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы ,  получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы , получающиеся от умно­жения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

Нидерландский математик Симон Стевин (1548—1620). обозначал неиз­вестную величину кружком О ,  внутри которого указывал показатели степени. Стевин предложил называть степени по их показателям - четвёртой, пятой и т.д. и отверг Диофантовы составные выражения «квадрато-квадрат», «квадрато-куб».

Французский математик Рене Декарт в 1637 ввел современное обозначение степеней а? , а? ,... Декарт считал, что а∙а не занимает больше места, чем а 2  и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей .

Определение степени с натуральным показателем

Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен а

а∙а∙а∙а … а∙а∙а

а n

n раз повторяющийся множитель

• а- основание степени
• n- показатель степени

• y ∙ y ∙ y ∙ y ∙ y=y 5

• (x-2)∙(x-2)∙(x-2)=(x-2) 3

• 4/9 ∙ 4/9= (4/9) 2

Свойства степеней с натуральным показателем

Действия со степенями

Умножение степеней

x 2 ∙ x 4 = x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x=x 6

x 2 ∙ x 4 = x 2+4 = x 6

Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с этим же основанием и показателем, равным суммой показателей .

а n ∙а m = a n+m

n Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей. Чтобы разделить степень на степень с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним и от показателя делимого вычесть показатель делителя." width="640"

Действия со степенями

Деление степеней

b 6 : b 2 =

(b ∙ b ∙ b ∙ b ∙ b ∙ b):(b ∙ b)=

b ∙ b ∙ b ∙ b=b 4

b 6 : b 2 =b 6-

-2 =b 4

b≠0

a m :a n =a m-n a≠0 m n

Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей.

Чтобы разделить степень на степень с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним и от показателя делимого вычесть показатель делителя.

Действия со степенями

Возведение степени в степень

(Y 4 ) 2 =

y 4 y 4= =y 4+

4 =y 8

=y 8

(Y 4 ) 2 =y

4∙2

(a n ) m =a nm

При возведении степени в степень основание надо оставить прежним, а показатели перемножить .

Действия со степенями

Возведение в степень произведения

(2xy) 4 =(2xy)∙(2xy)∙(2xy)∙(2xy)=2 4 x 4 y 4

(ab) n =a n ∙b n

Степень произведения нескольких множителей равна произведению степеней каждого множителя.

Чтобы возвести в степень несколько множителей, надо каждый множитель возвести в заданную степень .

Действия со степенями

Возведение в степень дроби

(3/х) 5 =(3/х)(3/х)(3/х)(3/х)(3/х)=

3 5 /х 5

(a/b) n =a n /b n b≠0

При возведении дроби в степень числитель и знаменатель возводится в заданную степень и записывается соответственно в числитель и знаменатель дроби.

Проверь себя

Вместо звездочек * вставить такой показатель, чтобы получилось верное равенство

1. х 3 ∙х * =х 15

2. С*:С 7 =С 3

3. (У 7 )*=У 21

4. (6bc)*=6 4 b 4 c 4

5. (7/d)*=7 9 /d 9

12

10

3

4

9

Рене Декарт (1596-1650)

Спасибо за внимание!