Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем

Солодова Елена Сергеевна

учитель математики СОШ №24 имени Бориса Рукавицына

г. Рыбинск

Что такое степень?

Степенью  называют произведение из нескольких одинаковых множителей

2 × 2 × 2 = 8

Левую часть этого равенства   можно сделать короче – сначала записать повторяющийся множитель и указать над ним сколько раз он повторяется. Повторяющийся множитель в данном случае это 2. Повторяется он три раза. Поэтому над двойкой записываем тройку:

2 3  = 8

Это выражение читается так: « два в третьей степени равно восемь»  или « третья степень числа 2 равна 8».

Число, которое повторяется называют  основанием степени . В выражении  2 3  основанием степени является число  2 .

А число, которое написано над числом 2 называют  показателем степени . В выражении  2 3  показателем степени является число 3. Показатель степени показывает сколько раз повторяется основание степени.

Саму операцию перемножения одинаковых множителей называют  возведением в степень

Отметим, что в данном уроке мы рассматриваем  степени с натуральным показателем .

Это вид степени, показателем которой является натуральное число.

Напомним, что натуральными называют целые числа, которые больше нуля.

Например, 1, 2, 3 и так далее.

Степень числа  a  с натуральным показателем  n  — это выражение вида  a n ,

которое равно произведению  n  множителей, каждый из которых равен  a

Следует быть внимательным при возведении числа в степень

Часто по невнимательности человек умножает основание степени на показатель.

Дополнительно следует упомянуть, что степень числа с показателем 1, есть само это число:

Например, число 5 в первой степени есть само число 5

Соответственно, если у числа отсутствует показатель, то надо считать, что показатель равен единице

. Например, числа  1, 2, 3  даны без показателя, поэтому их показатели будут равны единице

. Каждое из этих чисел можно записать с показателем 1

А если возвести 0 в какую-нибудь степень, то получится 0. Действительно,

сколько бы раз ничего не умножалось на само себя получится ничего. Примеры:

А выражение 0 0   не имеет смысла .

Возведение в степень числа 10

Чтобы возвести в степень число 10, достаточно дописать после единицы количество нулей, равное показателю степени.

Например, возведем число 10 во вторую степень. Сначала запишем само число 10 и в качестве показателя укажем число 2

10 2

Теперь ставим знак равенства, записываем единицу и после этой единицы записываем два нуля, поскольку количество нулей должно быть равно показателю степени

10 2  = 100

Значит, число 10 во второй степени это число 100. Связано это с тем, что число 10 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 10

10 2  = 10 × 10 = 100

Возведение в степень отрицательного числа

При возведении в степень отрицательного числа, его обязательно нужно заключить в скобки.

(−2) 2  = (−2) × (−2) = 4

Если бы мы не заключили в скобки число  −2 , то получилось бы, что мы вычисляем выражение  −2 2 ,

которое  не равно   4 .

− 2 2   = −4

Скобки же имеют самый высокий приоритет выполнения.

Пример . 

(−2) 3  = (−2) × (−2) × (−2) = −8

(−2) 4  = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Легко заметить, что при возведении в степень отрицательного числа может получиться

либо положительный ответ , либо отрицательный

Знак ответа зависит от показателя исходной степени.

Если показатель степени чётный, то ответ будет положительным . Если показатель степени нечётный,

ответ будет отрицательным.

Нахождение значений выражений

При нахождении значений выражений, не содержащих скобки, возведение в степень будет выполняться в первую очередь, далее умножение и деление в порядке их следования, а затем сложение и вычитание в порядке их следования.

Пример

.

2 + 5 2

Сначала выполняется возведение в степень.

В данном случае во вторую степень возводится число 5 — получается 25.

Затем этот результат складывается с числом 2

2 + 5 2  = 2 + 25 = 27

Если выражение содержит скобки, то сначала нужно выполнить действия в этих скобках,

далее возведение в степень, затем умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Найти значение выражения 

Умножение степеней

Для любого  a  и показателей  m  и  n  выполняется следующее равенство:

Его можно прочитать так: « При умножении степеней с одинаковыми основаниями,

основание оставляют без изменений, а показатели складывают» .

Отметим, что данное преобразование можно применять при любом количестве степеней.

Главное, чтобы основание было одинаковым.

В некоторых задачах достаточным бывает выполнить соответствующее преобразование

не вычисляя итоговую степень. Это конечно же очень удобно, поскольку вычислять

большие степени не так-то просто.

Пример 1 .

Пример 2 . Выполнить умножение  aa 3 a 2 a 5

Показатель первого сомножителя равен единице. Для н а глядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:

Возведение в степень произведения

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в указанную степень каждый

множитель этого произведения и перемножить полученные результаты.

Принцип работы данного правила основан на определении степени, которое было

дано в самом начале.

Данное свойство справедливо для любого количества множителей.

Следующие выражения также справедливы:

Пример: (3 xyz ) 3  = 3 3 x 3 y 3 z 3  = 27 x 3 y 3 z 3

Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание оставляют без изменений,

а показатели перемножают:

( a n ) m  = a n × m

Пример 1: (2 3 ) 2  = 2 3 × 2  = 2 6  = 64

Данное правило основано на предыдущих правилах: возведении в степень

произведения и основного свойства степени.

Пример 2:

Деление степеней

Если при делении степеней основания окажутся одинаковыми, то основание можно оставить

без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Таким образом, при делении степеней с одинаковыми основаниями выполняется

следующее равенство:

Может случиться и так, что одинаковыми могут оказаться не только основания, но и показатели.

В этом случае в ответе получится единица.

В математике принято считать, что любое число в нулевой степени есть един ица:

Деление степеней можно записывать и в виде дроби

Возведение в степень обыкновенных дробей

Чтобы возвести в степень обыкновенную дробь, нужно возвести в указанную степень

числитель и знаменатель этой дроби.

Если не брать в скобки всю дробь, то это равносильно возведению в степень

только числителя данной дроби 

Вообще, для любого  a  и  b  ≠ 0  выполняется следующее равенство:

Это тождественное преобразование называют 

возведением в степень обыкновенной дроби .

Возведение в степень десятичных дробей

При возведении в степень десятичной дроби её необходимо заключить в скобки.

Например, возведём во вторую степень десятичную дробь  1,5

Допускается переводить десятичную дробь в обыкновенную и возводить в степень

эту обыкновенную дробь.

Решим предыдущий пример, переведя десятичную дробь в обыкновенную:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1.  Найдите значение выражения:

Задание 7.  Представьте в виде степени произведение: