Способы решения квадратных уравнений

Способы решения квадратных уравнений

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

У. Сойер

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений. В учебнике алгебры для 8 класса учащиеся знакомятся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывают их решение по формулам. Для облегчения работы, возникает вопрос-«Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений?

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики очень часто учащиеся встречаются с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче ОГЭ.

Цель работы: научиться решать квадратные уравнения, изучить различные методы их решения.

Исходя из данной цели, были поставлены следующие задачи:

- изучить историю развития квадратных уравнений; - рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

- выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

- научиться решать квадратные уравнения различными способами.

История развития квадратных уравнений.

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются вот такие квадратные уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

2. Квадратные уравнения в Греции или как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет изложения алгебры в системе, однако в ней содержится системный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Например: «Найти два числа, зная, что их сумма равна 40, а произведение - 300»

Диофант рассуждает: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 300, а 400. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 20 + х , другое же меньше, т.е. 20 - х . Разность между ними 2х . Получает: (20 + х)(20 - х) = 300

400 - х 2 = 300 х 2 - 100 = 0 Отсюда х = 10 . Одно из искомых чисел равно 30 , другое 10 . Решение х = -10 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с,

было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

О теореме Виета

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равно D ». Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном.

На языке современной алгебры: (а + b)х - х 2 = ab, т.е.

х 2 - (а + b)х + аb = 0, то

х 1 = а, х 2 = b.

II. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.

В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 .

1. Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

х + 12= 0 или х – 2=0

х=-12 х=2 Ответ: -12; 2.

Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2• х • 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

тогда, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0,

(х + 3) 2 = 16.

х + 3=4 или х + 3 = -4

х 1 = 1 х 2 = -7 Ответ: 1; -7.

Решение квадратных уравнений по формулам .

Решение уравнений с использованием теоремы Виета.