Симметрия в алгебре

ГБОУ СПО "Трубчевский политехнический техникум"

Низикова Зоя Константиновна

Преподаватель математики

Симметрия

в

Алгебре

Симметрические многочлены

“ Симметрия”

Симметрия (от греч. symmetria — соразмерность), Пропорциональность, соразмерность в расположении частей целого в пространстве, полное соответствие (по расположению, величине) одной половины целого другой половине.

Симметрия в живой природе, неживой природе, архитектуре и символизме

Известный немецкий математик нашего столетия Герман Вейль дал определение симметрии таким образом:

“ Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство”.

Герман Клаус Гуго Вейль — немецкий математик и физик-теоретик. Лауреат премии Лобачевского (1927 год).

Примеры числовых симметрий

• В записи чисел: 101, 303, 54045, 245606542

• Симметрия выражения:

• Палиндроматика:

42 + 35 = 53 + 24 41 – 32 = 23 – 14

53 + 24 = 42 + 35 52 – 43 = 34 – 25

53 + 46 = 64 + 35 63 – 54 = 45 – 36

75 + 68 = 86 + 57 74 – 65 = 56 – 47

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму.

Примеры симметрии графиков

Графики чётной функции – на всей области определения симметричен оси OY.

Примеры симметрии графиков

Графики нечётной функции – симметричен относительно начала координат точки 0.

Симметрические выражения

Симметричные выражения с двумя переменными:

Если заменить то получим

Значения не меняются при взаимной замене переменных

Симметрические выражения применяются при решении задач на применение теоремы Виета

Например:

Найти:

• Квадрат суммы корней
• Квадрат разности корней
• Сумму квадратов корней
• Сумму кубов корней

Симметрические выражения применяются при решении уравнений высших степеней вида:

Элементарные симметрические многочлены

Симметрические суммы

Выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены

Выражение степенных сумм через и

Алгоритм решения

Решение симметричных систем управлений

• Перейти к новым неизвестным

• Найти значения

• Найти значение первоначальных неизвестных и

Связь

Между квадратным уравнением

Системой уравнений

Если - корни уравнения, то система имеет два решения

И других решений не имеет

Обратно: Если – решение системы, то числа a и b – корни квадратного управления.

Пример решения системы симметрических уравнений

Положим:

Получим:

Далее:

Решение:

Симметрические многочлены применяются при решении:

• Систем симметрических уравнений
• Неравенств
• Возвратных уравнений
• Освобождение от иррациональности в знаменателях
• Разложение на множители
• Доказательств тождеств и уравнений алгебраических выражений

Преимущества:

• Понижают степень
• Упрощают вычисления

Спасибо за внимание!