Решение задач по теореме Пифагора

nТеорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индийцам. За восемь веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индийцам под названием «правила веревки» и использовалась ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель – моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теореме Пифагора»

теорема пифагора

Захарина Ольга Михайловна.

МБОУ «Батагайская СОШ»,

п. Батагай

Ее знали в Китае, Вавилонии, Египте. ( за 1200 лет) до Пифагора

Историческая справка

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.

Это одна из самых известных теорем древности, называемая теоремой Пифагора. Ее и сейчас знают практически все, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания «о пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота – красота – значимость

Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индийцам. За восемь веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индийцам под названием «правила веревки» и использовалась ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель – моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие.

Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индийцам. За восемь веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индийцам под названием «правила веревки» и использовалась ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель – моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие.

Во Франции и некоторых областях Германии в средневековье теорему Пифагора почему-то называли «мостом ослов». У математиков арабского Востока эта теорема получила название «теоремы невесты». Дело в том, что в некоторых списках «Начал» Евклида эта теорема называлась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. Но словом эти греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых женщин, и невест. При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимание на чертеж, перевел слова «нимфа» как «невеста», а не «бабочка». Так появилось ласковое название знаменитой теоремы – «теорема невесты».

Формулировка теоремы

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Доказательство теоремы

Дано:

АВС, о , АВ = с, ВС = а, АС = в

Доказать: с 2 = а 2 + в 2

Доказательство:

1. Достроим

АВС до квадрата СКРД со стороной ( а + в );

S СКРД = ( а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2

АКЕ =

МДВ ( по двум катетам )

ВСА =

ЕРМ =

S ВСА = S АКЕ = S ЕРМ = S МДВ = ав/2

3. ВАЕМ – квадрат, S ВАЕМ = c 2

4. S СКРД = S ВАЕМ + S ВСА + S АКЕ + S ЕРМ + S МДВ

5. ( а + в) 2 = с 2 + 4 * ав/2

а 2 + 2ав + в 2 = с 2 + 2ав, откуда

с 2 = а 2 + в 2

. В некоторых странах в средние века, чтобы получить ученое звание магистра, нужно было изобрести свое собственное доказательство этой теоремы, поэтому существует так много ее доказательств. В книге английского педагога Е.Лумиса, например, обсуждаются и классифицируется 370 доказательств теоремы Пифагора. С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства не сохранилось никаких следов.

Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе
Теорема Пифагора ( другая формулировка)

Именно так выглядела классическая формулировка теоремы. Картинка, иллюстрирующая теорему Пифагора, была ранее своеобразным символом геометрии, а в среде российских гимназистов получила название « Пифагоровы штаны» . Саму теорему они переиначили так: «Пифагоровы штаны на все стороны равны ». И в этой шуточной формулировке запоминали ее на всю жизнь.

Запишите теорему Пифагора для треугольника МНР
Н

45 
HP²=MH²+ MP²
5см
45 
М
Р
5 см

Найдите неизвестные элементы в треугольнике:
В
60 
12 см
6см
30 
С
А
AB²=AC²+ BC²
AC²=AB²- BC², AC²= 12²-6²=144-36= =108 AC =6  3

Найдите недостающие стороны прямоугольного треугольника, если а и в его катеты, а с -гипотенуза

а
1
в
2
с
4
10
3
5
8
4
12
2
17
2
3
 244
15
2  2

Веревочный треугольник
3, 4, 5

задача индийского математика XII в. Бхаскары
«На берегу реки рос тополь одинокий
Вдруг ветра порыв его ствол
надломал.
Бедный тополь упал.
И угол прямой с теченьем реки его
ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте
река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от
ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»

Рисунок к задаче

Задача 1 :«На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну».
Решение:
13 2 – 12 2 = 169 - 144 = 25 ;
Так как
25 = 5 2 , то
Отклонение равно
5 (футов)

Задача 2. Случися некоему человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лестницу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать

Задача из «Арифметики» Магницкого
В

АВ²= АС²+ ВС², АС² = АВ²-ВС²
АС²=125²-117²
125 стоп
117
стоп
АС²=(125+117)(125 -117)=
= 242  8 = 121  2  4  2
АС =11  2  2= 44(стопы)
С
А
?

заключение
Пребудет вечной истина, как скоро Поэтому всегда с тех самых пор,
Ее познает слабый человек! Чуть истина рождается на свет,
   И ныне теорема Пифагора Быки ревут, ее почуя ,вслед.
Верна, как и в его далекий век.   Обильно было жертвоприношенье Они не в силах свету помешать ,
Богам от Пифагора. Сто быков А могут лишь закрыв гдрожать
Он отдал на закланье и сожженье От страха, что вселил в них
За света луч, пришедший с облаков.      Пифагор