Признаки делимости натуральных чисел

ПРОЕКТ

«Признаки делимости натуральных чисел »

Выполнила:

Бобровская Елизавета, ученица 9-А класса

ГБОУ «Школа № 80 г. о. Донецк»

Руководитель:

Лапко И.В.

учитель математики

«Математика полезна тем, что она трудна»

Александров А.Д.

Содержание

• Факты из истории математики

• Признаки делимости на 2,3,5,9,10

• Признаки делимости натуральных чисел на 7,8, 11, 12, 13, 14, 19.

• Вывод

Факты из истории Математики

• 1. При́знак дели́мости  —  алгоритм , позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному [ Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком  Леона́рдо Пиза́нским (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи. над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена».

• ЭРАТОСФЕН (около 275–194 до н.э.), один из

самых разносторонних ученых античности.

Эратосфен занимался самыми различными

вопросами - ему принадлежат интересные

исследования в области математики, астрономии

и других наук. Трактаты Эратосфена были

посвящены решению геометрических и

арифметических задач. Самым знаменитым

математическим открытием Эратосфена стало

так называемое «решето», с помощью которого

находятся простые числа.

Признак делимости чисел на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа.

Например: 172, 94,67 838, 1670.

Например: число 52 738  делится  на 2, так как последняя цифра 8 - четная; 7691 не делится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.

Например:

39 (3 + 9 = 12; 12 : 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; = 7).

21:3=7)

Признак делимости чисел на 5

На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.

Например: 125, 10 720,10655 делятся на 5, а

124, 187657, 3567906 не делятся на 5.

Признак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.

Например: 1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18 : 9 = 2).

Признак делимости чисел на 10

На 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 0.

Например: 30, 980,20070 делятся на 10, а 655,

58009, 6432 не делятся на 10.

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:124 (24 : 4 = 6);

103 456 (56 : 4 = 14).

Признак делимости на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).

Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9 : 3 = 3).

Признак делимости чисел на 8

На 8 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8

Например :

Число 853 000 заканчивается тремя нулями, значит, оно делится и на 8

Число 381 864 делится на 8, так как число, образованное тремя последними цифрами 864 делится на 8.

Признаки делимости на 11

Надо из суммы всех цифр, занимающих четные места вычесть сумму цифр, занимающих нечетные места; если в разности получится 0 либо число ( положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае наше число не делится без остатка на 11.

Например: 87635064

8+6+5+6=25 7+33+0+4=14

25-14=11

Значит, данное число делится на 11.

Признак делимости на 25

На 25 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 25

Пример:

Число 97300 заканчивается двумя нулями, значит, оно делится на 25

Номер автомашины

Прогуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математиками, каждый из них приметило некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что первые цифры числа были одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец , третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение

• 1 Этап

Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью ( и четвертую) – через b. Тогда все число будет равно:

1000а+100а+10b+b=1100а+11b+11(100а+b).

2 Этап

Число это делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11в^2. Иначе говоря, число 100а+b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число, а+b. Но это значит, что

a+b=11

3 Этап

Так как каждая из цифр a,b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения:

0,1,4,5,6,9.

4 Этап

Поэтому для цифры а, которая равна 11-б, находим такие возможные значения:

11,10,7,6,5,2.

Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:

b=4 , a=7

b=5 , a=6

b=6 , a=5

b=9 , a=2

Ответ:

Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырех чисел: 7744, 6655,5566,2299. Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 5566 делится на 2 , но не делится на число делится на 5, но не делится на 25; число 5566 делится на 2, но не делится на 4; число 2299=121*19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744=88 ^2; оно и дает решение задач

Вывод:

Выполняя работу, я познакомилась с историей развития признаков делимости, сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, и нашла подтверждение этого из дополнительной литературы. А так же убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 15, 19), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!