Применение различных способов для разложения на множители.

Тема: Применение различных способов для разложения многочлена на множители .

Три пути ведут к знанию: путь размышления- это путь самый благородный, путь подражания- это самый лёгкий и путь опыта- это путь самый горький.

Конфуций.

Тест 1

• 1.Соединить линиями соответствующие части определения.

представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов

Разложение многочлена на множители- это …

Разложение многочлена на множители- это …

представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов

представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов

2.Завершить утверждение

• Представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена называется…

3.Восстановите порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители способом группировки

1

вынести в каждой группе общий множитель( в виде многочлена за скобки)

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно…

2

сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель

3

Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки

4.Отметить знаком «+» верные выражения

а) а 2 + b 2 -2а b =(а- b ) 2 ;

б) m 2 +2 mn - n 2 =( m-n) 2 ;

в) 2 pt - p 2 - t 2 =( p - t ) 2 ;

г) 2 cd + c 2 +d 2 =(c+d) 2 .

Проверка результатов теста 1 .

• 1.Соединить линиями соответствующие части определения.

представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов

Разложение многочлена на множители- это …

Разложение многочлена на множители- это …

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов

Оценка- 2 балла.

• Представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена называется вынесением общего множителя за скобки.

Оценка- 2 балла .

1

вынести в каждой группе общий множитель( в виде многочлена за скобки)

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно…

2

сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель

3

Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки

Оценка- 2 балла .

• + а) а 2 + b 2 -2а b =(а- b ) 2 ;
• б) m 2 +2 mn - n 2 =( m - n ) 2 ;
• в) 2 pt - p 2 - t 2 =( p - t ) 2 ;
• + г) 2 cd + c 2 + d 2 =( c + d ) 2 .
• Оценка- 4 балла ( по 1 баллу за каждое верно выбранное и верно невыбранное выражение).

Тест 2 Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители, распределив их в три колонки:

•   20x 3 y 2 +4x 2 y; a 4 -b 8 ; 2bx-3ay-6by+ax; x 2 + 6x+9;
• 27b 3 +a 6 ; a 2 +ab-5a-5b; b(a+5)-c(a+5); 9x 2 +y 4 . 

Метод разложения на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Формулы сокращённого умножения

Способ группировки

9x 2 +y 4

Проверка результатов

Метод разложения на множители

Способ группировки

Формулы сокращённого умножения

Вынесение общего множителя за скобки

20x 3 y 2 +4x 2 y;

b(a+5)-c(a+5 );

2bx-3ay-6by+ax;

a 2 +ab-5a-5b

a 4 -b 8 ;

x 2 + 6x+9;

27b 3 +a 6 ;

не раскладывается на множители

Оценка – 8 баллов ( по 1 баллу за каждое верное задание)

Вынесение общего множителя

• Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Группировка

• Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки ( на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Применение формул сокращенного умножения

• Здесь группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обращает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

Задание 1 «Математическая эстафета»

Разложить на множители

1-й ряд

1. 3a+12b

2 . 2a+2b+a 2 +ab

3 . 9a 2 -16b 2

4 . 7a 2 b-14ab 2 +7ab

5 . 4a 2 -4ab+b 2

6 . 25a 2 +70ab+49b 2

2- й ряд

1. 10a+15c

2. 4a 2 -9b 2

3. 3m-3n-mn-n 2

4. 4a 2 +28ab+49b 2

5. 5a 3 c -20acb-10ac

6. 9a 2 -6ac+c 2

Ответы

1. 3(a+4b)

2. (2+a)(a+b)

3.(3a-4b)(3a+4b)

4.7ab(a-2b+1)

5.(2a-b) 2

6. (5a+7b) 2

1. 5(2a+3c)

2.(2a-3b)(2a+3b)

3.(3+n)(m-n)

4.(2a+7b) 2

5.5ac(a 2 -4b-2)

6. (3a-c) 2

Оценка- 6 баллов ( по1баллу за каждый верно выполненный пример)

Задание 2

• Разложите на множители многочлен и укажите какие приёмы использовались при этом
• Пример 1. 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 .
• Пример 2. a 2 +2ab+b 2 –c 2 .
• Пример 3. y 3 -3y 2 +6y-8.

Проверка

• Решение 1 примера: 36 a 6 b 3 -96 a 4 b 4 +64 a 2 b 5 =4 a 2 b 3 (9 a 4 -24 a 2 b +16 b 2 )=4 a 2 b 3 (3 a 2 -4 b ) 2 .(Вынесение общего множителя за скобки, использование формул сокращенного умножения.)
• Решение 2 примера: a 2 +2 ab + b 2 – c 2 =( a 2 +2 ab + b 2 )- c 2 =( a + b ) 2 – c 2 =( a + b - c )( a + b + c ).(Группировка, использование формул сокращённого умножения)
•   Решение 3 примера: y 3 -3y 2 +6y-8=( y 3 -8)-( 3y 2 -6y)=(y-2)(y 2 +2y+4)-3y(y-2)=(y-2)( y 2 +2y+4-3y)=(y-2)( y 2 –y+4)
• Оценка 2 балла (за каждый решённый пример)

Вывод:

• Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок:
• 1.Вынести за скобку общий множитель ( если он есть).
• 2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращённого умножения.
• 3.Попытаться применить способ группировки( если предыдущие способы не привели к цели).

Задание 3.Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

1. 8x 2 -8y 2

2. -a 2 +6a-9

3. 3x-3y+x 2 y-xy 2

4. a 4 -1

5. a 3 -8

1. ax 2 –ay 2

2. -x 2 -10x-25

3. x 2 y+xy 2 -2x-2y

4. 16-y 4

5. a 3 +27

Проверка

Вариант 1

Вариант 2

8(x 2 –y 2 )=8(x-y)(x+y)

a(x 2 -y 2) =a(x-y)(x+y)

-(a 2 -6a+9)=-(a-3) 2

-(x 2 +10x+25)=-(x+5) 2

3(x-y)+xy(x-y)=(x-y)(3+xy)

xy(x+y)-2(x+y)=(x+y)(xy-2)

(a 2 -1)(a 2 +1)=(a-1)(a+1)(a 2 +1)

(4-y 2 )(4+y 2 )=(2-y)(2+y)(4+y 2 )

(a-2)(a 2 +2a+4)

(a+3)(a 2 -3a+9)

Оценка -5 баллов ( по 1 баллу за каждый правильный пример)

Задание 4

Решить уравнение:

x 2 -3x+2=0;

x 2 -15x+56=0 .

Разложите на множители:

n 3 +3n 2 +2n .

Доказать, что при любом натуральном n

значение выражения (3n-4) 2 -n 2 кратно 8.