Применение производной - 10 класс

Применение производной к исследованию функций

Учитель: Быкова Е.В.

Понятие «производная» возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики.

Иcаак Ньютон

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц

25 декабря 1642 — 20 марта 1727

1 июля 1646 — 14 ноября 1716,

Используя методы дифференциального исчисления английский астроном, математик Эдмон Галлей ещё в XVII веке предсказал возвращение кометы Галлея.

В 1705 году Эдмонд Галлей предсказал, что комета, которую наблюдали в 1531, 1607 и 1682 годах, должна возвратиться в 1758 году

(что, увы, было уже после его смерти). Комета действительно возвратилась, как было предсказано, и позже была названа в его честь.

Комета Галлея вернется во внутреннюю Солнечную систему в следующий раз в 2061 году.

Разминка

Найти производную функции

Признак возрастания и убывания функции

=

y

По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R

1

x

0

1

2

-1

на

на

Ответ:

По графику производной функции

определите промежутки возрастания и промежутки убывания функции

1

на

Ответ:

6

На рисунке изображен график дифференцируемой функции y = h(x). Определите знак производной функции на промежутках

y

1

3

5

-5

x

-2

0

1

2

-1

7

Укажите критические точки функции , используя график производной функции .

при

Ответ:

8

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или производная не существует, называются критическими .

у

у

y=g(x)

y=f(x)

1

1

-1

-1

0

0

х

х

1

1

-1

-1

Касательная в таких точках графика не существует, а поэтому производная в этих точках не существует .

Касательная в таких точках графика параллельна оси ОХ , а поэтому производная в этих точках равна 0 ;

9

плавные линии

угловатые линии

критические точки

производная равна нулю

производная не существует

(стационарные точки)

максимума

максимума

«+» на «-»

«+» на «-»

точка

точка

минимума

минимума

«-» на «+»

«-» на «+»

точка

точка

излома

перегиба

знак

знак

не меняется

не меняется

точка

точка

9

Достаточное условие существования экстремума функции :

• Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «+» на «-», то х 0 – точка максимума функции f(x).

• Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «-» на «+», то х 0 – точка минимума функции f(x).

3) Если при переходе через критическую точку х 0 функции f(x) ее производная не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет.

9

Исследование функций с помощью производной и построение графиков функций.

Схема исследования функции

• Найти область определения функции;
• Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность;
• Найти точки пересечения графика функции с осями координат;
• Исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
• Найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
• Построить график функции.

9

Построить эскиз графика функции, зная, что

y

1

-4

-3

-5

-1

-2

5

4

3

1

2

0

x

-1

-2

возрастает

возрастает

убывает

- 4

X

-3

+

0

1

-

2

Не существует

max

-4

+

min

Образец выполнения работы.

Оформление работы учеником .

а) ;

б)

в) критические точки: - ; 1 .

г) по результатам исследования составляем таблицу:

х

у / (х)

+

у(х)

0

-3

экстремум

–

0

max

1

+

-

min

у

д) строим график функции:

3

х

1 3

-5 -2

-7

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [a;b]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f(x) на промежутке [a;b], нужно

• вычислить её значения f(a) и f(b) на концах данного промежутка
• вычислить её значения в критических точках, принадлежащих этому промежутку
• выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Записывают так: max f(x) и min f(x)

[a;b] [a;b]