Презентация к уроку "Формулы сокращенного умножения"

«Формулы сокращенного умножения»

Алгебра 7 класс

«Формулы сокращенного умножения»

Крупнова Г.Н., учитель математики

МБОУ СОШ №32

«У математиков существует свой язык- это ФОРМУЛЫ »

С. В. Ковалевская

(1850г. - 1891г.)

Предлагаемый урок является уроком обобщения и систематизации знаний, заключительным этапом усвоения формул сокращенного умножения. От восприятия, осмысления и обобщения отдельных фактов к формированию понятий, их категорий и систем, от них к усвоению более сложной системы знаний.

Тип урока:

Урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование:

• мультимедийное оборудование;

Цель урока:

Систематизировать знания обучающихся по данной теме для дальнейшего овладения техникой преобразования алгебраических выражений с использований формул сокращенного умножения.

Задачи урока:

- выявить качество овладения знаниями обучающимися;

-обобщить знания обучающихся по теме «Формулы сокращенного умножения»;

- развивать у обучающихся познавательный интерес к предмету;

• формировать умение преодолевать трудности при решении задач;
• формировать навыки рационального счета;
• формировать навыки самоконтроля взаимоконтроля;

-компьютерная презентация;

- учебник «Алгебра 7 класс», ( Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова М.: Просвещение 2011г.) ;

-раздаточный материал;

-оценочные листы.

-формировать аналитическую деятельность.

Формы организации учебной деятельности обучающихся

• Фронтальный опрос
• Работа в парах
• Групповая работа
• Индивидуальная работа
• Игра
• Самостоятельная работа

Методы обучения, используемые на уроке

• Словесный (беседа, объяснение)
• Наглядный метод
• Частично-поисковый метод
• Метод учебной работы по применению знаний на практике
• Метод проверки и оценки знаний, умений и навыков

* Формы и методы обучения выбраны в соответствии с типом урока.

Структура урока

• Организационный момент -1 минута.
• Актуализация опорных знаний - 2 минуты.
• Воспроизведение и коррекция опорных знаний – 9 минут.
• Повторение и анализ основных фактов – 5 минут.
• Обобщение и систематизация знаний и их применение для выполнения новых практических заданий-20 минут.
• Усвоение теоретических знаний на основе их систематизации - 5 минут.
• Подведение итогов урока - 2 минуты.
• Домашнее задание - 1 минута.

Организационный момент (1 минута)

Пр едварительная организация класса: проверка отсутствующих, состояние рабочих мест, рабочей позы и внешнего вида обучающихся. Учитель высказывает добрые пожелания ребятам, настраивает на успешную работу.

Дидактические

задачи

Деятельность учителя

Подготовка к уроку, быстрое включение обучающихся в работу

Деятельность учащихся

Создание комфортной рабочей обстановки

Метод

Проверка готовности рабочего места к уроку, настрой на успешную работу

Формы

Словесный

Фронтальная

II. Актуализация опорных знаний- (3 минуты)

С помощью беседы учитель осуществляет психологическую подготовка обучающихся: сосредоточение внимания, осознание значимости предстоящей деятельности. Обозначая проблему, пробуждает интерес к уроку.

Наш сегодняшний урок посвящен

ФОРМУЛАМ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ.

На протяжении многих уроков мы с вами изучали формулы сокращенного умножения и пришли к выводу, что работать с ними необходимо очень внимательно.

Актуализация опорных знаний

Сегодня на уроке мы еще раз увидим, какая удивительная сила заключается в изученных формулах, и как они работают при преобразовании выражений. Хорошее знание формул позволит применять их в различных математических ситуациях .

Девизом нашего урока я выбрала слова академика Н.А. Александрова:

«Мне бы хотелось, чтобы слово «формула» не означало для вас «формальность», а чтобы вы творчески подходили к применению их на практике».

Актуализация опорных знаний

Попробуй выполнить устно!!!

Вычислить :

201 * 199.

Найти значение выражения:

125-(5-3х)*(25+15х+9х 2 ), при х=-4/3.

Разложить на множители:

9в 8 - 25 а 6

Давайте наберемся терпения и я уверена, что к концу

урока каждый из вас сможет выполнить эти задания.

.

• Воспроизведение и коррекция опорных знаний ( 9 минут )

Воспроизведение и коррекция знаний по теме осуществляются через устное повторение формул сокращенного умножения (игра кубик-экзаменатор), выполнение проверочных тестов с последующей самопроверкой и взаимопроверкой. При обсуждении результатов выявляются пробелы и производится их коррекция.

Устное повторение формул сокращенного умножения

Давайте вспомним изученные нами формулы сокращенного умножения и отведем им почетное место на доске (вызванные ученики, бросая кубик-экзаменатор, записывают на заранее отведенное место на доске выпавшую  формулу и устно формулируют ее).

Развертка

кубика-экзаменатора :

а 2 -2ав + в 2

(а + в) 2

а 3 - в 3

(а-в) 3

(а-в)(а+в)

а 3 - 3а 2 в+3ав 2 -в 2

Воспроизведение и коррекция опорных знаний

Тест 1

Обучающимся предлагается тест на проверку формул

сокращенного умножения и умения воспринимать их на слух.

Вариант 1:

1.Квадрат суммы двух выражений. 2. Произведение суммы двух выражений  и неполного квадрата разности. 3. Разность квадратов двух выражений. 4. Квадрат первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения. 5. Разность кубов двух выражений. 6. Куб суммы двух выражений.

7. Произведение разности двух выражений и их суммы.

Вариант 2:

1.Произведение разности двух выражений и их суммы. 2. Квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения. 3. Сумма кубов двух выражений. 4. Произведение разности двух выражений и неполного квадрата суммы. 5.Куб разности двух выражений

6. Квадрат разности двух выражений. 7. Разность квадратов двух выражений

Воспроизведение и коррекция опорных знаний

Учитель читает выражение, входящее в одну из формул,

а обучающиеся записывают соответствующий ей номер

(формулы пронумерованы).

1. а 3 + в 3

2. (а – в) 2

3. а 2 – в 2

4. а 3 – в 3

5. (а + в) 2

6. (а - в) 3

7. (а + в) 3

Поверка теста

Для проверки теста учитель показывает карточки с правильным набором цифр, ученики проверяют свою работу и заносят в оценочный лист количество верно выполненных заданий.

Ответы :

1-й вариант :

2-й вариант :

5 1 3 2 4 7 3

  3 5 1 4 6 2 3

Тест 2

На экран проецируются равенства. Ученики должны записать ответы  («+», если равенство верно;  «–», если равенство неверно) в заранее заготовленную таблицу.

Вариант 1

1) 4а 2 - 9в 2 =(2а - 3в)(2а + 3в)

2) (2а -3в) 2 =4а 2 - 12ав + 9в 2

3) (2а – 3в) 3 =8а 3 -18а 2 в+18ав 2 +27в 3

4) ( m + 4 n ) 2 = m 2 + 8 mn + 16 n 2

5) ( a + в) 2 =(а - в) 2

6) 8х 3 +1=(2х+1)(4х 2 -2х+1)

7) 64а 3 -в 3 =(4а+в)(16а 2 - 4ав+в 2 )

8) у 2 -10у+25=(у+5) 2

9) (а-в) 2 =в 2 -а 2

Вариант 2

1) 4х 2 -1= (2х -1) 2

2) (х - 2у) 2 = х 2 +4у 2

3)(х + 2у) 3 = х 3 + 6х 2 у+6ху 2 + 8у 3

4) ( c - d ) 2 =( d - c ) 2

5)(2х+ y ) 2 = 4х 2 +4ху+у 2

6) 27а 3 +1= (3а+1)(9а 2 +3а+1)

7) c 3 -8 d 3 =( c -2 d )( c 2 +2 cd +4 d 2 )

8) 9 m 2 -6 mn - n 2 = (3 m – n ) 2

9) (а-в)(а-в)=а 2 -в 2

1.

4.

2.

3.

5.

7.

6.

8.

9.

Для проверки теста учитель проецирует ответы на экран.

Осуществляется взаимопроверка, результаты которой обучающиеся заносят в оценочный лист.

Вариант 1

+

+

+

-

-

-

+

-

-

Вариант 2

-

+

-

+

+

+

-

-

-

После проверки учитель комментирует правильные равенства, проецируя их на экран.

Учитель анализирует выполненную работу и комментирует равенства, проецируя их на экран .

Вариант 1

1) 4а 2 - 9в 2 =(2а - 3в)(2а + 3в)

2) (2а -3в) 2 =4а 2 - 12ав + 9в 2

3) (2а – 3в) 3 =8а 3 -18а 2 в+18ав 2 +27в 3

8а 3 -18а 2 в+18ав 2 -27в 3

4) ( m + 4 n ) 2 = m 2 + 8 mn + 16 n 2

5) ( a + в) 2 =(а - в) 2

(а 2+ 2ав+в 2 )

6) 8х 3 +1=(2х+1)(4х 2 - 2х+1)

7) 64а 3 -в 3 =(4а+в)(16а 2 -4ав+в 2 )

(4а-в)(16а 2 +4ав+в 2 )

8) у 2 -10у+25=(у+5) 2

(у-5) 2

9) (а-в) 2 =в 2 -а 2

(а 2 -2ав+в 2 )

Вариант 2

(2х-1)(2х+1)

1) 4х 2 -1= (2х -1) 2

(х 2 -4ху+4у 2 )

2) (х - 2у) 2 = х 2 +4у 2

3) (х + 2у) 3 = х 3 + 6х 2 у +6ху 2 + 8у 3

4) ( c - d ) 2 =( d - c ) 2

5)(2х+ y ) 2 = 4х 2 +4ху+у 2

6) 27а 3 +1= (3а+1)(9а 2 +3а+1)

(3а+1)(9а 2 -3а+1)

7) c 3-8 d 3 =( c -2 d )( c 2 +2 cd +4 d 2 )

8) 9 m 2 -6 mn - n 2 = (3 m – n ) 2

9 m 2 -6 mn + n 2

9) (а-в)(а-в)=а 2 -в 2

(а-в)(а+в)

IV . Повторение и анализ основных фактов – 5 минут

На данном этапе урока знания не только систематизируются и обобщаются, но также свертываются и автоматизируются. Обучающиеся работают в группах, используется метод проверки и оценки знаний, умений и навыков.

Задание 1 (работа в группах)

Обучающиеся разбиваются на 3 группы и собирают из заранее заготовленных карточек верные равенства. Обучающиеся должны дать объяснение почему две карточки не содержат пары (фронтальная работа).

Карточки для задания

(2в-6а)(2в+6а)

25в 2 -40ав+16в 2

(а + в) 2

а 3 -в 3

а 2 + в 2

8в 3 -18а 2 в+18ав 2 -27а 3

а 2 -ав+в 2

а 3 +в 3

64х 2 +48ху+9у 2

4в 2 - 36а 2

(а-в)(а 2 +ав+в 2 )

а 2 +2ав+в 2

(5в - 4а) 2

(а 2 -в 2 )

(а - в)(а + в)

(в +2с) 3

(а-в) 2

(а + в) 2

(8х+3у) 2

(в-5а)(в 2 +5ав+25а 2 )

(а+в)(а 2 -ав+в 2 )

(2в - 3а) 3

в 3 +6в 2 с+6вс 2 +8с 3

в 3 -125а 3

Проверка

Проверив выполненную работу в группе, учащиеся проставляют в оценочные листы количество правильно составленных равенств.

(а + в) 2

=

а 2 +2ав+в 2

в 3 -125а 3

=

(в-5а)(в 2 +5ав+25а 2 )

(2в-6а)(2в+6а)

=

4в 2 - 36а 2

8в 3 -18а 2 в+18ав 2 -27а 3

(2в - 3а) 3

=

в 3 +6в 2 с+6вс 2 +8с 3

а 3 -в 3

(в +2с) 3

=

(а-в)(а 2 +ав+в 2 )

=

Почему данные выражения лишние

?

=

(а 2 -в 2 )

(а - в)(а + в)

(а-в) 2

(в-а) 2

=

=

(5в - 4а) 2

25в 2 -40ав+16в 2

а 3 +в 3

(а+в)(а 2 -ав+в 2 )

=

а 2 -ав+в 2

а 2 + в 2

(8х+3у) 2

64х 2 +48ху+9у 2

=

V . Обобщение и систематизация знаний и их применение для выполнения новых практических заданий - 20 минут.

Учитель возвращается к проблемному вопросу, который был

поставлен обучающимся в начале урока

Попробуй выполнить устно!!!

Вычислить :

201 * 199.

Найти значение выражения:

125-(5-3х)*(25+15х+9х 2 ), при х=- 4/3.

Разложить на множители:

9в 8 - 25 а 6

.

Обобщение и систематизация знаний и их применение для выполнения новых практических заданий

Учитель предлагает обсудить решение заданий

(фронтальная работа):

1. Вычислить устно:

201*199=( + ) ( - ) = 2 - 2

.

Обобщение и систематизация знаний и их применение для выполнения новых практических заданий

Решение:

Действительно, можно поставить вместо

число 200, а вместо число 1 и воспользоваться формулой разности квадратов а 2 -в 2 =(а - в)(а + в) и тогда получим

201*199=(200 + 1)(200 - 1)=200 2 -1 2 = 40000-1 = 39999

Обобщение и систематизация знаний и их применение для выполнения новых практических заданий

На экран проецируется подсказка (формула разности кубов) а 3 -в 3 = (а-в)(а 2 +ав+в 2 ) В фронтальной беседе обсуждается выполнение данного задания, после чего на экран проецируется решение.

Найти значение выражения:

125-(5-3х)*(25+15х+9х 2 ), при х=-4/3.

Решение:

125- (5-3х)*(25+15х+9х 2 )= 125-(125-27х 3 )=

=125-125+27х 3 =27х 3

При х=-4/3 получаем 27*(-64/27) =-64 .

.

Обобщение и систематизация знаний

и их применение для выполнения новых

практических заданий

На экране проецируется подсказка (формула разности квадратов) а 2 -в 2 =(а - в)(а + в)

Разложить на множители:

9в 8 - 25 а 6 = ( * ) 2 - ( * ) 2 =

Обучающимся предлагается самостоятельно продумать выполнить задание.

Учитель предлагает одному из обучающихся показать выполнение задание на доске и объяснить решение.

Обобщение и систематизация знаний и их применение для выполнения новых практических заданий.

Работа в группах Обучающиеся работают в группах, используется метод учебной работы по применению знаний на практике

• № 970 (а, г, ж)
• № 971 (а, б, в)
• № 981(а, б, в)
• № 989 (а, б)

Индивидуальная работа по карточкам

По мере проверки выполнения заданий группами, учитель раздает учащимся карточки с дифференцированными заданиями:

Карточка 1

1. Разложить на множители:

а)Х 4 +10х 2 +25

б)4а 4 -12а 2 +9

2. Упростить выражение:

(а-2в) 3 +6ав(а-2в)

3. Заполни пропуски:

в) (…) 3 – (…) 3 = (3 х – 4 у )(……………..) г) (5 х + …) 2 = … + … + 9

Карточка 2

1. Разложить на множители:

а)16х 4 -81у 4

б)2,25 m 6 - 49/100 с 4

2.Упростить выражение:

(3в+а) 3 -9ав(в+а)

3. Заполни пропуски:

а) … – 16 ав + … = ( … – 1) 2 б) … – 4 а 4 = (…..)(3 в + …)

4. Найти значение выражения:

1/3(8,573-5,573)- 3*8,57*5,57

4. Найти значение выражения:

Индивидуальная работа по карточкам

Оценки за практическую работу и работу по карточкам обучающиеся получают на следующем уроке .

Карточка 3

1.Вычислить 108*92;

2. Представить в виде

многочлена:

а) 5у(у 2 -3)(у 2 +3);

б)(2а-5) 2 -(5а-2) 2.

в) (…-3в) 3 =125а 3 -…+…-…

3. Докажите, что значение

выражения не зависит от

переменной:

(а - 3)(а 2 -8а + 5) - (а - 8)(а 2 - 3а + 5)

Карточка 4

1. Найти значение выражения:

0,783 2 -0,217 2

2. Представить в виде многочлена:

(х+у+1)(х+у-1)

3. Представьте в виде квадрата

двучлена:

а) а 4 -8а 2 +16,

б)а 6 в 2 +12а 3 в+36

4. Представить в виде многочлена

(5 х + …) 3 = … + … + …+27

Физпауза

Для предупреждения утомления, снятия эмоциональной напряженности обучающихся, учитель проводит физпаузу (используются элементы технологии здоровьесбережения).

• Зарядка для глаз (слайд)

Физпауза

Для предупреждения утомления, снятия эмоциональной напряженности обучающихся, учитель проводит физпаузу (используются элементы технологии здоровьесбережения).

• Зарядка для глаз

VI . Усвоение теоретических знаний на основе их систематизации - 5 минут.

На данном этапе используется фронтальная форма работы,

наглядный и частично-поисковый методы.

Для подведения итога и анализа усвоенных знаний учитель

предлагает обучающимся задание на «подведение объекта

под понятие». Выполняя его, обучающиеся учатся выделять

понятия (в данном случае формулы), устанавливают, при каких

условиях данный объект может быть отнесен к данному понятию,

обладает ли данный объект признаками, характерными для

понятия. Выполнение задания требует анализа, осмысления

изученного материала. При выполнении его требуются

«смысловое» (без вычислений) решение задач.

1. Учащиеся выбирают из имеющихся на доске формул формулы

сокращенного умножения и располагают их на отведенное место.

2. Соотносят предложенные выражения с формулами сокращенного

умножения.

Смотрите следующие

слайды

S =ав

( а+в) 3 =а 3 +3а 2 в+3ав 2 +в 3

а 3 +в 3 =(а+в)(а 2 -ав+в 2 )

а 2 -в 2 =(а-в)(а+в)

S=V t

( а-в) 3 =а 3 -3а 2 в+3ав 2 - в 3

Р=4а

V= а 3

а 3 -в 3 =(а-в)(а 2 ав+в 2 )

а 2 +2ав+в 2 =(а+в) 2

а 2 -2ав+в 2 =(а-в) 2

V= авс

Р=2(а+в)

х 6 у 3 -с 3

( х-3у)(х 2 +3ху+9у 2 )

- 4х(1 + 2х 3 ) 2 + 15х 4

(4-5 р ) 2 =(3-5 р ) 2 -3

m 3 +0 , 064n 3

( 2 m 2 -11n) 2

61 2 - 39 2

( 4 m + n 3 ) 2

0,36 - 0,81 m 2

(х+3)(х 2 -3х+9)

(-2х 3 +5а 2 )(-5а 2 -2х 3 )

х 9 +3х 6 у 3 +3х 3 у 6 +у 9

Х 6 +3х 4 у 2 +3х 2 у 4 +у 6

Х 3 +у 3 +3ху(х+у)

(3а-в) 3

(3а+2с) 3

4х 2 -(2х+1)(1-2х)

(4в-8) 3

( х +4)( х 2 -4 х +16)-24

Х 3 -6х 2 у+6ху 2 -8у 3

16х 2 +81у 2 -72ху

(5к 3 +6) 2

1—216р 3

( 2х 3 - у ) 2

44вс+121в 2 +4с 2

( х-2) ( х 2 +2х+4)

Х 3 -9х 2 у+9ху 2 -27у 3

C 3 +d 6

VII . Подведение итогов урока

VII . Подведение итогов урока

По результатам работы обучающиеся вносят баллы в оценочные листы

Разность квадратов

двух выражений

Квадрат суммы

двух выражений

Квадрат разности

двух выражений

а 2 +2ав+в 2 =(а+в) 2

а 2 -2ав+в 2 =(а-в) 2

а 2 -в 2 =(а-в)(а+в)

( 4 m + n 3 ) 2

61 2 - 39 2

( 2 m 2 -11n) 2

44вс+121в 2 +4с 2

0,36 - 0,81 m 2

( 2х 3 - у ) 2

4х 2 -(2х+1)(1-2х)

(5к 3 +6) 2

16х 2 +81у 2 -72ху

(-2х 3 +5а 2 )(-5а 2 -2х 3 )

- 4х(1 + 2х 3 ) 2 + 15х 4

(4-5 р ) 2 =(3-5 р ) 2 -3

Подведение итогов урока

Знание формул сокращенного умножения, умение видеть их в задачах, позволит в дальнейшем без особого труда использовать формулы в различных математических ситуациях.

Сумма кубов двух выражений

Куб разности двух выражений

Разность кубов двух выражений

Куб суммы двух выражений

а 3 +в 3 =(а+в)(а 2 -ав+в 2 )

а 3 -в 3 =(а-в)(а 2 +ав+в 2 )

( а+в) 3 =а 3 +3а 2 в+3ав 2 +в 3

( а - в) 3 =а 3 - 3а 2 в+3ав 2 - в 3

Х 3 - 9х 2 у + 9ху 2 - 27у 3

( х +4)( х 2 - 4 х +16)-24

( х-3у)(х 2 +3ху+9у 2 )

х 9 +3х 6 у 3 +3х 3 у 6 +у 9

Х 3 - 6х 2 у+6ху 2 - 8у 3

(х+3)(х 2 - 3х+9)

( х-2) ( х 2 +2х+4)

Х 6 +3х 4 у 2 +3х 2 у 4 +у 6

(3а-в) 3

m 3 +0 , 064n 3

1—216р 3

(3а+2с) 3

C 3 +d 6

(4в-8) 3

х 6 у 3 -с 3

Х 3 +у 3 +3ху(х+у)

Подведение итогов урока

За работу на уроке обучающиеся выставляют оценки в оценочные листы

Оценочный лист

Оценочный лист _____________________________ (Ф.И. учащегося)

Тест 1 _____________________ (количество правильных ответов, самопроверка)

Тест 2 _____________________(количество правильных ответов, взаимопроверка)

Работа в группе ____________ _____________ (количество правильных ответов)

Фронтальный опрос ___________________________________ (количество баллов)

Оценка _______ (ученик) Оценка ___________(Учитель )

Критерии оценивания:

от 33-27 баллов «5»;

от 23-26 баллов «4»;

от 15-22 баллов «3»

VIII . Домашнее задание

Учитель дает инструктаж по выполнению домашней работы. В домашнее задание включены упражнения подобные тем, которые обучающиеся выполняли на уроке, а также задание на повторение (повторяется умножение многочлена на многочлен) для подготовки обучающихся к новой теме «Преобразования целых выражений».

№ 970 (б, д, е);

№ 971 (г, д, е);

№ 981(д, е, ж);

№ 989 (в, г);

№ 903 (а).

«Открытия рождаются там, где кончается знание учителя, и начинается новое знание ученика»  

К.А.Федин