ПРИЛОЖЕНИЕ к уроку «Решение уравнений и задач». Решение уравнений в целых числах.
15 15 8 Х ( Х – 1 ) = 6
х х +4
Х² + Х = 90
МКОУ «Болоховская ООШ №2»
Учитель математики: Кулагина Галина Евгеньевна
№ 1.
Уравнение совсем непростое, но его легко решить, если вспомнить, что х – это число филиалов фирмы и, значит, – это число натуральное. Кроме того, и – тоже натуральные числа, поскольку каждое из них – это число компьютеров. Поэтому числа х и х + 2 – это делители числа 143 .
Остаётся найти все делители числа 143 и выбрать такие два делителя, один из которых на 2 больше другого.
У числа 143 всего четыре делителя: 1, 11, 13, 143 . Перебрав все возможные пары делителей, нетрудно увидеть, что условию удовлетворяют только пара чисел 11 и 13.
Значит, х = 11 , а х + 2 = 13 .
Таким образом, у фирмы стало 13 филиалов.
Ответ: 13 филиалов.
№ 2. Андрей задумал некоторое натуральное число. Борис предложил ему возвести это число в квадрат, после чего прибавить задуманное число и назвать результат. Результат оказался равным 90. Как Борису узнать, какое число задумал Андрей?
х – задуманное натуральное число;
х² + х – результат от действий, а по условию задачи результат Андрея равен 90.
Составим уравнение: х² + х = 90.
Попробуем решить это уравнение.
Выражение х² + х с помощью распределительного свойства (вынесение общего множителя за скобки) можно представить в виде произведения:
х² + х = х · х + х · 1 = х(х + 1).
Следовательно, наше уравнение можно заменить таким: х(х + 1) = 90.
Теперь ясно, что надо найти натуральное число х такое, что при умножении его на следующее натуральное число х + 1 в произведении получится 90.
Такие два натуральные числа нетрудно подобрать – это 9 и 10.
Значит, х = 9.
9 – задуманное число.
9, то х + 1 10, и тогда произведение х(х + 1) будет больше 9 · 10, т. е. больше 90. Точно так же х не может быть меньше 9, потому что в этом случае произведение будет меньше 90. Значит, могло быть задумано только число 9. Ответ: 9." width="640"
Кажется, что задача решена, однако это не так.
Вдруг есть ещё какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию х(х + 1) = 90? Ведь в данном случае мы не перебирали все возможные варианты решения, а просто подобрали ответ.
Чтобы убедиться в том, что другого такого числа нет, надо провести дополнительные рассуждения. Например, такие:
если х 9, то х + 1 10, и тогда произведение х(х + 1) будет больше 9 · 10, т. е. больше 90. Точно так же х не может быть меньше 9, потому что в этом случае произведение будет меньше 90.
Значит, могло быть задумано только число 9.
Ответ: 9.
Вывод
Мы видим, что ответ к задаче можно найти подбором. Но надо помнить о том, что подбор одного или даже нескольких ответов вовсе не означает, что нет других. Необходимо провести специальные дополнительные рассуждения, чтобы доказать, что найдены все возможные решения задачи. Такие рассуждения могут оказаться очень непростыми, и это ограничивает применение метода подбора для решения задач.
№ 3. Найдите натуральный корень уравнения: (используя метод подбора)
а) х(х – 1) = 6;
б) х² + х = 12.
Проверь своё решение.
а) х(х – 1) = 6.
Произведение двух последовательных натуральных чисел должно равняться 6. Это числа 3 и 2. Значит, х = 3.
Ответ: 3.
б) х² + х = 12.
Левую часть уравнения представим в виде произведения, применив распределительное свойство:
х(х + 1) = 12.
Произведение двух последовательных натуральных чисел должно равняться 12. Это числа 3 и 4. Значит, х = 3.
Ответ: 3.
№ 4. Найдите все целые корни уравнения:
а) х(х + 2) = 35;
б) х² + х = 6.
Своё решение проверьте у учителя.
