ПРЕЗЕНТАЦИЯ "СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ"

• Теория вероятности

Работу выполнили: ученицы 9А класса МБОУ ШСОШ №10

Осипян Эльмира и Осипян Нина

Учитель: Гвоздинская Сильва Степановна

Вероятность- степень возможности наступления некоторого события.

Классическое определение вероятности основано на понятии  равновозможности  исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они являются равновозможными.

• Что такое вероятность?

• История возникновения вероятности.

Теория вероятностей возникла в середине XVII века. Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами. Следующий (второй) период истории теории вероятностей (XVIII в. и начало ХIХ в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это - период, когда теория вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике. Третий период истории теории вероятностей, (вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П.Л. Чебышева, А.М. Ляпунова и А.А. Маркова (старшего).

Якоб Бернулли

• Как вычислить вероятность?

Если в некотором испытании существует n равновозможных элементарных событий и m из них благоприятствуют событию A ,то вероятностью наступления события А называют отношение m/n и записывают

P(A)=m/n

Например:  В банке с мармеладом находится 4 синих, 5 красных и 11 белых шарика. Если предположить, что шары перемешаны и вытаскиваются случайным образом, какова вероятность вытащить красный?

n=20

P(A)=m/n=5/20=0.25.

m=5

• Сложение вероятностей.

Суммой   событий  А  и  В  называется событие  А + В , которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий:  А  или  В.

Пример: Пусть при одновременном бросании двух игральных костей событие А состоит в том, что сумма выпавших очков равна 3, а событие B – в том, что сумма выпавших очков равна 4. Тогда событие А + В состоит в том, что сумма выпавших очков равна либо 3, либо 4. То есть событие А + В наступает при появлении одной из пар очков: 1 и 2, 2 и 1, 1 и 3, 3 и 1, 2 и 2. Отметим, что событию А благоприятствует 2 исхода, а событию В – 3 исхода. Общее число равновозможных элементарных исходов при бросании двух игральных костей равно 6 х 6 = 36. Поэтому Р(А) = 2 / 36 = 1/18, Р(В) =3/36 =1/12. Событию А + В благоприятствует 5 элементарных исходов , поэтому Р(А + В) = 5/36, но 5/36 =2/36 + 3/36 = Р(А) = Р(В), т.е. Р(А + + В)= Р(А) + Р(В).

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Докажем данную теорему.

Пусть событию A   благоприятствуют  m1  элементарных исходов, а событию  B – m2  исходов. Так как события  A  и B   по условию теоремы несовместны, то событию A + B   благоприятствуют  m1 + m2  элементарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно,

P(A + B) = (m1 + m2)/ n = (m1/n) + (m2 / n) = P(a) +P(B)

где  P(A)  — вероятность события  A ;  P(B)  — вероятность события B  .

Задача 1. На складе имеется 50 деталей, изготовленных тремя бригадами. Из них 25 изготовлено первой бригадой, 15- второй и 10 третьей. Найти вероятность того, что на сборку поступила деталь, изготовленная второй или третьей бригадой.

Решение : Р(А)-вероятность поступления детали, изготовленной первой бригадой. Р(В)-вероятность поступления детали, изготовленной второй бригадой. Р(С)-вероятность поступления детали, изготовленной третьей бригадой. Р(А)=25/50=1/2, Р(В)=15/50=3/10, Р(С)=10/50=1/5 Р(В+С)= 3/10 +1/5=1/2.

Задача 2. Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер?

Решение: Р(дождь или ветер или то и другое)=Р(дождь) +Р(ветер) –Р(дождь и ветер)=0,4+0,7-0,2=0,9.

• Умножение вероятностей

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое состоит в том, что происходят оба этих события.

Теорема. Для независимых событий справедливо равенство:

Р(АВ) = Р(А) х Р(В).

Задача 1 . Стрелок делает по мишени два выстрела. Вероятность попадания по мишени при первом выстреле равна 0.8, а при втором 0.9. Найти вероятность того, что стрелок оба раза попадет по мишени.

Решение: Пусть событие С – оба раза стрелок попал по мишени, т.е. С = АВ. Р(С) = Р(АВ) = Р(А) х Р(В) = 0.8 х 0.9 = 0.72.

Задача 2. На предприятии 96% изделий признаются пригодными к использованию, а остальные – бракованными. Из каждой сотни пригодных изделий в среднем 75 являются изделиями первого сорта. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие окажется первого сорта.

Решение:   А – событие, что изделие годно к использованию, В – изделие первого сорта Найти Р (АВ) Р(А)=0,96, Р(ВıА)=0,75 Р(АВ) = 0,96*0,75=0,72

• Спасибо за внимание!