Презентация на тему: "Вписанная окружность"

Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.

В выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: .

Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырёхугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса. Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

§В сферическом треугольнике[править | править вики-текст]

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

Тангенс радиуса[2] вписанной в сферический треугольник окружности равен[3]:73-74

Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника[3]:20-21.

§См. также[править | править вики-текст]

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«презентация на тему: "Вписанная окружность" »

Вписанная окружность

Определение: окружность называется вписанной в треугольник,

если все стороны треугольника касаются окружности.

На каком рисунке окружность вписана в треугольник:

Если окружность вписана в треугольник,

то треугольник описан около окружности.

Теорема. В треугольник можно вписать окружность,

и притом только одну.

Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника.

Дано: АВС

А 1

С 1

Доказать: существует Окр.(О;r),

вписанная в треугольник

Доказательство:

В 1

Проведём биссектрисы треугольника:АА 1 , ВВ 1 , СС 1 .

По свойству (замечательная точка треугольника)

биссектрисы пересекаются в одной точке – О,

и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, т. е :

ОК = ОЕ = ОР, где ОК АВ, ОЕ ВС, ОР АС, значит,

О – центр окружности, а АВ, ВС, АС – касательные к ней.

Значит, окружность вписана в АВС.

Важная формула

Дано: Окр.(О;r) вписана в АВС,

р = ½ (АВ + ВС + АС) – полупериметр.

Доказать: S ABC = p · r

Доказательство:

соединим центр окружности с вершинами

треугольника и проведём радиусы

окружности в точки касания.

Эти радиусы являются

высотами треугольников АОВ, ВОС, СОА.

S ABC = S AOB +S BOC + S AOC = ½ AB · r + ½ BC · r + ½ AC · r =

= ½ (AB + BC + AC) · r = ½ p · r.

Задача: в равносторонний треугольник со стороной 4 см

вписана окружность. Найдите её радиус.

Решение:

S = p · r

S =

P = ½ ·4 · 3 = ½ · 12 = 6(см) - полупериметр

r =

(см)

Ответ:

(см)

Вывод формулы для радиуса

вписанной в треугольник окружности

S = p · r = ½ P · r = ½ (a + b + c) · r

2S = (a + b + c) · r

r =

Задача: в прямоугольный треугольник вписана окружность,

гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см и 4 см.

Найдите радиус вписанной окружности.

Дано: АВС, С = 90 0

Окр.(О;r) вписана,

АМ = 6 см, ВМ = 4 см

Найти: r.

Решение:

АВ = АМ + ВМ = 6 + 4 = 10(см)

Т. к. Окр.(O;r) вписана в АВС, то

АВ, АС,ВС – касательные и по свойству

касательных, проведённых из одной точки:

АМ = АК = 6 см, ВЕ = ВМ = 4 см, СК = СЕ

Т. к. С = 90 0 , то СКОЕ – квадрат, поэтому СК = СЕ = r.

АС= 6+ r, ВС = 4 + r

По теореме Пифагора: АС 2 + ВС 2 = АВ 2

(6 + r) 2 + (4 + r) 2 = 10 2

Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см

Ответ: 2 см

Нужная формула для радиуса окружности,

вписанной в прямоугольный треугольник

- катеты, с - гипотенуза

Доказательство:

Т. к. Окр.(О;r) вписана в треугольник АВС,

у которого угол С – прямой, то

АС, ВС, АВ – касательные и

СКОЕ – квадрат, значит, СК = СЕ = r

По свойству касательных: ВЕ = ВМ = а - r

АК = АМ = b - r

AB = AM + BM

c = b – r + a - r

2r = a + b - c

r = ½ (a + b – c)

Окружность, вписанная в четырёхугольник

Определение: окружность называется вписанной

в четырёхугольник, если все стороны

четырёхугольника касаются её.

На каком рисунке окружность вписана в четырёхугольник:

Теорема: если в четырёхугольник вписана окружность,

то суммы противоположных сторон

четырёхугольника равны ( в любом описанном

четырёхугольнике суммы противоположных

сторон равны) .

АВ + СК = ВС + АК.

Обратная теорема: если суммы противоположных сторон

выпуклого четырёхугольника равны,

то в него можно вписать окружность.

( доказательство – в учебнике № 724 )

Задача : в ромб, острый угол которого 60 0 , вписана окружность,

радиус которой равен 2 см. Найти периметр ромба.

Дано: Окр.(О; 2 см) вписана

в ромб FSLZ, F = 60 0 .

Найти: Р FSLZ

Решение:

Т. к. окружность вписана в ромб, то стороны ромба

касаются окружности, значит, АВ FZ, AB = 2r = 4см – диаметр.

Проведём SC FZ, SC = AB (как перпендикуляры между

параллельными прямыми), SC = 4см

FSC – прямоугольный,

(cм).

Р FSLZ = 4FS = 4 ·

см

Ответ:

Реши задачи

Дано: Окр.(О; r) вписана в АВСК,

Р АВСК = 10

Найти: ВС + АК

Дано: АВСМ описан около Окр.(О; r)

BC = 6, AM = 15,

СМ = 2 АВ

Найти: АВ, СМ

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 8 класс

Скачать
презентация на тему: "Вписанная окружность"

Автор: Дружинина Марина Анатольевна

Дата: 16.03.2015

Номер свидетельства: 187533

Похожие файлы

Конспект урока по геометрии на тему "Длина окружности и площадь круга"

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(129) "Конспект урока по геометрии на тему "Длина окружности и площадь круга" "
    ["seo_title"] => string(77) "konspiekt-uroka-po-ghieomietrii-na-tiemu-dlina-okruzhnosti-i-ploshchad-krugha"
    ["file_id"] => string(6) "102202"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402486575"
  }
}

Тест по теме " Вписанная и описанная окружности"

object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(87) "Тест по теме " Вписанная и описанная окружности""
    ["seo_title"] => string(48) "test_po_teme_vpisannaia_i_opisannaia_okruzhnosti"
    ["file_id"] => string(6) "582484"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1622729679"
  }
}

Презентация по геометрии "Вписанная и описанная окружность"

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(110) "Презентация по геометрии "Вписанная и описанная окружность""
    ["seo_title"] => string(66) "priezientatsiia_po_ghieomietrii_vpisannaia_i_opisannaia_okruzhnost"
    ["file_id"] => string(6) "367975"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1481371692"
  }
}

Конспект урока по математике "теорема о вписанном угле"

object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(101) "Конспект урока по математике "теорема о вписанном угле""
    ["seo_title"] => string(60) "konspiekt-uroka-po-matiematikie-tieoriema-o-vpisannom-ughlie"
    ["file_id"] => string(6) "250618"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1447092891"
  }
}

Разработка урока по теме: "Цилиндр, его определение, элементы и их свойства"

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(138) "Разработка урока по теме: "Цилиндр, его определение, элементы и их свойства" "
    ["seo_title"] => string(83) "razrabotka-uroka-po-tiemie-tsilindr-iegho-opriedielieniie-eliemienty-i-ikh-svoistva"
    ["file_id"] => string(6) "137825"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1417438466"
  }
}

Презентация на тему: "Вписанная окружность"

Просмотр содержимого документа «презентация на тему: "Вписанная окружность" »

Похожие файлы

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«презентация на тему: "Вписанная окружность" »