kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Презентация к уроку геометрии на тему "Перпендикулярность прямой и плоскости".

Нажмите, чтобы узнать подробности

Презентация по геометрии на тему

 «Перпендикулярность прямой и плоскости».

1 слайд.  Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.  Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

2 слайд. Лемма
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

Дано: а   ?b и а  ⊥ с.
Доказать: b  ⊥ c.

Доказательство:
Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к.  а с, то ∠АМС =90°
Т.к. а   ?b , а   ? МА, то b   ? МА.
Итак, b   ? МА, с    ? МС,

∠ АМС = 90°, т. е. b  ⊥ c.
Лемма доказана.

3 слайд. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

        Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Перпендикулярность прямой a  и плоскости α обозначается так:      а ⊥ α.

4 слайд. Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

Дано: а ?а1 а ⊥ α.              

 Доказать: а 1? α

Доказательство:
 Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а перпендикулярна α, то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а1 перпендикулярна α. Теорема доказана.

5 слайд. Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано: a ⊥α,b ⊥α  (а)

Доказать :  a ? b .

Доказательство:

Через какую-нибудь точку   M  прямой  b проведем прямую b1, параллельную прямой a. По предыдущей теореме b1 ⊥α. Докажем ,что прямая b1 совпадает с прямой b.Тем самым будет доказано,что a ? b.Допустим,что прямые b и b1 не совпадают.Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, a?b. Теорема доказана.

6 слайд.  Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: а р,     а qр и q лежат в плоскости α.

р ?q = О. Доказать: а ? α

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l, параллельную прямой m. Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, и l  соответственно в т. Р, Q, и  L.

Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, ΔАРQ= ΔВРQ по трём сторонам, поэтому углы АРQ  и ВРQ равны

ΔАРL= ΔВРL, поэтому АL=BL. Следовательно ΔАВL-равнобедренный и lа. Т.к. l ?m,      l ⊥ а, то m ⊥а. Итак а ⊥ α.

Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а, а1 ?а. По лемме

а1 р и а1 q, поэтому а1 ⊥ α. Отсюда, а ⊥ α.

 Теорема доказана.

7 слайд. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.

Доказательство: Данную плоскость обозначим α, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-1ярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна.

1)      Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскостьβ, проходящую че-; точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости α и β. В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой b. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, т.к. перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости b по по построению и с а, так как (β ⊥ α).

2)Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее черезс1), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с1 ? с, что невозможно, т. к. прямые с1 и с пересекаются в точке М.  Т.о., через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскостиα. Теорема доказана.

Просмотр содержимого документа
«Презентация к уроку геометрии на тему "Перпендикулярность прямой и плоскости".»

Перпендикулярность прямой и плоскости  . Максимова Н. В., МБОУ СОШ №4, Лобня

Перпендикулярность прямой и плоскости

.

Максимова Н. В., МБОУ СОШ №4, Лобня

Перпендикулярные прямые в пространстве  Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.  Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥ b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.  На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые  а и с скрещивающиеся

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥ b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые

а и с скрещивающиеся

Лемма  Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой  Дано: а ⃦ b и а  ⊥ с.  Доказать: b  ⊥  c. Доказательство:  Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а ⊥ с , то ∠ АМС =90°  Т.к. а ⃦ b , а ⃦ МА, то b ⃦ МА.  Итак, b ⃦ МА, с ⃦ МС, ∠  АМС = 90°, т. е. b  ⊥  c.  Лемма доказана.

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

Дано: а b и а с. Доказать: b c.

Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а с , то АМС =90° Т.к. а b , а МА, то b МА. Итак, b МА, с МС,

АМС = 90°, т. е. b c. Лемма доказана.

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости  Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой a и плоскости α обозначается так: а ⊥ α.

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Перпендикулярность прямой a и плоскости α обозначается так: а α.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.   Дано : а ║ а 1  , а ⊥ α .   Доказать:  а 1 ║ α Доказательство:  Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости  α . Так как а перпендикулярна  α , то а  перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей  а 1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а 1 перпендикулярна  к любой прямой, лежащей в плоскости α , т.е. а 1 перпендикулярна  α . Теорема доказана.  

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Дано : а а 1 , а α .

Доказать: а 1 α

Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α . Так как а перпендикулярна α , то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а 1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а 1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α , т.е. а 1 перпендикулярна α . Теорема доказана.

 

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Дано: a ⊥α , b ⊥α (а) Доказать :   a ║ b . Доказательство: Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b 1 , параллельную прямой a. По предыдущей теореме b 1 ⊥ α .  Докажем ,что прямая b 1 совпадает с прямой b .Тем самым будет доказано ,что a ║ b . Допустим ,что прямые b и b 1  не совпадают . Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b 1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c ,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, a ║ b . Теорема доказана.

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано: a ⊥α , b ⊥α (а)

Доказать : a b .

Доказательство:

Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b 1 , параллельную прямой a. По предыдущей теореме b 1 ⊥ α . Докажем ,что прямая b 1 совпадает с прямой b .Тем самым будет доказано ,что a b . Допустим ,что прямые b и b 1 не совпадают . Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b 1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c ,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, a b . Теорема доказана.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано:  а ⊥ р, а ⊥ q , р и q лежат в плоскости α. р  ⋂ q = О. Доказать:  а ┴ α Доказательство: Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l , параллельную прямой m . Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, и l соответственно в т. Р, Q, и L. Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, ΔАРQ= ΔВРQ по трём сторонам, поэтому углы АРQ и ВРQ равны ΔАРL= ΔВРL, поэтому АL=BL. Следовательно ΔАВL-равнобедренный и l ⊥ а. Т.к. l ║ m, l ⊥ а, то m ⊥ а . Итак а  ⊥ α. Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а , а 1 ║ а. По лемме а 1  ⊥  р и а 1  ⊥  q, поэтому а 1  ⊥ α. Отсюда, а  ⊥ α.  Теорема доказана.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: а р, а q , р и q лежат в плоскости α.

р q = О. Доказать: а ┴ α

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l , параллельную прямой m . Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, и l соответственно в т. Р, Q, и L.

Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, ΔАРQ= ΔВРQ по трём сторонам, поэтому углы АРQ и ВРQ равны

ΔАРL= ΔВРL, поэтому АL=BL. Следовательно ΔАВL-равнобедренный и l а. Т.к. l m, l а, то m а . Итак а α.

Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а , а 1 а. По лемме

а 1 р и а 1 q, поэтому а 1 α. Отсюда, а α.

Теорема доказана.

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.

Доказательство: Данную плоскость обозначим α, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-1ярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна.

  • Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскостьβ, проходящую че-; точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости α и β. В плоскости β через точку М проведем прямую с , перпендикулярную к прямой b. Прямая с и е сть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, т.к. перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости b по по построению и с а, так как (β α ).

2)Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее через с1 ), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с 1 с , что невозможно, т. к. прямые с 1 и с пересекаются в точке М. Т.о., через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскостиα. Теорема доказана.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Презентация к уроку геометрии на тему "Перпендикулярность прямой и плоскости".

Автор: Максимова Наталья Владимировна

Дата: 11.11.2015

Номер свидетельства: 251676

Похожие файлы

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(87) "Презентация по математике "Уроки стереометрии" "
    ["seo_title"] => string(53) "priezientatsiia-po-matiematikie-uroki-stierieomietrii"
    ["file_id"] => string(6) "170798"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1423586554"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(125) "Учебный проект по математике  "Координаты и координатная плоскость" "
    ["seo_title"] => string(69) "uchiebnyi-proiekt-po-matiematikie-koordinaty-i-koordinatnaia-ploskost"
    ["file_id"] => string(6) "124008"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1414609327"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(88) "Информационныетехнологии на уроках математики "
    ["seo_title"] => string(52) "informatsionnyietiekhnologhii-na-urokakh-matiematiki"
    ["file_id"] => string(6) "211577"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1431632800"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(123) "Методическая разработка урока-игры на тему: "Самый умный математик""
    ["seo_title"] => string(71) "mietodichieskaia_razrabotka_uroka_ighry_na_tiemu_samyi_umnyi_matiematik"
    ["file_id"] => string(6) "350299"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1476808435"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства