kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Презентация к уроку геометрии на тему "Перпендикулярность прямой и плоскости".

Нажмите, чтобы узнать подробности

Презентация по геометрии на тему

 «Перпендикулярность прямой и плоскости».

1 слайд.  Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.  Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

2 слайд. Лемма
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

Дано: а   ?b и а  ⊥ с.
Доказать: b  ⊥ c.

Доказательство:
Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к.  а с, то ∠АМС =90°
Т.к. а   ?b , а   ? МА, то b   ? МА.
Итак, b   ? МА, с    ? МС,

∠ АМС = 90°, т. е. b  ⊥ c.
Лемма доказана.

3 слайд. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

        Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Перпендикулярность прямой a  и плоскости α обозначается так:      а ⊥ α.

4 слайд. Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

Дано: а ?а1 а ⊥ α.              

 Доказать: а 1? α

Доказательство:
 Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а перпендикулярна α, то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а1 перпендикулярна α. Теорема доказана.

5 слайд. Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано: a ⊥α,b ⊥α  (а)

Доказать :  a ? b .

Доказательство:

Через какую-нибудь точку   M  прямой  b проведем прямую b1, параллельную прямой a. По предыдущей теореме b1 ⊥α. Докажем ,что прямая b1 совпадает с прямой b.Тем самым будет доказано,что a ? b.Допустим,что прямые b и b1 не совпадают.Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, a?b. Теорема доказана.

6 слайд.  Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: а р,     а qр и q лежат в плоскости α.

р ?q = О. Доказать: а ? α

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l, параллельную прямой m. Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, и l  соответственно в т. Р, Q, и  L.

Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, ΔАРQ= ΔВРQ по трём сторонам, поэтому углы АРQ  и ВРQ равны

ΔАРL= ΔВРL, поэтому АL=BL. Следовательно ΔАВL-равнобедренный и lа. Т.к. l ?m,      l ⊥ а, то m ⊥а. Итак а ⊥ α.

Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а, а1 ?а. По лемме

а1 р и а1 q, поэтому а1 ⊥ α. Отсюда, а ⊥ α.

 Теорема доказана.

7 слайд. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.

Доказательство: Данную плоскость обозначим α, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-1ярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна.

1)      Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскостьβ, проходящую че-; точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости α и β. В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой b. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, т.к. перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости b по по построению и с а, так как (β ⊥ α).

2)Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее черезс1), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с1 ? с, что невозможно, т. к. прямые с1 и с пересекаются в точке М.  Т.о., через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскостиα. Теорема доказана.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Презентация к уроку геометрии на тему "Перпендикулярность прямой и плоскости".»

Перпендикулярность прямой и плоскости  . Максимова Н. В., МБОУ СОШ №4, Лобня

Перпендикулярность прямой и плоскости

.

Максимова Н. В., МБОУ СОШ №4, Лобня

Перпендикулярные прямые в пространстве  Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.  Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥ b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.  На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые  а и с скрещивающиеся

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥ b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые

а и с скрещивающиеся

Лемма  Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой  Дано: а ⃦ b и а  ⊥ с.  Доказать: b  ⊥  c. Доказательство:  Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а ⊥ с , то ∠ АМС =90°  Т.к. а ⃦ b , а ⃦ МА, то b ⃦ МА.  Итак, b ⃦ МА, с ⃦ МС, ∠  АМС = 90°, т. е. b  ⊥  c.  Лемма доказана.

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

Дано: а b и а с. Доказать: b c.

Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а с , то АМС =90° Т.к. а b , а МА, то b МА. Итак, b МА, с МС,

АМС = 90°, т. е. b c. Лемма доказана.

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости  Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой a и плоскости α обозначается так: а ⊥ α.

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Перпендикулярность прямой a и плоскости α обозначается так: а α.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.   Дано : а ║ а 1  , а ⊥ α .   Доказать:  а 1 ║ α Доказательство:  Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости  α . Так как а перпендикулярна  α , то а  перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей  а 1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а 1 перпендикулярна  к любой прямой, лежащей в плоскости α , т.е. а 1 перпендикулярна  α . Теорема доказана.  

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Дано : а а 1 , а α .

Доказать: а 1 α

Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α . Так как а перпендикулярна α , то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а 1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а 1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α , т.е. а 1 перпендикулярна α . Теорема доказана.

 

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Дано: a ⊥α , b ⊥α (а) Доказать :   a ║ b . Доказательство: Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b 1 , параллельную прямой a. По предыдущей теореме b 1 ⊥ α .  Докажем ,что прямая b 1 совпадает с прямой b .Тем самым будет доказано ,что a ║ b . Допустим ,что прямые b и b 1  не совпадают . Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b 1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c ,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, a ║ b . Теорема доказана.

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано: a ⊥α , b ⊥α (а)

Доказать : a b .

Доказательство:

Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b 1 , параллельную прямой a. По предыдущей теореме b 1 ⊥ α . Докажем ,что прямая b 1 совпадает с прямой b .Тем самым будет доказано ,что a b . Допустим ,что прямые b и b 1 не совпадают . Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b 1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c ,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, a b . Теорема доказана.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано:  а ⊥ р, а ⊥ q , р и q лежат в плоскости α. р  ⋂ q = О. Доказать:  а ┴ α Доказательство: Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l , параллельную прямой m . Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, и l соответственно в т. Р, Q, и L. Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, ΔАРQ= ΔВРQ по трём сторонам, поэтому углы АРQ и ВРQ равны ΔАРL= ΔВРL, поэтому АL=BL. Следовательно ΔАВL-равнобедренный и l ⊥ а. Т.к. l ║ m, l ⊥ а, то m ⊥ а . Итак а  ⊥ α. Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а , а 1 ║ а. По лемме а 1  ⊥  р и а 1  ⊥  q, поэтому а 1  ⊥ α. Отсюда, а  ⊥ α.  Теорема доказана.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: а р, а q , р и q лежат в плоскости α.

р q = О. Доказать: а ┴ α

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l , параллельную прямой m . Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, и l соответственно в т. Р, Q, и L.

Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, ΔАРQ= ΔВРQ по трём сторонам, поэтому углы АРQ и ВРQ равны

ΔАРL= ΔВРL, поэтому АL=BL. Следовательно ΔАВL-равнобедренный и l а. Т.к. l m, l а, то m а . Итак а α.

Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а , а 1 а. По лемме

а 1 р и а 1 q, поэтому а 1 α. Отсюда, а α.

Теорема доказана.

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.

Доказательство: Данную плоскость обозначим α, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-1ярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна.

  • Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскостьβ, проходящую че-; точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости α и β. В плоскости β через точку М проведем прямую с , перпендикулярную к прямой b. Прямая с и е сть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, т.к. перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости b по по построению и с а, так как (β α ).

2)Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее через с1 ), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с 1 с , что невозможно, т. к. прямые с 1 и с пересекаются в точке М. Т.о., через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскостиα. Теорема доказана.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Презентация к уроку геометрии на тему "Перпендикулярность прямой и плоскости".

Автор: Максимова Наталья Владимировна

Дата: 11.11.2015

Номер свидетельства: 251676

Похожие файлы

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(87) "Презентация по математике "Уроки стереометрии" "
    ["seo_title"] => string(53) "priezientatsiia-po-matiematikie-uroki-stierieomietrii"
    ["file_id"] => string(6) "170798"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1423586554"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(125) "Учебный проект по математике  "Координаты и координатная плоскость" "
    ["seo_title"] => string(69) "uchiebnyi-proiekt-po-matiematikie-koordinaty-i-koordinatnaia-ploskost"
    ["file_id"] => string(6) "124008"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1414609327"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(88) "Информационныетехнологии на уроках математики "
    ["seo_title"] => string(52) "informatsionnyietiekhnologhii-na-urokakh-matiematiki"
    ["file_id"] => string(6) "211577"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1431632800"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(123) "Методическая разработка урока-игры на тему: "Самый умный математик""
    ["seo_title"] => string(71) "mietodichieskaia_razrabotka_uroka_ighry_na_tiemu_samyi_umnyi_matiematik"
    ["file_id"] => string(6) "350299"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1476808435"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1390 руб.
1980 руб.
1450 руб.
2070 руб.
1680 руб.
2400 руб.
1490 руб.
2130 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства