Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей
Готовимся к ЕГЭ
Три одинаковых арбуза дороже дыни на 14%. На сколько процентов два таких же арбуза дешевле дыни ?
Готовимся к ЕГЭ
1 часть
Три одинаковых арбуза дороже дыни на 14%. На сколько процентов два таких же арбуза дешевле дыни ?
Дороже на 14 %
100 %
114 %
: 3 = 38%
100 - 76 = 24 (%)
100 %
38% 2 = 76 %
Ответ : 24 %
Десять одинаковых рубашек дешевле куртки на 6%. На сколько процентов пятнадцать таких же рубашек дороже куртки?
Ответ : 41 %
1. Одиннадцать одинаковых рубашек дешевле куртки на 1%. На сколько процентов пятнадцать таких же рубашек дороже куртки?
Ответ : 35%
2. Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов одиннадцать таких же рубашек дороже куртки?
Ответ : 10%
3. 7 рубашек дешевле одного костюма на 9 процентов, на сколько процентов 11 рубашек дороже одного костюма?
Ответ : 43%
Брюки дороже рубашки на 20% и дешевле пиджака на 46%. На сколько % рубашка дешевле пиджака?
Х рублей
У рублей
Ответ : 55%
1. Брюки дороже рубашки на 30%, но дешевле на 22% пиджака. На сколько % рубашка дешевле пиджака?
Ответ :на 40%
2. Брюки дороже на 32% галстука и дороже на 20% рубашки. На сколько % рубашка дороже галстука?
Ответ :на 10%
3. Брюки дешевле кофты на 20% и дороже рубашки на 25%. На сколько процентов рубашка дешевле кофты?
Ответ : на 4%
4. Брюки дороже рубашки на 25%, костюм дороже брюк на 25%,на сколько процентов рубашка дешевле костюма?
Ответ : на 36%
Семья состоит из мужа, жены и сына – студента. Если зарплата мужа увеличится вдвое, то общий доход семьи возрастет на 50%. Если стипендия сына уменьшится в два раза, то общий доход семьи снизится на 10 %. Сколько процентов от общего дохода составляет зарплата жены?
муж
сын
жена
100 %
муж
сын
жена
муж
20 %
50 %
жена
муж
сын
10 %
100 % - 50 % - 20% = 30%
Ответ : 30 %
Семья состоит из мужа , жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 189%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены
Решение :
Ответ : 31 %
Решение : 100 % - 67 % - 6 % = 27%
2.Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 165%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вчетверо, общий доход семьи сократился бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение : 100 % - 55 % - 8 % = 37%
2 часть
Аннуитетный и дифференцированный платежи
1. Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши (платежи), растянутые на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым.
2. Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «долг уменьшается на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем», то речь идет о дифференцированном платеже.
Задача № 1
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т .е. увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т .е. за четыре года)?
Решение:
Ответ : 2928200
Задача №2
31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е.) увеличивает долг на 20%), затем Степан производит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа.
Решение :
1.Платеж выплачивается за три года
1900800 – это единовременный платеж, а Степан выплачивает тремя равными платежами , т.е. 3·1900800 = 5702400
2.Платеж выплачивается за два года
2620800– это единовременный платеж, а Степан выплачивает двумя равными платежами , т.е. 2 ·2620800 = 5241600
Чтобы узнать, на сколько размер первого платежа отличается от размера второго платежа нужно
5702400 – 5241600 = 460800
Ответ : на 460800 руб
Задача № 3
31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 13%), затем Василий переводит в банк 5 107 600 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?
Решение:
Ответ : 8.520.000 руб
Задача № 4
Сумма
Сумма
Выплата
Выплата
Долг
Долг
1,06 S
1,06 S -0,75 S =
= 0 , 31S
0,75 S
0,795 S -0,4 S =
= 0 , 3 95 S
0,75 S· 1,06=
=0,795 S
0,4 S
0,4 S· 1,06 =
= 0,424 S
0,424 S - 0 =
= 0 ,424 S
0
1) 0,31 S + 0 , 395S + 0,424S = 1,129 S – общая сумма выплат
2) 1,129 S – S = 0,129S – на 12,9 %
Ответ : на 12,9 %
Задача № 5
В июле 2017 года планируется взять кредит на три года в размере S млн рублей, где S – целое число . Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
Найдите наименьшее значение S , при котором каждая из выплат будет больше 3 млн рублей.
Сумма
Выплата
Долг
1,25 S -0,7 S =
= 0 ,55 S
1,25 S
0,7 S
0,7 S · 1,25=
= 0,875 S
0,875 S -0,4 S =
= 0 ,475 S
0,4 S
0,4 S· 1,25 =
= 0,5 S
0,5 S - 0 = 0,5 S
0
Ответ : 7 млн рублей
Задача № 6
15 мая был выдан кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения. Текущий долг выражается в процентах.
В конце каждого месяца , начиная с мая, долг увеличивается на 5 %, а выплаты по погашению кредита должны происходить в первой половине каждого месяца, начиная с июня. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Дата
15.05
Текущий долг
15.06
100%
15.07
80%
15.08
60%
15.09
40%
15.10
20%
0%
Сумма
Выплата
Долг
0 , 25 S
1 , 05 S
0,8 S
0,8 S·1,05=0,84S
0 , 24 S
0, 6 S
0, 6 S· 1,05 = 0,63S
0, 4 S
0 , 23 S
0, 4 S· 1,05 = 0,42S
0, 2 S
0 , 22 S
0
0, 2 S·1,05 = 0,21S
0 , 21 S
1) 0,25S + 0,24S + 0,23S + 0,22S + 0,21S = 1,15S – общая сумма выплат
2) 1,15S – S = 0,15 S – на 15 %
Ответ : на 15%
Задача № 7
Решение :
K=1 +
Сумма
Выплата
Долг
0,6
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1к – 0,6
1к
0,6к
0,6к – 0,4
0,4к
0,4к – 0,3
0,3к – 0,2
0,3к
0,2к
0,2к – 0,1
0,1к
0,1к - 0
( 1k – 0 , 6) + ( 0, 6k – 0 , 4) + (0 , 4k – 0 ,3 ) +
( 0 , 3k – 0 , 2) + (0 , 2k – 0 , 1 ) + 0 , 1 = 2 , 6k -1 , 6
2 , 6k -1 , 6 1,2
2 , 6k 2,8
Т. к. по условию r наибольшее целое, то r = 7
Ответ : 7%
Задача №5
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- со 2- го по 14- е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс .рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Долг
Платеж
%
12 мес
К-ый мес
3 мес
2 мес
1 мес
х
Найдем сумму всех выплат
Ответ : 600 тыс. рублей
2)15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
3)В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
4)15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?
5)15-го декабря планируется взять кредит в банке на
1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы: —1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
6)15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей; — к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
7)15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r .
Задачи на оптимизацию
Задача № 1
В 1-е классы поступает 45 человек:
20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили
по двум классам: в одном должно получиться
22 человека, а в другом ― 23. После
распределения посчитали процент девочек
в каждом классе и полученные числа
сложили. Каким должно быть распределение
по классам, чтобы полученная сумма была
наибольшей?
![Решение : Пусть в меньшем классе х девочек , тогда в большем классе (25 – х) девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом . Значит , эта функция возрастает на отрезке [2;22] и достигает своего наибольшего значения при х =22. Следовательно, меньший класс должен состоять только из девочек , а больший класс из 23девочек и 20 мальчиков. Ответ: в меньшем классе 22 девочки в большем классе 3 девочки и 20 мальчиков](https://fsd.kopilkaurokov.ru/up/html/2019/11/11/k_5dc9377d0e06c/img_user_file_5dc9377e8a4f0_42.jpg)
Решение :
Пусть в меньшем классе х девочек , тогда в большем классе (25 – х) девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах
Это линейная функция с положительным угловым
коэффициентом .
Значит , эта функция возрастает на отрезке [2;22] и достигает своего наибольшего значения при х =22. Следовательно, меньший класс должен состоять только из девочек , а больший класс из 23девочек и 20 мальчиков.
Ответ: в меньшем классе 22 девочки в большем классе 3 девочки и 20 мальчиков
Задача № 2
У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.
Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Решение :
Картофель 5000руб/ц
Свёкла 8000 руб/ц
1 поле
2 поле
10 га
10 га
300ц/га картофель
500 ц/га свёкла
500 ц/га картофель
300 ц/га свёкла
10 · 500 · 8000 = =40.000.000 руб
Х га – свёкла
(10 – х) га -картофель
f(x) = 500 · (10 – x) · 5000 + x · 300 · 8000 – прибыль на 1 поле
f(x) = 25.000.000 – 2.500.000x + 2.400.000x
f(x) = 25.000.000 – 100 . 000x
При x = 0 f(x) принимает наибольшее значение .
Следовательно, на 1 поле свёклу не садим, а садим только картофель. Значит, 25.000.000. прибыль на 1 поле + 40.000.000 на втором поле итого 65.000.000 рублей или 65 млн. рублей
Ответ : 65 млн. рублей
1. У фермера есть два поля, каждое площадью 15 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 400 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 2000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 3000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Ответ : 30 млн. руб
2. У фермера есть два поля, каждое площадью 8 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 350 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 2500 руб. за центнер, а свёклу — по цене 3000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Ответ : 14,2 млн. руб
3. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 г/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 г/га.
Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свеклу – по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
4. У фермера есть два поля, каждое площадью 20 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 230 ц/га, а на втором – 150 г/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором – 300 г/га.
Фермер может продавать картофель по цене 1800 руб. за центнер, а свеклу – по цене 1600 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
4. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 г/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 г/га.
Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свеклу – по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
5. У фермера есть два поля, каждое площадью 20 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 230 ц/га, а на втором – 150 г/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором – 300 г/га.
Фермер может продавать картофель по цене 1800 руб. за центнер, а свеклу – по цене 1600 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
7.У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 г/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором – 200 г/га.
Фермер может продавать картофель по цене 1500 руб. за центнер, а свеклу – по цене 1800 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
8.У фермера есть два поля, каждое площадью 15 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 150 ц/га, а на втором – 250 г/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 180 г/га.
Фермер может продавать картофель по цене 2000 руб. за центнер, а свеклу – по цене 1800 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
9.У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 г/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором – 200 г/га.
Фермер может продавать картофель по цене 1500 руб. за центнер, а свеклу – по цене 1800 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
10.У фермера есть два поля, каждое площадью 15 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 150 ц/га, а на втором – 250 г/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 180 г/га.
Фермер может продавать картофель по цене 2000 руб. за центнер, а свеклу – по цене 1800 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
11.У фермера есть два поля, каждое площадью 15 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 450 г/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 г/га.
Фермер может продавать картофель по цене 1200 руб. за центнер, а свеклу – по цене 1400 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Задача № 3
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
t 2
2
Решение:
,
1) х 2
Суммарный расход денег за неделю
500(х 2 + у 2 ) = 5000000
х 2 + у 2 = 10000,
S = 3х +4у ,
S = 3х + 4
x =60
-
+
х
100
60
0
Ответ : 500 единиц
Задача № 4
х
40
Ответ: 5 800 000 рублей
Задача № 5
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у 2 человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
Решение :
-
+
20
0
