kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Презентация к уроку математики 11 класс Исследование функции с помощью производной

Нажмите, чтобы узнать подробности

Презентация представляет полный урок. мммм

—повторить и обобщить теоретические знания по теме: «Применение производной  к исследованию функций»

 

—рассмотреть  типы задач 7, 14,   встречающиеся на  ЕГЭ по математике  — —проверить свои знания при самостоятельном решении задач

Просмотр содержимого документа
«Презентация к уроку математики 11 класс Исследование функции с помощью производной»

Исследование функции с помощью производной Симонтовская СОШ Демиденко В.Н.

Исследование функции

с помощью производной

Симонтовская СОШ

Демиденко В.Н.

Цели урока

Цели урока

  • повторить и обобщить теоретические знания по теме: «Применение производной к исследованию функций»
  • рассмотреть типы задач 7, 14, встречающиеся на ЕГЭ по математике
  • проверить свои знания при самостоятельном решении задач
УСТНЫЙ ОПРОС

УСТНЫЙ ОПРОС

  • Достаточный признак возрастания функции.
  • Достаточный признак убывания функции.
  • Какие точки области определения функции являются критическими точками.
  • Необходимое условие экстремума (или теорема французского математика – теорема Ферма)
  • Какая точка называется точкой максимума? (упрощенная формулировка этого признака).
  • Какая точка называется точкой минимума? (упрощенная формулировка этого признака)
касательная У k  – угловой коэффициент прямой ( касательной ) α 0 Х Геометрический смысл производной: значение производной функции f(x) в точке с абсциссой равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке ( ; f( ) ) , т.е.  Поскольку , то верно равенство

касательная

У

k – угловой коэффициент прямой ( касательной )

α

0

Х

Геометрический смысл производной: значение производной функции f(x)

в точке с абсциссой равно угловому коэффициенту касательной к

графику функции y = f(x) в точке ( ; f( ) ) , т.е.

Поскольку , то верно равенство

Решите самостоятельно следующие задания

Решите самостоятельно следующие задания

№ 1

1

№ 2

2

№ 3

3

№ 4

4

№ 5

5

№ 6

6

№ 7

7

№ 8

8

Проверьте себя № 5 № 1 - 1 0 , 2 5 № 6 № 2 4 0 , 2 5 № 3 № 7 1 - 3 № 8 № 4 1 0 , 2 5

Проверьте себя

5

1

-

1

0

,

2

5

6

2

4

0

,

2

5

3

7

1

-

3

8

4

1

0

,

2

5

Применение производной    к исследованию функций

Применение производной

к исследованию функций

Достаточный признак возрастания функции  Если функция f  имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f возрастает на интервале (а;b).

Достаточный признак возрастания функции

Если функция f

имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала (а;b),

то функция f возрастает

на интервале (а;b).

Достаточный признак убывания функции  Если функция f имеет неположительную производную в каждой точке интервала  (а;b ), то  функция f убывает на интервале (а;b).

Достаточный признак убывания функции

Если функция f

имеет неположительную производную в каждой точке интервала (а;b ),

то функция f убывает на интервале (а;b).

Критические точки функции Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Критические точки функции

  • Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Необходимое условие экстремума  (Теорема Ферма)  Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x) , то она равна нулю: f `(x) = 0 .

Необходимое условие экстремума (Теорема Ферма)

Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x) , то она равна нулю: f `(x) = 0 .

0 на интервале (а; х 0 ), и f `(x) 0 ; b), то точка х 0 является точкой максимума функции f. Если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х 0 максимума. Y - + 10 9 8 - + 7 6 5 4 - + 3 2 1 X + - 0 -7 3 6 -8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 4 5 7 10 -10 8 -9 9 -1 -2 - -3 + -4 -5 -6 + - -7 -8 -9 -10" width="640"

Признак максимума функции

  • Если функция f непрерывна в точке х 0, а f `(x) 0 на интервале (а; х 0 ), и f `(x) 0 ; b), то точка х 0 является точкой максимума функции f.
  • Если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х 0 максимума.

Y

-

+

10

9

8

-

+

7

6

5

4

-

+

3

2

1

X

+

-

0

-7

3

6

-8

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

4

5

7

10

-10

8

-9

9

-1

-2

-

-3

+

-4

-5

-6

+

-

-7

-8

-9

-10

0 на интервале (х 0 ; b), то точка х 0 является точкой минимума функции f. Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума. Y 10 - + 9 8 - 7 6 5 + - 4 3 2 1 X 0 10 -8 9 4 -10 -9 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 1 5 6 7 8 - + -1 -2 -3 - -4 + -5 -6 -7 - -8 + -9 -10" width="640"

Признак минимума функции

  • Если функция f непрерывна в точке х 0 , f `(x) 0 ) и f `(x) 0 на интервале (х 0 ; b), то точка х 0 является точкой минимума функции f.
  • Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума.

Y

10

-

+

9

8

-

7

6

5

+

-

4

3

2

1

X

0

10

-8

9

4

-10

-9

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

2

3

1

5

6

7

8

-

+

-1

-2

-3

-

-4

+

-5

-6

-7

-

-8

+

-9

-10

у max max min min min х 0 max Если производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку Хо, то Если производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку Хо, то Хо-точка минимума Хо-точка максимума у max 0 min х min min

у

max

max

min

min

min

х

0

max

Если производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку Хо, то

Если производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку Хо, то

Хо-точка минимума

Хо-точка максимума

у

max

0

min

х

min

min

Задание №1. Укажите точку минимума функции y = f (x), заданной на отрезке [-6;4], если на рисунке изображён график её производной. у х 4 0 -2 -6  f / (x) - +  f(x )  - 2 Ответ: -2

Задание №1.

Укажите точку минимума функции y = f (x), заданной на отрезке [-6;4], если на рисунке изображён график её производной.

у

х

4

0

-2

-6

f / (x) - +

f(x ) - 2

Ответ: -2

. Задание №2 .  Укажите промежутки монотонности функции, используя график её производной.  f / (x) - + у  f(x )  - 2 х 4 -5 1 Ответ: (-5;-3],[ 0;3] - промежутки возрастания,  [-3;0], [3;4) – промежутки убывания

.

Задание №2 .

Укажите промежутки монотонности функции, используя график её производной.

f / (x) - +

у

f(x ) - 2

х

4

-5

1

Ответ: (-5;-3],[ 0;3] - промежутки возрастания,

[-3;0], [3;4) – промежутки убывания

. Задание №3 .   Используя график функции, укажите промежутки, на которых её производная положительна, отрицательна.  f / (x) - + у  f(x )  - 2 х -5 -2 1 4  Производная положительна на промежутках: (-5;-4), (-2;2) Производная отрицательна на промежутках: (-4;-2), (2;4)

.

Задание №3 .

Используя график функции, укажите промежутки, на которых её производная положительна, отрицательна.

f / (x) - +

у

f(x ) - 2

х

-5

-2

1

4

Производная положительна на промежутках: (-5;-4), (-2;2) Производная отрицательна на промежутках: (-4;-2), (2;4)

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.          Решение.    Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек.  Ответ: 5.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

  • Решение.

Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

  • Решение. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−9; −6) длиной 3 и интервалу (−2; 3) длиной 5. Длина наибольшего из них равна 5. Ответ: 5.
На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

  • Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x  = 7. Ответ: 1.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

  • Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−7; −5), (2; 5). Наибольший из них — интервал (2; 5), длина которого 3.
На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].     Решение.  Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9, −7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума.  Ответ: 4.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].

  • Решение. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9, −7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4.

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x) .

На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x) .

  • Решение. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Ответ: 44.
ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

Решите самостоятельно        следующие  задания Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Решите самостоятельно следующие задания

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №1

Задание №1

Задание №2  Прямая у= 2х является касательной к графику функции  Найдите абсциссу точки касания.

Задание №2

Прямая у= 2х является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Задание №3

Задание №3

Задание №4

Задание №4

Задание №5

Задание №5

Задание №6

Задание №6

Задание №7

Задание №7

Задание №8

Задание №8

Задание №9

Задание №9

Задание №10

Задание №10

Задание №11

Задание №11

Задание №12

Задание №12

Проверьте себя 1 7 3 0 , 5 2 8 1 - 1 3 9 1 7 4 10 7 8  11 1 5 2 1 5 6 12 - 2 - 2

Проверьте себя

1

7

3

0

,

5

2

8

1

-

1

3

9

1

7

4

10

7

8

11 1

5

2

1

5

6

12

-

2

-

2

Поставьте себе оценку  за самостоятельные работы Верно выполненное задание – 1 балл. Каждая консультация учителя во время самостоятельной работы снимает 0,5 балла  Балл   Оценка  19-20    5  15-18   4   10-14   3   0-9   2 .

Поставьте себе оценку за самостоятельные работы

Верно выполненное задание – 1 балл. Каждая консультация учителя во время самостоятельной работы снимает 0,5 балла

Балл

Оценка

19-20

5

15-18

4

10-14

3

0-9

2

.

Памятка  Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке или значение производной функции в точке, надо найти тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох. Для этого достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение противолежащего катета к прилежащему.  Если на рисунке нет касательной, но известны точки, через которые она проходит, сначала надо провести касательную, а потом рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором найти отношение катетов.  Если угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох острый , то угловой коэффициент касательной и значение производной функции в точке положительны .  Если угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох тупой , то угловой коэффициент касательной и значение производной функции в точке отрицательны .

Памятка

  • Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке или значение производной функции в точке, надо найти тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох. Для этого достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение противолежащего катета к прилежащему.

  • Если на рисунке нет касательной, но известны точки, через которые она проходит, сначала надо провести касательную, а потом рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором найти отношение катетов.

  • Если угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох острый , то угловой коэффициент касательной и значение производной функции в точке положительны .

  • Если угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох тупой , то угловой коэффициент касательной и значение производной функции в точке отрицательны .

Вспомнить связь функции и её производной поможет рисунок      Точки экстремума( максимума и минимума) следует искать среди критических точек (производная равна нулю или не существует).  Если производная меняет свой знак с плюса на минус при переходе через точку  Хо, то Хо – точка максимума .  Если производная меняет свой знак с минуса на плюс при переходе через точку  Хо, то Хо – точка минимума .  Если функция на отрезке возрастает, то своё наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее - на правом.  Если функция на отрезке убывает, то своё наименьшее значение она принимает на правом конце отрезка, а наибольшее - на левом .
  • Вспомнить связь функции и её производной поможет рисунок

  • Точки экстремума( максимума и минимума) следует искать среди критических точек (производная равна нулю или не существует).

  • Если производная меняет свой знак с плюса на минус при переходе через точку Хо, то Хо – точка максимума .

  • Если производная меняет свой знак с минуса на плюс при переходе через точку Хо, то Хо – точка минимума .

  • Если функция на отрезке возрастает, то своё наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее - на правом.

  • Если функция на отрезке убывает, то своё наименьшее значение она принимает на правом конце отрезка, а наибольшее - на левом .

f / (x) - + -

3

f(x ) - 2

min

max

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].     Решение.  Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9, −7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума.  Ответ: 4.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].

  • Решение. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9, −7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4.

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

  • Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке [−9;6] функция имеет две точки максимума x  = − 4 и x  = 4. Ответ: 2 .
Домашнее задание Повторить наибольшее и наименьшее значение функции Решить 5 заданий 7 Решить 5 заданий 14 Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Домашнее задание

  • Повторить наибольшее и наименьшее значение функции
  • Решить 5 заданий 7
  • Решить 5 заданий 14

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Ну кто придумал эту математику ! У меня всё получилось!!!  Надо решить ещё пару примеров. Рефлексия

Ну кто придумал эту математику !

У меня всё получилось!!!

Надо решить ещё пару примеров.

Рефлексия

Спасибо за активное участие на уроке!!!

Спасибо

за активное

участие на уроке!!!


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 11 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Презентация к уроку математики 11 класс Исследование функции с помощью производной

Автор: Демиденко Виктор Николаевич

Дата: 12.11.2020

Номер свидетельства: 563179

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(142) "конспект урока математики по теме  "Признаки возрастания и убывания функции". "
    ["seo_title"] => string(80) "konspiekt-uroka-matiematiki-po-tiemie-priznaki-vozrastaniia-i-ubyvaniia-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "116382"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1412439795"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(216) "Методическая разработка урока математики по теме «Исследование функции с помощью производной и построение графика»."
    ["seo_title"] => string(129) "mietodichieskaia-razrabotka-uroka-matiematiki-po-tiemie-issliedovaniie-funktsii-s-pomoshch-iu-proizvodnoi-i-postroieniie-ghrafika"
    ["file_id"] => string(6) "251161"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1447182844"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(83) "Открытый урок по теме "Производная" в 10 классе"
    ["seo_title"] => string(49) "otkrytyi-urok-po-tiemie-proizvodnaia-v-10-klassie"
    ["file_id"] => string(6) "282638"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1453720101"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(89) "Конспект урока по теме Иррациональные уравнения"
    ["seo_title"] => string(48) "konspiekturokapotiemieirratsionalnyieuravnieniia"
    ["file_id"] => string(6) "261881"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1449225184"
  }
}



ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства