Правильные многогранники в мире

Государственное бюджетное профессиональное бюджетное учреждение «Себряковский Технологический Техникум»

Мир правильных многогранников

Выполнила:

Преподаватель математики

Кузнецова Анна Игорев на

г.Михайловка

2016 г.

Актуализация знаний

• Какой раздел симметрии мы с вами сейчас проходим?

• Какие бывают многогранники?

• Какие многогранники вы уже знаете?

4. Как можно назвать все эти фигуры?

5. Что характерно для каждого из них?

6. Перед вами несколько многогранников. Какой из них лишний?

Определение правильного многогранника

Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число граней.

Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани – равные правильные многоугольники и все двугранные углы при всех ребрах равны между собой.

Свойства правильных многогранников:

• он выпуклый
• все его грани являются равными правильными многоугольниками
• в каждой его вершине сходится одинаковое число граней
• все его двугранные углы равны

Сколько существует правильных многогранников ?

Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. Для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой вершине меньше 360°.

Не существует правильного многогранника, гранями которого является правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n≥ 6.

Т.к. α = то при n≥≥ .

Фигура

Кол-во граней

Градусная мера углов

Фигура

Кол-во граней

Градусная мера углов

4

180

6

240

8

12

300

270

20

324

Пять правильных многогранников

ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников

ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов).

ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников

ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников.

ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

«эдра» - грань

«тетра» - 4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«икоса» - 20

«додека» - 12

Многогранники или Платоновы тела

В школах Пифагора и Платона пять геометрических тел считались отображением божественных измерений энергий. Каждому геометрическому телу соответствовала определённая стихия: куб – Земля, икосаэдр – Вода, тетраэдр – Огонь, октаэдр – Воздух, додекаэдр – Вселенная. Сечение этих геометрических тел даёт плоские геометрические фигуры: Земля – квадрат, Вода – шестиугольник, Огонь – треугольник, Воздух – ромб, Эфир – восьмиугольник.

Тетраэдр-огонь

Куб-земля

Октаэдр-воздух

Икосаэдр-вода

Додекаэдр-вселенная

Вселенная говорит с нами на языке геометрии. Перечисленные выше геометрические тела – многогранники и их сечения – плоские фигуры – по своей сути являются преобразователями энергий в соответствии с природными явлениями. Таким образом, эти многогранники, отражающие энергии стихий, для человека являются связующим звеном с Природой.

Кубок Кеплера

Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.

В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб - сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса - додекаэдр, сфера Земли - икосаэдр, сфера Венеры - октаэдр, сфера Меркурия

Геометрическая модель Солнечной системы,

основанная на «платоновых телах».

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу

Правильный многогранник

Число граней

Тетраэдр

Число вершин

Куб

Число ребер

Октаэдр

Г+В-Р

Додекаэдр

Икосаэдр

Правильный многогранник

Тетраэдр

Число граней

4

Куб

Число вершин

Число ребер

4

6

Октаэдр

Г+В-Р

6

8

8

Додекаэдр

  2

12

12

6

Икосаэдр

20

2 

20

12

30

  2

12

  2

30

  2

Теорема Эйлера

Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение: Г+В-Р=2 , где Г-число граней, В-число вершин, Р- число ребер данного многогранника .

Грани + Вершины - Рёбра = 2 .

Многогранники в нашей жизни

Многогранники в архитектуре

Великая пирамида в Гизе- это грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из семи чудес Древности. Кроме того, это единственное из чудес света, сохранившееся до наших дней. Во время своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире.

Лувр

Лувр-один из крупнейших и самый популярный художественный музей мира. Музей расположен в центре Парижа, на правом берегу Сены, на улице Риволи, в 1-м округе столицы

Национальная библиотека Беларуси

Визитная карточка Республики Беларусь - новое здание Национальной библиотеки в Минске. Проект нового здания был разработан еще в конце 80-х годов прошлого века и в 1989 году стал победителем на всесоюзном конкурсе. Однако воплотить его в жизнь удалось лишь спустя более чем 15 лет.

Башня Сююмбике

Спасская башня Кремля

Четыре яруса башни представляют из себя куб, многогранники и пирамиду.

Башня Сююмбике состоит из семи ярусов, нижние ярусы представляют из себя параллелепипеды а верхние - многогранники.

Многогранники в искусстве

Леонардо да Винчи - «Портрет Монны Лизы».

Композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Альбрехт Дюрер - гравюра «Меланхолия».

На переднем плане картины изображен додекаэдр.

Сальвадор Дали – «Тайная Вечеря».

Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдр.

Многогранники в химии

Некоторые атомные ядра могут иметь вид правильных многогранников с округлѐнными углами.

Кристаллы являются природными многогранниками

(соль,лёд и т.д)

Многогранники в биологии

« Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы». Действительно, построенные пчелами соты строго  параллельны, расстояния между ними выдерживаются с удивительным постоянством. Пчелиные ячейки представляют собой шестигранные геометрические фигуры . 

Задача: Определите количество граней, вершин и рёбер многогранники, изображенного на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Решение :

Г=12

В=10

Р=20

Г+В-Р=12+10-20=2

Задачи урока:

1.Ввести понятие правильного многогранника.

2. Рассмотреть все виды правильных многогранников.

3. Показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез..

4. Показать связь многогранников в нашей жизни.

Тестирование:

1. Поверхность, составленная из четырех треугольников

А) ТЕТРАЭДР B) ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД С) КВАДРАТ D) ШАР

2. Поверхность, составленная из многоугольников и ограничива- ющая некоторое геометрическое тело

А) МНОГОУГОЛЬНИК B) МНОГОГРАННИК С) ТРЕУГОЛЬНИК D) КВАДРАТ

3. Многоугольник, из которого составлен многогранник

А) СТОРОНА B) РЕБРО С) ГРАНЬ D) ВЕРШИНА

4. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани

А) ДИАГОНАЛЬ B) МЕДИАНА С) ВЫСОТА D) АПОФЕМА

5. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины

А) ДИАГОНАЛЬ B) АПОФЕМА С) КАТЕТ D)ГИПОТЕЗА

6. Этот правильный многогранник составлен из 8-ми равносторонних треугольников

А) КВАДРАТ B) ТЕТРАЭДР С) ДОДЕКАЭДР D) ОКТАЭДР

7. Составлен из 6-ти правильных четырехугольников

А) КВАДРАТ B) ТЕТРАЭДР С) КУБ D) ПИРАМИДА

8. Стихия тетраэдра

А) ВОДА B) ВОЗДУХ С) ЗЕМЛЯ D) ОГОНЬ

Проверь себя!

1. A

2. B

3. C

4. A

5. B

6. D

7. C

8. D

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

ВСЕ УМНИЧКИ!