Повторение по теме "Уравнения"

Итоговое повторение

по теме "Уравнения"

Автор: Мельникова Л.Н.

учитель математики

МБОУ Комсомольская СОШ №1

Основные понятия

Вопросы

1.Что такое уравнение?

2. Что такое степень уравнения?

3. Что значит решить уравнение?

4. Что такое корень уравнения?

5.Какие уравнения называются равносильными?

6.Основные свойства равносильных уравнений.

7. К чему могут привести неравносильные преобразования?

КОРНИ: значение переменной,

обращающее уравнение в верное равенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

равенство, содержа -

щее переменную

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: найти его корни или доказать, что их нет

УРАВНЕНИЯ

РАВНОСИЛЬНЫЕ: имеющие одинаковые корни

СВОЙСТВА: 1. Можно переносить слагаемые из одной части в другую с противоположным знаком.

2. Можно умножать (делить) обе части на одно и тоже число, не равное 0.

СТЕПЕНЬ: наивысшая степень переменной, входящей в уравнение

Один из корней уравнения 5 x 2 – 2 x + 3 p = 0 равен 1. Найдите второй корень.

Решение

По условию х 1 = 1, поэтому подставим его в данное уравнение , получим 5 • 1 2 - 2 • 1 + 3 p = 0 , откуда p = - 1, тогда данное уравнение примет вид

5 x 2 – 2 x - 3 = 0.

Т.к. а + b + c = 0, то х 1 = 1, х 2 = , х 2 = - 0,6

Ответ : - 0,6

= 0

ЛИНЕЙНЫЕ

КВАДРАТНЫЕ

ax = b

ax 2 + bx + c = 0

УРАВНЕНИЯ

ДРОБНЫЕ

ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

f ( x) = 0,

f (x)- многочлен

степ. выше 2

Неравносильные преобразования могут привести к потере корня

Правильное решение

х(х+5 ) = 2(х + 5)

х = 2

Потерян корень х = - 5

х(х+5 ) = 2(х +5)

х( х+5) – 2(х+5) = 0

( х +5)( х - 2) = 0

х+5= 0 или х – 2 = 0

х = - 5 х = 2

Ответ: -5; 2

Неравносильные преобразования могут привести к появлению посторонних корней

Правильное решение

=

х 2 + х – 1 = 4х -3

х 2 – 3х +2 = 0

х=1 и х = 2

Посторонний корень х = 1

Ответ: 2

Линейные уравнения

( приводимые к виду а x = b )

a ≠ 0

один корень

х =

a = b = 0

0 • х = 0

бесконечное множество корней х R

a = 0, b ≠ 0

0 • х = b

решений нет

Решить уравнения

1. - 7 - х = 3х + 17

2. 3( х – 3 ) = х + 2( х + 5 )

3.

4. - = 3

=

0 , два корня х = D = 0 , один корень х = – D корней нет Решите уравнения 1. 5х 2 – 8х + 3 = 0 2. х 2 – 4х + 4 = 0 3. 2х( 3х – 1) = 5(х + 1) 4. Х 2 – х + 1 = 0" width="640"

Квадратные уравнения

( приводимые к виду

ах 2 + b х + с = 0, а 0 )

Наличие корней зависит от знака выражения D= b 2 – 4ac (дискриминант)

D 0 , два корня х =

D = 0 , один корень х = –

D корней нет

Решите уравнения

1. 5х 2 – 8х + 3 = 0

2. х 2 – 4х + 4 = 0

3. 2х( 3х – 1) = 5(х + 1)

4. Х 2 – х + 1 = 0

0, х = D 1 = 0, х = - Свойства коэффициентов Если а + b +с = 0, то х₁ = 1, х₂ = Если а - b + с = 0, то х₁ = - 1, х₂ = -" width="640"

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

ах 2 +2 k х + с = 0 , b = 2k

D 1 0, х =

D 1 = 0, х = -

Свойства коэффициентов

Если а + b +с = 0, то х₁ = 1, х₂ =

Если а - b + с = 0, то х₁ = - 1, х₂ = -

0 , то х = ± Если d = 0, то х = 0 Если d , то корней нет ах² + b х = 0, с = 0 х ( ах + b ) = 0 Х = 0, ах + b = 0 ах = - b x = - Два корня: х₁ = 0 х₂ = - ах² = 0, b = c = 0 Х² = 0 Х = 0 Один корень: Х = 0 -- Решите уравнения : 1. 10х² +5х = 0 2. 3х² - 15 = 0 3. 2х² + 3 = 3 – 7х" width="640"

Неполные квадратные уравнения

ах² + с = 0, b = 0

ах² = d

х² = d

Если d 0 , то х = ±

Если d = 0, то х = 0

Если d , то корней нет

ах² + b х = 0, с = 0

х ( ах + b ) = 0

Х = 0, ах + b = 0

ах = - b

x = -

Два корня: х₁ = 0

х₂ = -

ах² = 0,

b = c = 0

Х² = 0

Х = 0

Один корень:

Х = 0

• --

Решите уравнения : 1. 10х² +5х = 0

2. 3х² - 15 = 0

3. 2х² + 3 = 3 – 7х

Дробные уравнения

Чтобы решить дробное уравнение, нужно:

1.Найти область допустимых значений переменной.

2.Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

3. Умножить обе части на общий знаменатель.

4. Решить получившееся целое уравнение.

5. Исключить посторонние корни.

Решите уравнения

1. 6 + = х 2. = 2х 3. + =

4. = 0 5. + =

Алгебраические уравнения высших степеней

( приводимые к виду f(x) = 0, где f (x) – многочлен степени выше 2 )

Методы решения

• Разложение на множители

2. Замена переменной

t = x²

t = ах² + b х + c

t = , где p(x) и g x) – многочлены

3. Графический способ

Разложение на множители

• ( х – 1 )( х + 2)( х + 10) = 0

• Х³ - 4х = 0

• Х⁴ - 8х = 0

4. 3х³ - х² - 27х + 9 = 0

Замена переменной

1. х⁴ - 6х² + 8 = 0

2. ( х² + х +1 )² +2(х² + х +1) – 3 = 0

• = 2(х² + х) + 1

4. + =

Графический способ

Чтобы найти корни уравнения f(x) = g(x) графическим способом, нужно в одной системе координат построить графики функций y = f(x) и y = g(x) , отметить точки пересечения графиков и найти абсциссы этих точек;

это и будут корни

Х ³ – = 0

Х³ =

•

Графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны - 1 и 1.

Значит, корни уравнения – числа – 1 и 1.

Ответ: - 1; 1

•