Построение сечений параллелепипеда

Построение сечений параллелепипеда

Геометрия, 10 класс

Цель

• Для решения многих геометрических задач, связанных с прямоугольным параллелепипедом, полезно уметь строить сечения различными плоскостями.
• Вспомните основные определения

• параллелепипед
• параллелепипед
• параллелепипед
• параллелепипед
• параллелепипед
• прямоугольный параллелепипед

сечение

Задача

Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Построить его сечение плоскостью MNP.

Решение:

Параллелепипед имеет 6 граней. Его сечениями могут быть:

треугольники

четырёхугольники

пятиугольники

шестиугольники.

Рассмотрим каждый случай, выбрав его путём нажатия на соответствующий значок с типом фигуры.

Треугольное сечение

• Треугольное сечение получается, если точки M, N и P лежат на выходящих из одной вершины рёбрах. Чтобы построить плоскость MNP, достаточно соединить указанные точки отрезками.

B 1

M

C 1

N

A 1

D 1

P

C

B

D

A

Четырёхугольное сечение

• Треугольное сечение получается, если точки M, N и P лежат на параллельных рёбрах. Чтобы построить плоскость MNP, необходимо соединить отрезками точки, принадлежащие одной грани.
• Затем провести параллельные отрезки на противоположных гранях

B 1

C 1

D 1

A 1

P

M

B

C

N

D

A

Пятиугольное сечение

• Точки M и N лежат в одной плоскости, строим прямую.
• Находим точки пересечения прямых MN и C 1 D 1 , MN и A 1 D 1 лежащих в плоскости A 1 C 1 B 1 .
• Проводим прямую через точку Р, являющуюся «следом» сечения в плоскости DAA 1 .
• Проводим прямую через точку Р, являющуюся «следом» сечения в плоскости DCC 1 .
• Строим сечение.

N

N

N

B 1

B 1

B 1

C 1

C 1

C 1

M

M

M

A 1

A 1

A 1

D 1

D 1

D 1

P

C

B

C

B

B

C

D

D

A

A

D

A

Шестиугольное сечение

• Рассмотрим следующее расположение точек M, N и P.
• M, N расположены в одной плоскости, соединяем их отрезком.
• Проводим прямую МN – «след» сечения в плоскости АDD 1 . Проводим прямую A 1 D 1 и находим точку пересечения МN и A 1 D 1 .
• Затем находим точку пересечения прямых DD 1 и MN, проводим прямую через данную точку и точку Р.
• Находим точку пересечения построенной прямой – «следа» сечения в плоскости DD 1 C c прямой D 1 C 1 .
• Проводим прямую через точки X и Z, находим точки пересечения с рёбрами и строим сечение.

B 1

C 1

A 1

D 1

P

M

B

C

D

A

N

Определение секущей плоскости

• Секущей плоскостью параллелепипеда называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда.

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

D

A

Определение параллелепипеда

• Параллелепипед – поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (оснований) и четырёх параллелограммов (боковых граней)

A

B 1

C 1

D 1

A 1

B

C

A

D

Определение прямоугольного параллелепипеда

• Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.

C 1

B 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Литература

• Геометрия 10 – 11 кл. Атанасян Л.С. «Просвещение», 2003
• http://www.ssu.samara.ru/~nauka/MATH/math.htm
• http://college.ru/mathematics/courses/stereometry/design/index.htm
• http://mail.spb.fio.ru/archive/group14/c4wu5/page_3b.html