Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

МБОУ «Александровская СОШ»

Сармановского муниципального района Республики Татарстан

М А Т Е М А Т И К А 10 К Л А С С

Учитель математики высшей квалификационной категории

Гараева Фарида Халитовна

ТЕМА «Построение сечений

тетраэдра и параллелепипеда»

Цели:

1. Сформировать навык решения простейших задач на построение

сечений тетраэдра и параллелепипеда, разобрать алгоритм

построения сечений;

2. Развивать самостоятельность, воспитывать интерес к предмету

и потребность в приобретении знаний;

3. Развивать умение выделять главное, сравнивать, делать

правильные выводы, логически мыслить; развивать

пространственное мышление.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: учебник, компьютер, проектор, интерактивная доска, плакаты, карточки.

ХОД УРОКА

1. Вступительное слово учителя.

Мы с вами начали изучать пространственные фигуры – многогранники.

Тема нашего сегодняшнего урока «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда». Сечения многогранников плоскостью используют при решении многих стереометрических задач. Поэтому мы рассмотрим различные способы построения простейших сечений . Что же это такое СЕЧЕНИЕ?

С раннего детства мы с вами сталкиваемся с сечениями. Режем хлеб, колбасу, масло, сыр и т.д., точим карандаш ножом. Секущей плоскостью во всех этих случаях является нож. Пилим дрова, бревна… Секущая плоскость – пила. Плоскости сечения ( срезы кусочков) оказываются различными…

Изучая геометрические фигуры, мы также будем проводить сечения.

Но на практике мы рассекаем данный предмет ( батон хлеба, колбасы и т.п.) на две части, которые можем взять и хорошо рассмотреть отдельно друг от друга. Другое дело – сечения геометрических фигур на листе бумаги. Здесь мы будем иметь только изображение пространственной фигуры и ее сечения на плоскости. Иными словами, рассмотреть отдельно две части фигуры нельзя. Вот здесь нам и помогут наши пространственные представления, которые развивались при изучении геометрии, и полученные знания законов геометрии.

1. Для того, чтобы правильно построить сечение, нам понадобятся некоторые аксиомы и теоремы, которые мы с вами изучили при прохождении параллельности в пространстве.

Сейчас, чтобы проверить , на сколько вы усвоили теоретический материал, мы выполним самостоятельную работу( по карточкам).

Повторение теории по теме

«Параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей»

1. Укажите все пары скрещивающихся прямых тетраэдра АВСД.

1. Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости данного треугольника? Поясните.

1. Верны ли утверждения:

а) через любые три точки проходит единственная плоскость ,

б) любые три точки принадлежат плоскости ,

в) две различные плоскости могут иметь одну общую точку.

1. Прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости?

1. Средняя линия трапеции лежит на плоскости α . Пересекают ли основания трапеции эту плоскость? Ответ поясните.

1. Две прямые параллельны плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны между собой? Поясните.

1. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из её диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали параллелограмма? Почему?

1. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание «если две прямые лежат в одной плоскости, то они …»

1. Ромб АВСД и трапеция ВСМН ( ВС – основание) не лежат в одной плоскости. Как расположены прямые МН и АД? Поясните.

1. Прямая а лежит в плоскости α , прямые а и в скрещиваются. Как расположена прямая в относительно плоскости α?

1. Верны ли утверждения:

а) две плоскости параллельны, если они параллельны одной и той же прямой ;

б) для любых двух скрещивающихся прямых существует плоскость, которой они обе параллельны ;

в) если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости , параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны .

1. Параллельные отрезки АВ и СД заключены между параллельными плоскостями α и β . Определите вид четырехугольника АВДС .

1. Итак, рассмотрим решение задач на построение сечений геометрической фигуры плоскостью

ПРОСМОТР ПРЕЗЕНТАЦИИ «Сечения тетраэдра и параллелепипеда»

1. Цель урока

2. ВОПРОС : Как могут располагаться друг относительно друга многогранник и плоскость? Какая фигура может получиться в пересечении двух фигур: многогранника и плоскости?

Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

1. Определение секущей плоскости

Секущая плоскость – это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.

ВОПРОС: на чем основано это утверждение? ( если плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку)

Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением.

1. Рассмотрим некоторые правила для построения сечений .

1. Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

ВОПРОС: почему мы это можем утверждать? Какую теорему используем? ( свойство параллельных плоскостей и свойство противоположных граней параллелепипеда)

1. Построить точку пересечения секущей плоскости с ребром многогранника, после чего провести отрезки, соединяющие каждые две точки, лежащие в одной грани. ( если секущая плоскость пересекает грань в двух точках, то она пересекает грань по отрезку, проходящему через эти точки )

( ИСПОЛЬЗУЕМ : если 2 точки прямой лежат на плоскости,..)

Какие аксиомы и теоремы мы используем при построении сечений?

( 3 аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей, признаки параллельности прямой и плоскости, плоскостей)

В школьном курсе мы рассматриваем задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Вспомним, что это за многогранники , как мы их получили?

( Тетраэдр – берем треугольник и точку, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединяем вершины треугольника с данной точкой. Сколько граней у тетраэдра?)

Параллелепипед – берем два одинаковых параллелограмма, лежащие в параллельных плоскостях и соединяем соответственно вершины параллельными отрезками. Сколько граней? Что является гранью параллелепипеда? )

1. Сечения тетраэдра и параллелепипеда ( что может получиться в сечении ? Сколько граней ...)

4. Рассмотрим 3 задачи на построение сечений.

Задача №1

( Рассмотрим тетраэдр АВСД и проведем в нем сечение , проходящее через три точки М, N и Р , лежащие на боковых ребрах)

Построить тетраэдр в тетради и отметить три точки. С чего начнем строить сечение? Соединим точки, лежащие на одной грани. Для того, чтобы найти, по какой прямой сечение пересечет нижнее основание, найдем вторую общую точку. Продолжим …

Учитель с классом обсуждают план построения…

Учитель показывает на экране этапы построения.

Учащиеся делают построение в тетради . Затем один ученик пишет решение на доске, а остальные – в тетради.

( РN лежит в плоскости РСВ и пересекает СВ в точке Е( Е лежит и в плоскости АВС); плоскости МNР и АВС пересекаются по прямой QE; соединяем РQ и МN и получаем искомое сечение - МNPQ).

Делается вывод. Что получилось в сечении? Сечение пересекло все 4 грани тетраэдра. Поэтому сечение - четырехугольник.

Задача №2

( Строим тетраэдр и сечение через точку М, лежащую на боковой грани АВД и параллельно основанию АВС).

(Сечение параллельно плоскости АВС, а значит оно параллельно прямым АВ, АС и ВС.

На грани АВД через точку М проводим прямую параллельно АВ. Получим две точки Q и Р, дальше строим прямую РR параллельно ВС, соединяем QR и получаем искомое сечение – треугольник).

Учащиеся строят сечение в тетрадях. Записывают решение.

Что получилось в сечении? Сечение пересекло 3 грани. Поэтому сечение - треугольник.

Задача №3

( Дан параллелепипед. Построим сечение параллелепипеда через три точки А, В и С, лежащие на боковых ребрах).

Применяем свойство параллельных плоскостей. Соединяем точки АВ и ВС. Через точку А проводим прямую АЕ параллельно ВС, а через точку С – СД параллельно АВ. Получаем сечение АВСДЕ.

Учащиеся строят сечение в тетрадях. Записывают ход решения.

Что получилось? Какая грань не пересеклась? Поэтому сечение – пятиугольник.

ВОПРОСЫ к классу:

1. Что значит построить сечение многогранника на плоскости?

( найти, по каким отрезкам пересекает секущая плоскость грани многогранника, построить многоугольник)

1. Как задается плоскость

( через три точки, не лежащие на одной прямой; через точку параллельно грани)?

По плакату определите, сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы? ( т.о. секущую плоскость можно провести через прямую и плоскость, через пересекающиеся прямые, через параллельные прямые)

1. Что может получиться в сечении? Может ли в сечении многогранника

( тетраэдра, параллелепипеда) получится семиугольник? Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.

1. Когда задача на построения сечения многогранника считается решенной?

( если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника )

1. Этапы построения ( по плакату):

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости ( в одной грани) ;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого:

а) ищем 2 общие точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

5. УСТНАЯ РАБОТА ( по плакату)

На каком из рисунков изображено верное сечение? Объясните свой выбор.

6. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА по построению сечений ( работа с карточками по готовым чертежам Приложения № 1 и № 2).

Задание: Построить сечение многогранника, проходящее через точки Р, N и М.

ЛИСТ 1 Построение сечений тетраэдра ( задания 1, 6, 10 ).

ЛИСТ 2 Построение сечений параллелепипеда ( задания 2, 4, 6 ).

7. ИТОГ УРОКА.

Сегодня на уроке мы окунулись в мир «построения сечений».

Давайте вспомним : что такое секущая плоскость (1), сечение (2), этапы построения сечений (3), какие многоугольники могут получиться в сечении тетраэдра (4) и параллелепипеда (5)?

8. Выставление оценок за работу в классе.

9. Домашнее задание: П.14, разобрать задачи № 1-3; повторить этапы построения сечений; построить сечения № 72,75 ( из учебника)

Приложение №1

Приложение № 2