kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

Нажмите, чтобы узнать подробности

ТЕМА  «Построение сечений

тетраэдра и параллелепипеда»

     Цели:   

            1. Сформировать навык решения простейших задач на  построение

                 сечений тетраэдра и параллелепипеда, разобрать  алгоритм

                 построения   сечений;

             2. Развивать самостоятельность, воспитывать интерес к предмету

                 и потребность в приобретении знаний;

             3. Развивать умение выделять главное, сравнивать, делать

                 правильные выводы, логически мыслить; развивать

                 пространственное мышление.

      Тип урока:  урок изучения нового материала.

      Оборудование: учебник, компьютер, проектор, интерактивная  доска, плакаты, карточки.

ХОД УРОКА

1. Вступительное слово учителя.

Мы с вами начали изучать пространственные фигуры – многогранники.

Тема нашего сегодняшнего урока  «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда». Сечения многогранников плоскостью используют при решении многих стереометрических задач. Поэтому мы рассмотрим различные способы построения простейших сечений . Что же это такое СЕЧЕНИЕ?

     С раннего детства мы с вами сталкиваемся с сечениями. Режем хлеб, колбасу, масло, сыр и т.д., точим карандаш ножом. Секущей плоскостью во всех этих случаях является нож.  Пилим дрова, бревна… Секущая плоскость – пила. Плоскости  сечения ( срезы кусочков) оказываются различными…  

     Изучая геометрические фигуры, мы также будем проводить сечения.

     Но на практике мы рассекаем данный предмет ( батон хлеба, колбасы и т.п.) на две части, которые можем взять и хорошо рассмотреть отдельно друг от друга. Другое дело – сечения геометрических фигур на листе бумаги. Здесь мы будем иметь только изображение пространственной фигуры и ее сечения на плоскости. Иными словами, рассмотреть отдельно две части фигуры нельзя. Вот здесь нам и помогут наши пространственные представления, которые развивались при изучении геометрии, и полученные знания законов геометрии.

  1. Для того, чтобы правильно построить сечение, нам понадобятся некоторые аксиомы и теоремы, которые мы с вами изучили при прохождении  параллельности в пространстве.

      Сейчас, чтобы проверить , на сколько вы усвоили теоретический материал, мы выполним самостоятельную работу( по карточкам).

2. Повторение теории по теме

«Параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей»

3. Итак, рассмотрим решение задач на построение сечений  геометрической фигуры  плоскостью

ПРОСМОТР ПРЕЗЕНТАЦИИ     «Сечения тетраэдра и параллелепипеда»

  1. Цель урока
  2. ВОПРОС : Как могут располагаться друг относительно друга многогранник и плоскость? Какая  фигура  может получиться в пересечении  двух фигур: многогранника и плоскости?

Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

  1. Определение секущей плоскости

Секущая плоскость – это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.

ВОПРОС:  на чем основано это утверждение? ( если плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку)

Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки,  называется сечением.

  1. Рассмотрим некоторые правила для построения  сечений .
  1. Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

ВОПРОС: почему мы это можем утверждать? Какую теорему используем? ( свойство параллельных плоскостей и свойство противоположных граней параллелепипеда)

  1. Построить точку пересечения секущей плоскости с ребром многогранника, после чего провести отрезки, соединяющие каждые две точки, лежащие в одной грани. ( если секущая плоскость пересекает грань в двух точках, то она пересекает грань по отрезку, проходящему через эти точки )

 ( ИСПОЛЬЗУЕМ  : если 2 точки прямой лежат на плоскости,..)   

 Какие аксиомы и теоремы мы используем при построении сечений?

( 3 аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей, признаки параллельности прямой и плоскости, плоскостей)

      В школьном курсе  мы рассматриваем задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Вспомним, что это за многогранники , как мы их получили?

( Тетраэдр –  берем треугольник и точку, не  лежащую в плоскости этого треугольника. Соединяем вершины треугольника с данной точкой. Сколько граней у тетраэдра?)

Параллелепипед –  берем два одинаковых параллелограмма, лежащие в параллельных плоскостях и соединяем соответственно вершины параллельными отрезками. Сколько граней? Что является гранью параллелепипеда? )

  1. Сечения тетраэдра и параллелепипеда ( что может получиться в сечении ? Сколько граней ...)

4.  Рассмотрим 3  задачи на построение сечений.

Задача №1

 ( Рассмотрим тетраэдр АВСД и проведем в нем сечение , проходящее через три точки  М, N и Р , лежащие на боковых ребрах)

Построить тетраэдр в тетради и отметить три точки. С чего начнем строить сечение? Соединим точки, лежащие на одной грани.  Для того, чтобы найти, по какой прямой сечение пересечет нижнее основание, найдем вторую общую точку. Продолжим …

Учитель с классом обсуждают план построения…

Учитель показывает на экране этапы построения.

Учащиеся делают построение   в тетради . Затем один ученик пишет решение на доске, а остальные – в тетради.

     ( РN  лежит в плоскости РСВ и пересекает СВ в точке Е( Е лежит и в плоскости АВС); плоскости МNР и АВС пересекаются по прямой QE; соединяем РQ и МN и получаем искомое сечение  - МNPQ).

Делается вывод. Что получилось в сечении? Сечение пересекло все 4 грани тетраэдра. Поэтому сечение  - четырехугольник.

 Задача №2

( Строим тетраэдр и сечение  через точку М, лежащую на боковой грани АВД и параллельно основанию АВС).

     (Сечение параллельно плоскости АВС,  а значит оно параллельно прямым АВ, АС и ВС.

На грани АВД через точку М проводим прямую параллельно АВ. Получим две точки  Q и Р, дальше строим прямую РR параллельно ВС, соединяем QR  и получаем искомое сечение – треугольник).

 Учащиеся строят сечение в тетрадях. Записывают решение.

      Что получилось в сечении? Сечение пересекло 3 грани. Поэтому сечение -  треугольник.

Задача №3

 ( Дан параллелепипед. Построим сечение параллелепипеда через три точки А, В и  С, лежащие на боковых ребрах).

     Применяем свойство параллельных плоскостей. Соединяем точки АВ и ВС. Через точку А проводим прямую АЕ  параллельно ВС, а через точку С – СД  параллельно АВ. Получаем сечение АВСДЕ.

Учащиеся строят сечение в тетрадях. Записывают ход решения.

Что получилось? Какая грань не пересеклась? Поэтому сечение – пятиугольник.

       ВОПРОСЫ  к классу:

  1. Что значит построить сечение многогранника на плоскости?

( найти, по каким отрезкам пересекает  секущая плоскость грани многогранника, построить многоугольник)

  1. Как задается плоскость

 ( через три точки, не лежащие на одной прямой; через  точку параллельно грани)?

По плакату определите, сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы? ( т.о. секущую плоскость можно провести через прямую и плоскость, через пересекающиеся прямые, через параллельные прямые)

  1. Что может получиться в сечении? Может ли в сечении многогранника

( тетраэдра, параллелепипеда)  получится семиугольник?  Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.

  1. Когда задача на построения сечения многогранника считается решенной?

 ( если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника )

  1. Этапы построения ( по плакату):  

               1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости ( в одной грани) ;

              2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого:

                   а) ищем  2 общие  точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

                   б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

   5. УСТНАЯ  РАБОТА ( по плакату)

      На каком из рисунков изображено верное сечение? Объясните свой выбор.

    6. ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА по построению сечений ( работа с карточками по готовым чертежам Приложения № 1 и № 2).

Задание:  Построить сечение многогранника, проходящее через точки Р, N  и М.

ЛИСТ 1 Построение сечений тетраэдра ( задания 1, 6, 10 ).

ЛИСТ 2 Построение сечений параллелепипеда ( задания 2, 4, 6 ).

 7. ИТОГ УРОКА.

Сегодня на уроке мы окунулись в мир «построения сечений».

Давайте вспомним : что такое секущая плоскость (1), сечение (2), этапы построения сечений (3), какие многоугольники могут получиться в сечении тетраэдра (4) и  параллелепипеда (5)?

8. Выставление оценок за работу в классе.

9. Домашнее задание:  П.14, разобрать задачи № 1-3; повторить этапы построения сечений; построить сечения  №   72,75 ( из учебника)

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда »

МБОУ «Александровская СОШ»

Сармановского муниципального района Республики Татарстан










М А Т Е М А Т И К А 10 К Л А С С













Учитель математики высшей квалификационной категории

Гараева Фарида Халитовна

ТЕМА «Построение сечений

тетраэдра и параллелепипеда»


Цели:

1. Сформировать навык решения простейших задач на построение

сечений тетраэдра и параллелепипеда, разобрать алгоритм

построения сечений;

2. Развивать самостоятельность, воспитывать интерес к предмету

и потребность в приобретении знаний;

3. Развивать умение выделять главное, сравнивать, делать

правильные выводы, логически мыслить; развивать

пространственное мышление.


Тип урока: урок изучения нового материала.


Оборудование: учебник, компьютер, проектор, интерактивная доска, плакаты, карточки.


ХОД УРОКА


  1. Вступительное слово учителя.

Мы с вами начали изучать пространственные фигуры – многогранники.

Тема нашего сегодняшнего урока «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда». Сечения многогранников плоскостью используют при решении многих стереометрических задач. Поэтому мы рассмотрим различные способы построения простейших сечений . Что же это такое СЕЧЕНИЕ?

С раннего детства мы с вами сталкиваемся с сечениями. Режем хлеб, колбасу, масло, сыр и т.д., точим карандаш ножом. Секущей плоскостью во всех этих случаях является нож. Пилим дрова, бревна… Секущая плоскость – пила. Плоскости сечения ( срезы кусочков) оказываются различными…

Изучая геометрические фигуры, мы также будем проводить сечения.

Но на практике мы рассекаем данный предмет ( батон хлеба, колбасы и т.п.) на две части, которые можем взять и хорошо рассмотреть отдельно друг от друга. Другое дело – сечения геометрических фигур на листе бумаги. Здесь мы будем иметь только изображение пространственной фигуры и ее сечения на плоскости. Иными словами, рассмотреть отдельно две части фигуры нельзя. Вот здесь нам и помогут наши пространственные представления, которые развивались при изучении геометрии, и полученные знания законов геометрии.


  1. Для того, чтобы правильно построить сечение, нам понадобятся некоторые аксиомы и теоремы, которые мы с вами изучили при прохождении параллельности в пространстве.

Сейчас, чтобы проверить , на сколько вы усвоили теоретический материал, мы выполним самостоятельную работу( по карточкам).

Повторение теории по теме

«Параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей»


  1. Укажите все пары скрещивающихся прямых тетраэдра АВСД.


  1. Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости данного треугольника? Поясните.


  1. Верны ли утверждения:

а) через любые три точки проходит единственная плоскость ,

б) любые три точки принадлежат плоскости ,

в) две различные плоскости могут иметь одну общую точку.


  1. Прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости?


  1. Средняя линия трапеции лежит на плоскости α . Пересекают ли основания трапеции эту плоскость? Ответ поясните.


  1. Две прямые параллельны плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны между собой? Поясните.


  1. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из её диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали параллелограмма? Почему?


  1. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание «если две прямые лежат в одной плоскости, то они …»


  1. Ромб АВСД и трапеция ВСМН ( ВС – основание) не лежат в одной плоскости. Как расположены прямые МН и АД? Поясните.


  1. Прямая а лежит в плоскости α , прямые а и в скрещиваются. Как расположена прямая в относительно плоскости α?


  1. Верны ли утверждения:

а) две плоскости параллельны, если они параллельны одной и той же прямой ;

б) для любых двух скрещивающихся прямых существует плоскость, которой они обе параллельны ;

в) если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости , параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны .


  1. Параллельные отрезки АВ и СД заключены между параллельными плоскостями α и β . Определите вид четырехугольника АВДС .




  1. Итак, рассмотрим решение задач на построение сечений геометрической фигуры плоскостью

ПРОСМОТР ПРЕЗЕНТАЦИИ «Сечения тетраэдра и параллелепипеда»


  1. Цель урока

  2. ВОПРОС : Как могут располагаться друг относительно друга многогранник и плоскость? Какая фигура может получиться в пересечении двух фигур: многогранника и плоскости?

Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

  1. Определение секущей плоскости

Секущая плоскость – это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.

ВОПРОС: на чем основано это утверждение? ( если плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку)

Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением.

  1. Рассмотрим некоторые правила для построения сечений .

  1. Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

ВОПРОС: почему мы это можем утверждать? Какую теорему используем? ( свойство параллельных плоскостей и свойство противоположных граней параллелепипеда)

  1. Построить точку пересечения секущей плоскости с ребром многогранника, после чего провести отрезки, соединяющие каждые две точки, лежащие в одной грани. ( если секущая плоскость пересекает грань в двух точках, то она пересекает грань по отрезку, проходящему через эти точки )

( ИСПОЛЬЗУЕМ : если 2 точки прямой лежат на плоскости,..)


Какие аксиомы и теоремы мы используем при построении сечений?

( 3 аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей, признаки параллельности прямой и плоскости, плоскостей)

В школьном курсе мы рассматриваем задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Вспомним, что это за многогранники , как мы их получили?

( Тетраэдр – берем треугольник и точку, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединяем вершины треугольника с данной точкой. Сколько граней у тетраэдра?)

Параллелепипед – берем два одинаковых параллелограмма, лежащие в параллельных плоскостях и соединяем соответственно вершины параллельными отрезками. Сколько граней? Что является гранью параллелепипеда? )

  1. Сечения тетраэдра и параллелепипеда ( что может получиться в сечении ? Сколько граней ...)

4. Рассмотрим 3 задачи на построение сечений.

Задача №1

( Рассмотрим тетраэдр АВСД и проведем в нем сечение , проходящее через три точки М, N и Р , лежащие на боковых ребрах)

Построить тетраэдр в тетради и отметить три точки. С чего начнем строить сечение? Соединим точки, лежащие на одной грани. Для того, чтобы найти, по какой прямой сечение пересечет нижнее основание, найдем вторую общую точку. Продолжим …

Учитель с классом обсуждают план построения…

Учитель показывает на экране этапы построения.

Учащиеся делают построение в тетради . Затем один ученик пишет решение на доске, а остальные – в тетради.

( РN лежит в плоскости РСВ и пересекает СВ в точке Е( Е лежит и в плоскости АВС); плоскости МNР и АВС пересекаются по прямой QE; соединяем РQ и МN и получаем искомое сечение - МNPQ).

Делается вывод. Что получилось в сечении? Сечение пересекло все 4 грани тетраэдра. Поэтому сечение - четырехугольник.

Задача №2

( Строим тетраэдр и сечение через точку М, лежащую на боковой грани АВД и параллельно основанию АВС).

(Сечение параллельно плоскости АВС, а значит оно параллельно прямым АВ, АС и ВС.

На грани АВД через точку М проводим прямую параллельно АВ. Получим две точки Q и Р, дальше строим прямую РR параллельно ВС, соединяем QR и получаем искомое сечение – треугольник).

Учащиеся строят сечение в тетрадях. Записывают решение.

Что получилось в сечении? Сечение пересекло 3 грани. Поэтому сечение - треугольник.

Задача №3

( Дан параллелепипед. Построим сечение параллелепипеда через три точки А, В и С, лежащие на боковых ребрах).

Применяем свойство параллельных плоскостей. Соединяем точки АВ и ВС. Через точку А проводим прямую АЕ параллельно ВС, а через точку С – СД параллельно АВ. Получаем сечение АВСДЕ.

Учащиеся строят сечение в тетрадях. Записывают ход решения.

Что получилось? Какая грань не пересеклась? Поэтому сечение – пятиугольник.


ВОПРОСЫ к классу:

  1. Что значит построить сечение многогранника на плоскости?

( найти, по каким отрезкам пересекает секущая плоскость грани многогранника, построить многоугольник)

  1. Как задается плоскость

( через три точки, не лежащие на одной прямой; через точку параллельно грани)?

По плакату определите, сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы? ( т.о. секущую плоскость можно провести через прямую и плоскость, через пересекающиеся прямые, через параллельные прямые)

  1. Что может получиться в сечении? Может ли в сечении многогранника

( тетраэдра, параллелепипеда) получится семиугольник? Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.

  1. Когда задача на построения сечения многогранника считается решенной?

( если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника )

  1. Этапы построения ( по плакату):

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости ( в одной грани) ;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого:

а) ищем 2 общие точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

5. УСТНАЯ РАБОТА ( по плакату)

На каком из рисунков изображено верное сечение? Объясните свой выбор.

6. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА по построению сечений ( работа с карточками по готовым чертежам Приложения № 1 и № 2).

Задание: Построить сечение многогранника, проходящее через точки Р, N и М.

ЛИСТ 1 Построение сечений тетраэдра ( задания 1, 6, 10 ).

ЛИСТ 2 Построение сечений параллелепипеда ( задания 2, 4, 6 ).

7. ИТОГ УРОКА.

Сегодня на уроке мы окунулись в мир «построения сечений».

Давайте вспомним : что такое секущая плоскость (1), сечение (2), этапы построения сечений (3), какие многоугольники могут получиться в сечении тетраэдра (4) и параллелепипеда (5)?


8. Выставление оценок за работу в классе.


9. Домашнее задание: П.14, разобрать задачи № 1-3; повторить этапы построения сечений; построить сечения № 72,75 ( из учебника)

Приложение №1

















Приложение № 2










Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

Автор: Гараева Фарида Халитовна

Дата: 07.10.2014

Номер свидетельства: 117150

Похожие файлы

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(258) "Разноуровневая контрольная работа по математике на тему " Параллельное проектирование фигур. Построение сечений: тетраэдр, параллелепипед"."
    ["seo_title"] => string(80) "raznourovnevaia_kontrolnaia_rabota_po_matematike_na_temu_parallelnoe_proektirova"
    ["file_id"] => string(6) "544746"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1585659516"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(97) "Конспект урока: " Построение сечений многогранников" "
    ["seo_title"] => string(58) "konspiekt-uroka-postroieniie-siechienii-mnoghoghrannikov-1"
    ["file_id"] => string(6) "209480"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1431178588"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(181) "презентация к уроку  геометрии в 10 классе по теме: "Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда""
    ["seo_title"] => string(115) "priezientatsiia-k-uroku-ghieomietrii-v-10-klassie-po-tiemie-postroieniie-siechienii-tietraedra-i-parallieliepipieda"
    ["file_id"] => string(6) "316618"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1460122438"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(109) "Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью"
    ["seo_title"] => string(61) "postroieniiesiechieniitietraedraiparallieliepipiedaploskostiu"
    ["file_id"] => string(6) "313157"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1459437749"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(145) "Конспект урока математики. Раздел: геометрия. 10 класс. Тема: Построение сечений "
    ["seo_title"] => string(88) "konspiekt-uroka-matiematiki-razdiel-ghieomietriia-10-klass-tiema-postroieniie-siechienii"
    ["file_id"] => string(6) "119739"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1413486413"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1500 руб.
2500 руб.
1120 руб.
1870 руб.
1580 руб.
2640 руб.
1500 руб.
2500 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства