Построение функций

  Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования Республики Крым «Малая академия наук «Искатель» 

«ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ

ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ»

Работу выполнила :

Юдина Анастасияи Олеговна

обучающейся 9-А класса

МБОУ «СОШ №1

им. Маргелова В.Ф.»

г.Красноперекопск

Руководитель:

Коробова Елена Анатольевна

учитель математики

МБОУ «СОШ №1

им. Маргелова В.Ф.»

г.Красноперекопск

Красноперекопск 2018

Цель моей исследовательской работы:

1. Провести исследование и анализ имеющихся способов построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля . 2. Выбрать из найденных способов решения наиболее оптимальные. 3. Провести обобщение и систематизацию имеющего материала: а) научиться строить графики функций, содержащих переменную под знаком модуля; б) составить подборку задач по теме "Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля".

  ВВЕДЕНИЕ

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля был введен в XIX веке Вейерштрассом .

Задача исследования:

1) используя различные методы исследования (теоретический, практический, исследовательский), углубить знания по теории модуля и научиться решать задачи, выходящие за страницы школьных учебников, тем самым расширить познавательный интерес к изучению алгебры; 2) на примере задач посмотреть, можно ли знания по теме "Графики функций, содержащие модуль", использовать для решения задач из реальной жизни.

Объект исследования: Плоскость и поведение на ней различных функциональных зависимостей.

Предмет исследования : Механизм построения графиков кусочно-линейных и кусочно-квадратичных функций определённых на множестве действительных чисел.

2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛИ

Для построения всех типов графиков необходимо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе.

Целесообразно рассматривать построение графиков в следующей последовательности:

у=f(∣x∣); у=∣f(x)∣; у=∣f(∣x∣)∣; у=∣f(x)∣ + ∣g(x)∣ + ...; ∣у∣=f(x); ∣у∣=∣f(x)∣.

Построение графиков следует осуществлять двумя способами: 1) на основании определения модуля; 2) на основании правил (алгоритмов) геометрического преобразования графиков функций.

0. 2) Достраиваем его левую часть для х " width="640"

2.1. Построение графика функции у=f(∣x∣)

1-й способ.

у=2∣х∣-2=

2-й способ.

1) Строим график функции у=2х-2 для х0. 2) Достраиваем его левую часть для х

б) Построить график функции у=х 2 -2|х|-3.

Решение.

По свойству модуля, х 2 =|х| 2 , значит у=х 2 -2|х|-3 можно представить в виде у=|х| 2 -2|х|-3. Тогда для того чтобы построить график у=х 2 -2|х|-3 нужно построить график функции у=х 2 -2х-3.

Для этого найдём х 0 =-b/2a=-(-2)/2=1, y 0 =y(1)=1-2-3=-4,

ось параболы х=1, её вершина имеет координаты (1;-4),

при у=0 х=3 или х=-1,

при х=0 у=-3

Теперь оставим без изменений часть графика, расположенную в правой полуплоскости, и отобразим её симметрично относительно оси У(другую часть графика отбросим).

2.2. Построение графика функции у=∣f(x)∣

у=f(∣x∣) =

2. у=∣х-2∣⬄

1. y = |1 –|x||⬄ ⬄  

2.4. Построение графиков функций вида ∣у∣=f(x)

∣ у∣=

Решение:

1 способ.

∣ у∣=1-х=

2 способ.

1) Строим график функции у=1-х. 2) Отражаем ту часть графика, которая находится выше оси абсцисс симметрично относительно оси абсцисс.

б) Построить график функции ∣у∣= х 2 -2х-3

1 способ:

∣ у∣=

2 способ:

1) Строим график функции у=х 2 -2х-3;

2) Отображаем ту часть графика, которая находится выше оси абсцисс симметрично относительно оси абсцисс.

Метод вершин

Графиком непрерывной кусочно-линейной функции является ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями.

Пример: Построить график функции у=∣х∣-∣х-1∣

  Алгоритм построения:

- Найдём нули каждого подмодульного выражения х=0 и х=1. - Составим таблицу, в которой кроме 0 и 1 записываем по одному целому справа и слева от этих значений.

- Наносим эти точки на координатную плоскость и

соединяем последовательно. Точки перелома и есть вершины ломаной

х

у

-1

0

-1

1

-1

2

1

1

4. Решение задач КИМ ГИА по теме "Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля"

№  316295.  Постройте график функции у=∣х+1∣-∣х-1∣ 

Решение.

Раскрывая модули, получаем, что

График изображён на рисунке.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

• В ходе работы мы рассмотрели теоретический материал по абсолютной величине и решили практические задачи. Многообразие видов таких функций, различия в построениях их графиков, приобретение новых знаний, сделало нашу работу интересной и увлекательной.
• В результате работы над темой я сумела изучить поведения линей ных, квадратичных, дробно-рациональных функций. Научилась преобразованию графиков, содержащих знак модуля. Также в ходе выполнения работы я экспериментировала с построением графиков функций, придуманных самостоятельно.
• Данная исследовательская работа может быть использована учителями при подготовке к урокам и элективным курсам. Также работа может быть использована учащимися для самоподготовки и самоконтроля при подготовке к экзаменам.

  6.ЛИТЕРАТУРА

• 1.Гельфанд И. М. и др. « Функции и графики » - М. Наука, 1973
• 2. Садыкина И. « Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля » - Математика №33, 2004
• 3. Пичурин Л. Ф. « За страницами учебника алгебры » - М. Просвещение, 1999
• Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. И. Л. Никольская – М. Просвещение, 1991
• 4. В.Н.Студенецкая, Л.С.Сагателова "Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов". - Волгоград: Учитель, 2006.
• Интернет ресурс
• 5. Интернет-ресурс:
• 1) http://www.youtube.com "Построение графиков функций, содержащих модуль". Inna Feldman ;
• 2) http://ppt4web.ru/matematika/postroenie-grafikov-funkcijj-soderzhashhikh-peremennuju-pod-znakom-modulja.html
• 3) http://www.tutoronline.ru/blog/stroim-grafiki-funkcij,-soderzhawie-modul-chast-1 

Спасибо за

внимание !