Понятие вероятности

Теория вероятностей, 9 класс.

Статистическое определение вероятности

Вероятность как предельное значение частоты.

Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

1. На столе 12 кусков пирога. В трех «счастливых» из них запечены призы. Какова вероятность взять «счастливый» кусок пирога?

Вариант 3

1. В коробке 24 карандаша, из них 3 красного цвета. Из коробки наугад вынимается карандаш. Какова вероятность того, что он красный?

2. В урне 15 белых и 25 черных шаров. Из урны наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

Вариант 4

• В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша?

2. Из чисел от 1 до 25 наудачу выбрано число. Какова вероятность того, что оно окажется кратным 5?

• В вазе 7 цветков, из них 3 розы. Из букета наугад вынимается цветок. Какова вероятность того, что это роза?

2. В корзине лежат 5 яблок и 3 груши. Из корзины наугад вынимается один фрукт. Какова вероятность того, что это яблоко?

2. В корзине 10 яблок, из них 4 червивых. Какова вероятность того, что любое взятое наугад яблоко окажется не червивым?

ПРОЕКТ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ВЕРОЯТНОСТИ

Ошибка Даламбера.

Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!

Жан Лерон Даламбер

(1717 -1783)

Ошибка Даламбера.

Опыт. Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?

Решение Даламбера:

Правильное решение:

Опыт имеет три

равновозможных исхода:

1) обе монеты упадут на «орла»;

2) обе монеты упадут на «решку»;

3) одна из монет упадет на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятными

будут два исхода.

Опыт имеет четыре

равновозможных исхода:

1) обе монеты упадут на «орла»;

2) обе монеты упадут на «решку»;

3) первая монета упадет на «орла», вторая на «решку»;

4) первая монета упадет на «решку», вторая на «орла».

Из них благоприятными будут

два исхода.

Опыт «Выбор перчаток». В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вынимаются две перчатки. Перечислите все равновозможные исходы.

Какой вариант решения правильный:

1-ый вариант: 3 исхода: 1) «обе перчатки на левую руку», 2) «обе перчатки на правую руку», 3) «перчатки на разные руки».

2-ой вариант: 4 исхода: 1) «обе перчатки на левую руку», 2) «обе перчатки на правую руку», 3) «первая перчатка на левую руку, вторая на правую», 4) «первая перчатка на правую руку, вторая на левую».

Правило: природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.

Вывод:

Формула классической вероятности дает очень простой способ вычисления вероятностей. Однако простота этой формулы обманчива. При ее использовании возникают два очень непростых вопроса:

• Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равновозможными, и можно ли это сделать вообще?
• Как найти числа т и п и убедиться в том, что они найдены верно?

ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС 1: А можно ли вычислить вероятность события с помощью ряда экспериментов?

Опыт человечества.

Вероятность попасть под дождь в Лондоне гораздо выше, чем в пустыне Сахара.

Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считается тем более вероятным, чем чаще оно происходит. Значит, вероятность должна быть каким-то образом связана с частотой.

Частота случайного события.

Абсолютной частотой случайного события А в серии из N случайных опытов называется число N A , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие А .

Частота случайного события.

Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов:

где А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию,

N раз проведено испытание и при этом событие А наступило в N A случаях.

Примеры

Пример 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова частота рождения мальчика в такой серии наблюдений?

Ответ: 0,515

Примеры

Пример 2. За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?

Ответ: 0,728; 0,272.

Примеры

Пример 3. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий.

Ответ: 0,005

Примеры

Пример 4. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальные всходы. Найдите частоту нормального всхода семян.

Ответ: 0,98

ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС 2: Может быть, относительную частоту и нужно принять за вероятность?

Фундаментальным свойством относительных частот является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота случайного события постепенно стабилизируется и приближается к вполне определенному числу, которое и следует считать его вероятностью.

Проверка

Пример 5. Подбрасывание монеты. А – выпадает герб.

Классическая вероятность: всего 2 исхода,

1 исход события А :

Проверка

Пример 5. Французский естествоиспытатель Бюффон ( XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Жорж Бюффон

Проверка

Пример 5. Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Карл Пирсон

Результаты

Вывод

Пример 5 подтверждает естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна 0,5.

Статистическая вероятность

Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события, полученной при проведении большого числа случайных экспериментов: , где - число испытаний, в которых наступило событие А, N – общее число испытаний.

Задача №1.

Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных пород, ребята провели следующие эксперименты. Каждый выбрал свою тропинку и по пути следования записывал породу каждого десятого дерева.

Результаты были занесены в таблицу:

Породы Сосна Дуб Береза Ель Осина Всего

Число деревьев 315 217 123 67 35 757

Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом парке дерево будет:

а) сосной; б) хвойным; в) лиственным.

Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой.

Задача №1.

Решение:

а) A={ выбранное наугад в парке дерево - сосна } N А = 315, N = 757, Р(А) = 315/757  0,416 ;

б) В ={ выбранное наугад в парке дерево - хвойное } N А = 315 + 67 = 382, N = 757. Р(А) = 382/757  0,505 ;

в) C = { выбранное наугад в парке дерево - лиственное } N А = 217 + 123 + 35 = 375, N = 757. Р(А) = 375/757  0,495 .

Задача №2.

По статистике, на каждые 1000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Решение:

3/1000 = 0,003

1 – 0,003 = 0,997

Задача №3.

Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0,012. в скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появление близнецов?

Решение:

Ответ: в 120 случаях.

Вопросы:

• Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в классической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле.
• Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в статистической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле.
• Какому условию должны удовлетворять исходы опыта, чтобы можно было воспользоваться классическим определением вероятности?
• Чему равна частота достоверного события?
• Что такое абсолютная частота? относительная частота?
• Как частота связана с вероятностью?
• После 100 опытов частота события А оказалась равна 0, а частота события В равна 1. Можно ли сказать, что событие А невозможное, а событие В – достоверное?

Домашнее задание.

Задача №1. По статистике в городе Новинске за год из каждой 1000 автомобилистов два попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий?

Задача №2. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:

Цвет волос Брюнеты Шатены Рыжие Блондины Всего

Число людей 198 372 83 212 865

Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет:

а) шатеном; б) рыжим; в) не рыжим.