Ребята! Очень часто в разговорах между взрослыми, знакомыми или в средствах массовой информации можно услышать такие предложения:
Вероятность того, что этот кандидат победит на выборах равно 1\2
Вероятность того, что завтра на экзамене мне попадётся тот билет, который я выучил равна 25%
Вероятность того, что встреча произойдёт в парке равна 1:100
-Кто-нибудь из вас сможет объяснить эти предложения? (Нет)
-А что общего в этих предложениях? (они содержат слово вероятность)
Чтобы объяснить эти предложения, мы должны понять, что такое вероятность. Цель сегодняшнего урока – ввести понятие вероятности (статистическое и классическое) и научиться её находить. Открываем тетради и записываем тему урока «Статистическое и классическое определение вероятности». Чтобы разобраться в новой теме, нам поможет материал предыдущего урока, на котором мы начали изучать новый раздел математики «Теорию вероятности».
-Что изучает теория вероятности?
- О каких событиях мы говорили на предыдущем уроке?
-Какое событие называется достоверным, невозможным, случайным? Примеры событий.
Сегодня на уроке нас с вами будут интересовать только случайные события.
-О каких опытах, испытаниях мы говорили на предыдущем уроке?
(подбрасывание кубика, монеты, выдёргивание карты из колоды, карандаша из коробочки)
-Что такое исход испытания? (один из вариантов, которым может завершиться испытание, результат испытания)
- Сколько исходов у испытаний - подбрасывание кубика, монеты, выдёргивание карты из колоды, карандаша из коробочки?
- Что такое абсолютная частота случайного события?
- Что такое относительная частота случайного события?
2. Объяснение нового материала.
Дома вы должны были провести серию испытаний с монетой – подкинуть её 100 раз и найти абсолютную и относительную частоту появления орла. Заполним таблицу вашими результатами.
№
Число бросков
Абсолютная частота
Относительная частота
1
100
Из наших с вами результатов видно, что относительная частота колеблется от 0,48 до 0,54. Но с другой стороны очевидно, что они происходят около некоторого числа. Из таблицы видно, что относительная частота орла мало отличается от 0,5 или 1\2.
Фундаментальным свойством относительных частот (законом природы) является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота приближается к определённому числу, которое и следует считать вероятностью.
Перед вами график изменения относительных частот выпадения орлов в длинной серии экспериментов, которые проводили учёные-исследователи. Частота орлов пересчитывалась после каждые 100 опытов и наносилась на график. По графику видно, что с ростом числа опытов частота приближается к конкретному числу 0,5. Для более точной оценки нужно увеличить количество. Число 0,5 – вероятность события выпадения орла.
Определение (записывают в тетрадь):
Вероятностью случайного события А называется число Р (А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.
Запись на доске(показывает учитель).
А- событие (выпадение орла)
Р(А) = 0,5=1\2=50%=1:2
PROBABILITE(франц. слово) - вероятность
Данное определение называют статистическим( от слова «статистика» - сбор и обработка данных). Оно даёт возможность приближённо оценить значение вероятности по относительной частоте, причём тем точнее, чем длиннее серия экспериментов.
Можно ли вычислить вероятность, не прибегая к экспериментам, а как-нибудь теоретическим методом? Сейчас мы попробуем это сделать. Но перед этим мы должны ввести 2 важных определения.
В опытах по подбрасыванию монеты 2 исхода – орёл и решка. Каждая грань ничем не лучше другой, обе стороны сделаны из одного материала, т. е. однородны, все исходы имеют равные шансы наступления.
Исходы эксперимента, которые имеют равные шансы наступления, называют равновозможными.
Благоприятный исход – исход, при котором наступает событие А.
Для опытов с конечным числом равновозможных исходов можно сформулировать такое определение вероятности.
Определение(записывают в тетрадь):
Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.
Р(А) = m/n
m- число благоприятных исходов, n- число равновозможных исходов.
Р(А) = 1\2=0,5=50%
Это определение называют классическим (от слова «классно» – быстро, удобно)
Эта формула даёт простой, не требующий экспериментов, способ вычисления вероятности. Мы получили, что вероятность выпадения орла равна 1\2. Но это вовсе не значит, что из 2 подбрасываний орёл выпадет 1 раз. Возможно, он выпадет 2 раза, а возможно – не разу. Но если провести большое число испытаний, то относительная частота выпадения орла будет мало отличаться от 1\2.
Сравним статистическое и классическое определение. Можно сделать вывод, что нахождение классической вероятности не требует проведение испытаний, а статистическая вероятность предполагает их фактическое проведение.
3. Решение задач
Задача 1.
Определите вероятности следующих событий, назовите количество равновозможных и благоприятных исходов:
В – при бросании кубика выпала тройка
С - при бросании кубика выпало чётное число
D – из колоды карт вытянули туза
Е – из колоды карт вытянули шестёрку
Задача 2.
Из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она гласная?
Задача 3.
Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она согласная?
Задача 4.
В урне 15 белых и 25 чёрных шаров. Из урны наугад вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что он белый?
Задача 5.
Антон и Игорь бросают белый и чёрный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очередной попытке в сумме выпадает 8 очков, то выигрывает Антон, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Игорь. Кто в этой игре будет победителем?
Решение:
Подсчитаем количество всех исходов с помощью таблицы(n= 36):
(1;1)
(2;1)
(3;1)
(4;1)
(5;1)
(6;1)
(1;2)
(2;2)
(3;2)
(4;2)
(5;2)
(6;2)
(1;3)
(2;3)
(3;3)
(4;3)
(5;3)
(6;3)
(1;4)
(2;4)
(3;4)
(4;4)
(5;4)
(6;4)
(1;5)
(2;5)
(3;5)
(4;5)
(5;5)
(6;5)
(1;6)
(2;6)
(3;6)
(4;6)
(5;6)
(6;6)
А – при бросании кубика в сумме выпало 8 очков(Антон)
m = 5
Р(А)=5\36
В- при бросании кубика в сумме выпало 7 очков(Игорь)
m = 6
Р(В)=6\36
Так как вероятность события В больше, чем вероятность события А, то в игре у Игоря шансов выиграть больше, чем у Антона.
Хотя формула классической вероятности и проста, но при её применении не всегда легко определить количество равновероятных исходов.
Великий французский математик Даламбер(1717-1783 г) вошел в историю теории вероятности со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте с двумя монетами.
Задача Даламбера.
Найти вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих монетах выпадут решки.
Решение Даламбера.
Опыт имеет 3 равновозможных исхода:
Обе монеты упадут на «орла»
Обе монеты упадут на «решку»
Одна монета упадёт на «орла», другая на «решку»
Благоприятным будет 1 исход
Вероятность события равна 1\3.
Правильное решение:
Опыт имеет 4 равновозможных исхода:
Первая монета упадёт на «орла», другая на «решку»
Первая монета упадёт на «решку», другая на «орла»
Первая монета упадёт на «орла», другая на «орла»
Первая монета упадёт на «решку», другая на «орла»
Благоприятным будет 1 исход
Вероятность события равна 1\4.
Даламбер объединил 2 элементарных исхода в один. Помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.
4. Итог урока.
Сегодня мы с вами ввели 2 определения вероятности – статистическое, основанное на длинной серии экспериментов и классическое, которое позволяет быстро и просто найти вероятность, но воспользоваться им мы не всегда можем. Не всегда бывает возможно найти количество исходов в испытаниях. Вернёмся к началу урока.
В каком предложении люди, при нахождении вероятности, использовали классическое определения ( с билетами), а где статистическое (с выборами). А вот вероятность встречи основывается на другом, геометрическом, определении вероятности, которое мы с вами рассмотрим на следующем уроке.
5. Домашнее задание.
правила и определения.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Ребята! Очень часто в разговорах между взрослыми, знакомыми или в средствах массовой информации можно услышать такие предложения:
Вероятность того, что этот кандидат победит на выборах равно 1\2
Вероятность того, что завтра на экзамене мне попадётся тот билет, который я выучил равна 25%
Вероятность того, что встреча произойдёт в парке равна 1:100
-Кто-нибудь из вас сможет объяснить эти предложения? (Нет)
-А что общего в этих предложениях? (они содержат слово вероятность)
Чтобы объяснить эти предложения, мы должны понять, что такое вероятность. Цель сегодняшнего урока – ввести понятие вероятности (статистическое и классическое) и научиться её находить. Открываем тетради и записываем тему урока «Статистическое и классическое определение вероятности». Чтобы разобраться в новой теме, нам поможет материал предыдущего урока, на котором мы начали изучать новый раздел математики «Теорию вероятности».
-Что изучает теория вероятности?
- О каких событиях мы говорили на предыдущем уроке?
-Какое событие называется достоверным, невозможным, случайным? Примеры событий.
Сегодня на уроке нас с вами будут интересовать только случайные события.
-О каких опытах, испытаниях мы говорили на предыдущем уроке?
(подбрасывание кубика, монеты, выдёргивание карты из колоды, карандаша из коробочки)
-Что такое исход испытания? (один из вариантов, которым может завершиться испытание, результат испытания)
- Сколько исходов у испытаний - подбрасывание кубика, монеты, выдёргивание карты из колоды, карандаша из коробочки?
- Что такое абсолютная частота случайного события?
- Что такое относительная частота случайного события?
2. Объяснение нового материала.
Дома вы должны были провести серию испытаний с монетой – подкинуть её 100 раз и найти абсолютную и относительную частоту появления орла. Заполним таблицу вашими результатами.
№
Число бросков
Абсолютная частота
Относительная частота
1
100
Из наших с вами результатов видно, что относительная частота колеблется от 0,48 до 0,54. Но с другой стороны очевидно, что они происходят около некоторого числа. Из таблицы видно, что относительная частота орла мало отличается от 0,5 или 1\2.
Фундаментальным свойством относительных частот (законом природы) является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота приближается к определённому числу, которое и следует считать вероятностью.
Перед вами график изменения относительных частот выпадения орлов в длинной серии экспериментов, которые проводили учёные-исследователи. Частота орлов пересчитывалась после каждые 100 опытов и наносилась на график. По графику видно, что с ростом числа опытов частота приближается к конкретному числу 0,5. Для более точной оценки нужно увеличить количество. Число 0,5 – вероятность события выпадения орла.
Определение (записывают в тетрадь):
Вероятностью случайного события А называется число Р (А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.
Запись на доске(показывает учитель).
А- событие (выпадение орла)
Р(А) = 0,5=1\2=50%=1:2
PROBABILITE(франц. слово) - вероятность
Данное определение называют статистическим( от слова «статистика» - сбор и обработка данных). Оно даёт возможность приближённо оценить значение вероятности по относительной частоте, причём тем точнее, чем длиннее серия экспериментов.
Можно ли вычислить вероятность, не прибегая к экспериментам, а как-нибудь теоретическим методом? Сейчас мы попробуем это сделать. Но перед этим мы должны ввести 2 важных определения.
В опытах по подбрасыванию монеты 2 исхода – орёл и решка. Каждая грань ничем не лучше другой, обе стороны сделаны из одного материала, т. е. однородны, все исходы имеют равные шансы наступления.
Исходы эксперимента, которые имеют равные шансы наступления, называют равновозможными.
Благоприятный исход – исход, при котором наступает событие А.
Для опытов с конечным числом равновозможных исходов можно сформулировать такое определение вероятности.
Определение(записывают в тетрадь):
Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.
Р(А) = m/n
m- число благоприятных исходов, n- число равновозможных исходов.
Р(А) = 1\2=0,5=50%
Это определение называют классическим (от слова «классно» – быстро, удобно)
Эта формула даёт простой, не требующий экспериментов, способ вычисления вероятности. Мы получили, что вероятность выпадения орла равна 1\2. Но это вовсе не значит, что из 2 подбрасываний орёл выпадет 1 раз. Возможно, он выпадет 2 раза, а возможно – не разу. Но если провести большое число испытаний, то относительная частота выпадения орла будет мало отличаться от 1\2.
Сравним статистическое и классическое определение. Можно сделать вывод, что нахождение классической вероятности не требует проведение испытаний, а статистическая вероятность предполагает их фактическое проведение.
3. Решение задач
Задача 1.
Определите вероятности следующих событий, назовите количество равновозможных и благоприятных исходов:
В – при бросании кубика выпала тройка
С - при бросании кубика выпало чётное число
D – из колоды карт вытянули туза
Е – из колоды карт вытянули шестёрку
Задача 2.
Из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она гласная?
Задача 3.
Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она согласная?
Задача 4.
В урне 15 белых и 25 чёрных шаров. Из урны наугад вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что он белый?
Задача 5.
Антон и Игорь бросают белый и чёрный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очередной попытке в сумме выпадает 8 очков, то выигрывает Антон, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Игорь. Кто в этой игре будет победителем?
Решение:
Подсчитаем количество всех исходов с помощью таблицы(n= 36):
(1;1)
(2;1)
(3;1)
(4;1)
(5;1)
(6;1)
(1;2)
(2;2)
(3;2)
(4;2)
(5;2)
(6;2)
(1;3)
(2;3)
(3;3)
(4;3)
(5;3)
(6;3)
(1;4)
(2;4)
(3;4)
(4;4)
(5;4)
(6;4)
(1;5)
(2;5)
(3;5)
(4;5)
(5;5)
(6;5)
(1;6)
(2;6)
(3;6)
(4;6)
(5;6)
(6;6)
А – при бросании кубика в сумме выпало 8 очков(Антон)
m = 5
Р(А)=5\36
В- при бросании кубика в сумме выпало 7 очков(Игорь)
m = 6
Р(В)=6\36
Так как вероятность события В больше, чем вероятность события А, то в игре у Игоря шансов выиграть больше, чем у Антона.
Хотя формула классической вероятности и проста, но при её применении не всегда легко определить количество равновероятных исходов.
Великий французский математик Даламбер(1717-1783 г) вошел в историю теории вероятности со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте с двумя монетами.
Задача Даламбера.
Найти вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих монетах выпадут решки.
Решение Даламбера.
Опыт имеет 3 равновозможных исхода:
Обе монеты упадут на «орла»
Обе монеты упадут на «решку»
Одна монета упадёт на «орла», другая на «решку»
Благоприятным будет 1 исход
Вероятность события равна 1\3.
Правильное решение:
Опыт имеет 4 равновозможных исхода:
Первая монета упадёт на «орла», другая на «решку»
Первая монета упадёт на «решку», другая на «орла»
Первая монета упадёт на «орла», другая на «орла»
Первая монета упадёт на «решку», другая на «орла»
Благоприятным будет 1 исход
Вероятность события равна 1\4.
Даламбер объединил 2 элементарных исхода в один. Помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.
4. Итог урока.
Сегодня мы с вами ввели 2 определения вероятности – статистическое, основанное на длинной серии экспериментов и классическое, которое позволяет быстро и просто найти вероятность, но воспользоваться им мы не всегда можем. Не всегда бывает возможно найти количество исходов в испытаниях. Вернёмся к началу урока.
В каком предложении люди, при нахождении вероятности, использовали классическое определения ( с билетами), а где статистическое (с выборами). А вот вероятность встречи основывается на другом, геометрическом, определении вероятности, которое мы с вами рассмотрим на следующем уроке.
