Теоремы сложения и умножения вероятностей

ПрактическАЯ РАБОТА№ 2

Тема: Решение задач на применение теорем сложения и умножения вероятностей

Цели:

• ознакомиться с понятием вероятности, с теоремами о сложении и умножении вероятностей

• научиться решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей

Оснащение занятия: конспект лекций.

Критерии оценок

оценка «5» ставится за выполнение задания 1 и верное решение всех предложенных задач из задания 2.

оценка «4» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых четырех предложенных задач из задания 2.

оценка «3» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых трехпредложенных задач из задания 2.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

1. Ознакомиться с лекциями2 и 3.

2. Выписать в тетрадь определение и свойства основных понятий

3. Записать в тетрадь решение разобранных примеров

Лекция 2.

Тема «Теория вероятностей. Основные понятия»

Если монету, например рубль, подбросить вверх и позволить ей упасть на пол, то возможны только два исхода: «монета упала гербом вверх» и «монета упала решкой вверх». Случай, когда монета падает на ребро, подкатывается к стене и упирается в нее, бывает очень редко и обычно не рассматривается.
Издавна в России играли в «орлянку» – подбрасывали монету, если надо было решить спорную проблему, у которой не было очевидно справедливого решения, или разыгрывали какой-нибудь приз. В этих ситуациях прибегали к случаю: одни загадывали выпадение «орла», другие – «решки».
К подбрасыванию монеты иногда прибегают даже при решении весьма важных вопросов.
Например, полуфинальный матч на первенство Европы в 1968 году между командами СССР и Италии закончился вничью. Не выявился победитель ни в дополнительное время, ни в серии пенальти. Тогда было решено, что победителя определит его величество случай. Бросили монету. Случай был благосклонен к итальянцам.
В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты. 
Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием. 
Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

 Опыт 1:  Петя 3 раза подбросил монету вверх. И все 3 раза выпал «орел» – монета упала гербом вверх. Догадайтесь, возможно ли это?
Ответ: Возможно. «Орел» и «решка» выпадают совершенно случайно.

Опыт 2:  Подбросить монету в 1 рубль 50 раз и подсчитать, сколько раз выпадет орел. Записать результаты в тетради. 

В XVIII веке французский ученый, почетный член петербургской академии наук Бюффон для проверки правильности подсчета вероятности выпадения «орла» подкинул монету 4040 раз. «Орел» у него выпал 2048 раз.
В XIX веке английский ученый Пирсон подкинул монету 24 000 раз. «Орел» у него выпал 12 012  раз.
Подставим в формулу , позволяющую подсчитать статистическую частоту появления интересующего нас результата,  m = 12 012, N = 24 000. Получим   = 0,5005.

Рассмотрим пример подбрасывания игрального кубика. Будем считать, что этот кубик имеет правильную форму и сделан из однородного материала и поэтому при его бросании шансы выпадения на его верхней грани любого числа очков от 1 до 6 одинаковы. Говорят, что существует шесть равновозможных исходов этого испытания: выпадение очков 1, 2, 3, 4, 5 и 6.Вероятность того или иного события проще всего подсчитать, если все n  возможных исходов «одинаковы» (ни один из них не имеет преимуществ перед остальными). В этом случае вероятность P вычисляется по формуле  Р = , где  n – число возможных исходов. 
В примере подбрасывании монеты есть лишь два исхода («орел» и «решка»), т.е. п = 2.  Вероятность Р  выпадения «орла»  равна  .
Опыт 4: Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет:
а) 1 очко;     б) более 3 очков.
Ответ: а ) , б) .

Определение: Если событие при рассматриваемых условиях происходит всегда, то оно называется достоверным. Вероятность появления достоверного события равна 1.

Есть события, которые при рассматриваемых условиях не происходят никогда. Например, Буратино по совету лисы Алисы и кота Базилио  решил зарыть свои золотые монеты на поле Чудес, чтобы из них появилось денежное дерево. Какой будет вероятность того, что их посаженных монет вырастет дерево? Вероятность вырастания денежного дерева из монет, «посаженных» Буратино, равна 0.

Определение: Если событие при рассматриваемых условиях не происходит никогда, то оно называетсяневозможным. Вероятность невозможного события равна 0.

Лекция 3.

Тема «Теоремы сложения и умножения вероятностей»

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий,  безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Теорема сложения вероятностей совместных событий. 
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Для трех совместных событий имеет место формула:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Событие, противоположное событию A (т.е. ненаступление события A), обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P()=1

Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при условии B и обозначается (A) или P(A/B).
ЕслиAи B – независимые события, то 
P(B)-(B)=(B).

События A,B,C,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

Теоремы умножения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей независимых событий. 
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB)=P(A)•P(B)

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:
P()=P()•P()… P().

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. 
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
P(AB)=P(A)• (B)=P(B)•(A)

Решение типовых задач
Задача 1.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение: Событие A-билет выигрышный. Общее число различных исходов есть n=1000 
Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)=, получим P(A)==  = 0,2

Задача2.
Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Решение: Событие A-появление черного шара. Общее число случаев n=5+3=8
Число случаев m, благоприятствующих появлению события A, равно 3
P(A)=  =  = 0,375

 Задача3.
 Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
 Решение: Событие A- появление двух черных шаров. Общее число   возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12+8) по 2 
n==  =190
Число случаев m, благоприятствующих событию A, составляет
n==  = 28P(A)=  =  =  = 0,147

  Задача4. 
В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение: Пусть A - появление белого шара из первой урны, а B – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события A и B независимы. Найдем P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, получим 
P(AB)=P(A)•P(B)=(1/3)•(1/4)=1/12=0,083

Задание 2.

Решить задачи 5, 6, 7 и задачи из указанного преподавателем варианта.

Задачи для самостоятельного решения

  Задача5.
В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

   Задача6.Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно

  Задача 7.
В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Вариант 1.

1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?

2. Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?

Вариант 2.

1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно)  является делителем числа 30?

2. В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

• устный опрос.

1. Что называется вероятность события? Что называется достоверным событием? Что называется невозможным событием?

2. Рассказать теоремы сложения вероятностей независимых и зависимых событий.

3. Рассказать теоремы умножения вероятностей независимых и зависимых событий.

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия.