Показательная функция, решение показательных уравнений и неравенств

ЕГЭ - 2010

Найдите наибольшее (наименьшее) значение из области определения функции

Применение показательной функции в природе и технике

• Существенное свойство всех процессов состоит в том, что за равные промежутки времени значение величины изменяется в одном и том же соотношении.

Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник c огня, то сначала он быстро остывает, a потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника paвнялась Т о , а температура воздуха Т 1 , то через t секунд температура T чайника вырaзится формулой:

где k - число, зависящее от формы чайника, материaла, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.

T=(T 1 -T 0 )e -kt +T 1 ,

T

T 0

T 1

T 2

T 3

0

t

t 3

t 2

t 1

t n

t 0

При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной ВЕЛИЧИНЫ.

Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F= kv, то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e -kt/m ) , где m - масса парашютиста. Через некоторый промежyток времени е -kt/m станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды , пушинки и т.д.

P

P 0

P 1

P 2

P 3

0

h

h n

h 2

h 1

h 3

h 0

• Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача oб определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v 0 , с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.
• Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой:

М= M=m(e v/v0 -1) (формула К.Э.Циолковского).

Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.

• Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Отклонения точки, совершающей затухающие колебании, выражается формулой: S =Ae -kt sin( ω t+ φ ).

Так как множитель е -kt уменьшается с течением времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше.

• Когда радиоактивное вещество распадется, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени t o называется периодом полураспада. Вообще через t лет масса m вещества будет равна:

m=m 0 (1/2) t/t0 ,

где то - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество.

• Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли. около 5,5 млрд. лет, что необходимо для поддержания эталона времени.

Кроссворд «И в шутку и всерьез»

п

р

м

а

я

о

л

ч

и

п

р

б

л

а

П о к а з а т е л ь н а я

а б ц и с с а

к о н т р о л ь н а я

к о р е н ь

Спасибо за внимание!