Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств.

Выполни самостоятельно!

1. Постройте график функции

у = 3 х

2. Сравните числа:

1. 4 ² и 4³

2. (0,3) 2 и ( 0,3) -3

3. Вычислите:

1. 2 1,3 · 2 -0,7 · 4 0,7

2. (27· 64 ) 1/3

Показательные уравнения

• Показательными уравнениями называются уравнения вида

а f(x) = а q(x) , где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому уравнению.

Способы решения показательных уравнений

Первый способ

Приведение обеих частей уравнения к одному и тому же основанию.

Пример:

2 х = 32,

так как 32= 2 5 , то имеем:

2 х = 2 5

х = 5.

0, находим у 1 = 4, у 2 = – 6. Получаем два уравнения: 2 х = 4 и 2 х = – 6 2 2 = 2 2 корней нет. х = 2. Путем введения новой переменной приводят уравнение к квадратному ." width="640"

Второй способ

Пример: 4 х + 2 х+1 – 24 = 0

Решение:

Заметив , что 4 х =(2 2 )х=( 2 х ) 2 и

2 х+1 = 2 х × 2 1 , запишем уравнение в виде:

(2 х )2 + 2×2 х – 24 = 0,

Введем новую переменную 2 х = у;

Тогда уравнение примет вид:

У 2 + 2у – 24 = 0

Д = в 2 – 4 а с = 2 2 – 4×1×(–24)

= 100 0, находим у 1 = 4, у 2 = – 6.

Получаем два уравнения:

2 х = 4 и 2 х = – 6

2 2 = 2 2 корней нет.

х = 2.

Путем введения новой переменной приводят уравнение к квадратному .

Третий способ

Пример:

3 х –– 3 х+3 = –78

3 х –3 х ×3 3 = –78

3 х ( 1 –3 3 ) = –78

3 х ( – 26) = – 78

3 3 = – 78 : ( –26)

3 х = 3

Х = 1.

Вынесение общего множителя за скобки.

Четвертый способ

Пример: 4 х = х + 1

Графический:

построение графиков функций в одной системе координат

Ответ: х = -0,5, х = 0.

Выполните самостоятельно!

Решите уравнения :

1) (⅓) х+2 = 9

2) 2 х-1 = 1

3) 2 · 2 2х – 3 · 2 х - 2 = 0

4) 2 х = х + 3

5) 4 х+1 + 4 х = 320

а g(x) , где а – положительное число, отличное от нуля, и неравенства, сводящиеся к этому виду f ( x ) q ( x )." width="640"

Показательные неравенства

• Показательными неравенствами называются неравенства вида

а f(x) а g(x) , где а – положительное число, отличное от нуля, и неравенства, сводящиеся к этому виду f ( x ) q ( x ).

0, Если 0 то показательное неравенство а f (x) а g (x) равносильно неравенству того же смысла f ( x ) q ( x ). то показательное неравенство а f (x) а g (x) равносильно неравенству противоположного смысла f ( x )" width="640"

Свойства показательной функции

• Если а 0,

• Если 0

то показательное неравенство

а f (x) а g (x) равносильно неравенству того же смысла

f ( x ) q ( x ).

то показательное неравенство

а f (x) а g (x) равносильно неравенству противоположного смысла

f ( x )

64 2 2х-4 2 6 2х – 4 6 2х 10 х 5 Ответ: х 5 (0,2) х ≥ 0,04 (0,2) х ≥ (0,2) 2 х ≤ Ответ: х ≤ 2" width="640"

Решение показательных неравенств

2 2х-4 64

2 2х-4 2 6

2х – 4 6

2х 10

х 5

Ответ: х 5

(0,2) х ≥ 0,04

(0,2) х ≥ (0,2) 2

х ≤

Ответ: х ≤ 2

0,027 3. 2 х + 2 х+2 4. 11 2х+3 ≥ 121 5. 5 4х+2 ≤ 125" width="640"

Выполни самостоятельно!

1. 4 5-2х ≤ 0,25

2. 0,3 7+4х 0,027

3. 2 х + 2 х+2

4. 11 2х+3 ≥ 121

5. 5 4х+2 ≤ 125

А. Дистервег

• „ Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением”