Параллельность прямых и плоскостей.

Параллельность прямой и плоскости; параллельность плоскостей

ГБОУ лицей 1367

Мичурина Е.В.

Мичурина Е.В

Параллельные прямые в пространстве.

Две прямые в пространстве называются параллельными (рис. 1), если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися (рис. 2).

a

a

b

b

α

α

1

2

Теорема.

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

a

b

A

Признак параллельности прямых.

Две прямые параллельные третьей прямой параллельны.

a

b

c

Задача №1.

Прямые a и b не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую c, параллельную прямым a и b ?

Признак параллельности прямой и плоскости.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельная какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельная и самой плоскости.

Признак параллельности плоскостей.

Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

a

b

α

a’

b’

β

Задача №2.

Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

a 1

b

β

b 1

a

α

Существование плоскости, параллельной данной плоскости.

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

α

A

β

Свойства параллельных плоскостей.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

γ

a

α

b

β

Свойства параллельных плоскостей.

Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.

α

a

b

β

Свойство транзитивности.

Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Задача №3.

Дано:

α ∥ β

AB ∩ AC = A

AB ∩ α = B

AB ∩ β = D

AC ∩ α = C

AC ∩ β = E

AC = 3

CE = 4

DE = 21

Найти:

BC

Ответ: 9.

A

B

C

α

E

D

β

Задача №4.

Дано:

α ∥ β

AB ∩ AC = A

AB ∩ α = B

AB ∩ β = E

AC ∩ α = C

AC ∩ β = D

BC = 18

Найти:

DE

Ответ: 30.

B

C

α

A

D

E

β

Задача №5.

Дано:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб

M – середина ребра DD 1

S ABCD = 4 м 2

Найти:

площадь сечения куба

проходящего через ребро

A 1 B 1 и точку M

Ответ: .

B 1

C 1

D 1

A 1

K

M

B

C

D

A

Задача №6.

Дано:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямая призма

ABCD – ромб

∠ A = 120°; AD = 4

угол между плоскостью

ADC 1 и плоскостью ABC = 60°

Найти:

высота призмы

Ответ: .

C 1

D 1

H

A 1

B 1

K

M

C

D

O

A

B

№ 1

№ 1

В1

В1

№ 2

Даны две параллельные плоскости α и β и точка О, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Из точки О к плоскости β проведены две прямые OA 2 и OB 2 , пересекающие плоскость α в точках A 1 и B 1 соответственно. A 1 B 1 : A 2 B 2 = 3 : 5. OA 2 = 1,5 дм. Найдите A 1 O. Ответ дайте в сантиметрах.

Даны две параллельные плоскости α и β и точка О, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Из точки О к плоскости β проведены две прямые OA 2 и OB 2 , пересекающие плоскость α в точках A 1 и B 1 соответственно. A 1 B 1 : A 2 B 2 = 3 : 5. OA 2 = 1,5 дм. Найдите A 1 O. Ответ дайте в сантиметрах.

№ 2

В2

В2

Даны две параллельные плоскости α и β и точка M, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Из точки M к плоскости β проведены две прямые MB 1 и MB 2 , пересекающие плоскость α в точках A 1 и A 2 соответственно. MB 1 : A 1 B 1 = 10 : 3. A 1 A 2 = 1,4 дм. Найдите B 1 B 2 . Ответ дайте в сантиметрах.

В3

В3

Даны две параллельные плоскости α и β и точка M, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Из точки M к плоскости β проведены две прямые MB 1 и MB 2 , пересекающие плоскость α в точках A 1 и A 2 соответственно. MB 1 : A 1 B 1 = 10 : 3. A 1 A 2 = 1,4 дм. Найдите B 1 B 2 . Ответ дайте в сантиметрах.

Даны две параллельные плоскости α и β и точка F, лежащая между плоскостями. Через точку F проведены две прямые пересекающие плоскость α в точках A 1 и B 1 , а плоскость β в точках A 2 и B 2 соответственно. A 1 B 1 = A 2 B 2 . B 1 B 2 = 34 см. Найдите B 1 F.

В4

Даны две параллельные плоскости α и β и точка F, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Из точки F к плоскости β проведены две прямые FC и FD, пересекающие плоскость α в точках A и B соответственно. CA : AF = 2 : 3. AB = 0,09 м. Найдите CD. Ответ дайте в сантиметрах.

Даны две параллельные плоскости α и β и точка F, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Из точки F к плоскости β проведены две прямые FC и FD, пересекающие плоскость α в точках A и B соответственно. CA : AF = 2 : 3. AB = 0,09 м. Найдите CD. Ответ дайте в сантиметрах.

Даны две параллельные плоскости α и β и точка O, лежащая между плоскостями. Через точку O проведены две прямые пересекающие плоскость α в точках A 1 и A 2 , а плоскость β в точках B 2 и B 1 соответственно. A 2 B 1 = B 1 O. A 1 A 2 = 16 см. Найдите B 1 B 2 .

В4

Даны две параллельные плоскости α и β и точка K, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Из точки K к плоскости β проведены две прямые KA и KB, пересекающие плоскость α в точках M и N соответственно. KN : NB = 1 : 4. MN = 0,07 м. Найдите AB. Ответ дайте в сантиметрах.

Даны две параллельные плоскости α и β и точка K, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Из точки K к плоскости β проведены две прямые KA и KB, пересекающие плоскость α в точках M и N соответственно. KN : NB = 1 : 4. MN = 0,07 м. Найдите AB. Ответ дайте в сантиметрах.

Даны две параллельные плоскости α и β и точка K, лежащая между плоскостями. Через точку K проведены две прямые пересекающие плоскость α в точках A и C, а плоскость β в точках B и D соответственно. AB = AK. DB = 10 см. Найдите AC.

Даны две параллельные плоскости α и β и точка M, лежащая между плоскостями. Через точку M проведены две прямые пересекающие плоскость α в точках A 1 и B 1 , а плоскость β в точках A 2 и B 2 соответственно. A 1 B 1 = A 2 B 2 . A 1 A 2 = 32 см. Найдите A 2 M.