Обобщенный метод интервалов.

Различные методы решения неравенств

«МЕТОД РЕШЕНИЯ ХОРОШ,

ЕСЛИ С САМОГО НАЧАЛА

МЫ МОЖЕМ ПРЕДВИДЕТЬ –

И ВПОСЛЕДСТВИИ ПОДТВЕРДИТЬ,

ЧТО, СЛЕДУЯ ЭТОМУ МЕТОДУ,

МЫ ДОСТИГНЕМ ЦЕЛИ.»

ЛЕЙБНИЦ

Общие методы решения неравенств

1. Обобщенный метод интервалов

2. Метод рационализации (метод замены множителей)

3. Метод мажорант

1. Обобщенный метод интервалов

• Применимость метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств.
• Применяя метод интервалов к решению иррациональных, трансцендентных, комбинированных неравенств, говорят об обобщенном методе интервалов.

Алгоритм обобщенного метода интервалов

• Привести неравенство к виду .
• Найти область определения функции (она же ОДЗ переменной).
• Найти нули функции , решив уравнение
• Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.
• Определить знаки функции на полученных интервалах.
• Записать ответ, включив в него промежутки в соответствии со знаком неравенства (не забыть включить в ответ изолированные точки).

Неравенство первого типа

Решить неравенство

Решение

Решение

• 2. Найдем нули

Решение

3. В результате получим промежутки

4. Определим знак в полученных промежутках

Ответ:

Неравенство второго типа

Пример

• Решить неравенство

Решение.

2. Найдем нули

Пример

3. В результате получим промежутки

4. Определим знак в полученных промежутках

Ответ:

Неравенство третьего типа

• Пример. Решить неравенство .
• Решение. Решим неравенство обобщенным методом интервалов.

Решение

1)ОДЗ:

2)Нули знаменателя: 0; 5. Нули

числителя: 1; 3; 5; 4.

Решение

Вывод: 3 и 5 корни четной кратности. Нанесем найденные корни на числовую ось, причем только в пределах ОДЗ. Определим знаки левой части неравенства на полученных промежутках.

• Выясним принадлежность числа 6 множеству решений неравенства, определив знак левой части неравенства при x =6. Проверка показала, что число 6 принадлежит множеству решений неравенства. Ответ

Примеры для самостоятельного решения

1.

2.

3.

5. Метод рационализации.

• Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на бо лее простое выражение G(x) (в конечном счете рациональ-ное ), при которой неравенство G(x) равносильно неравенству F(x) в области определения выраже ния F(x) .
• Выделим некоторые выражения F и соответст-вующие им рационализирующие выражения G.

Метод рационализации.

Выражение F(x)

Выражение G(x)

log h f - log h g

(h – 1)(f – g)

log f h - log g h

(f – 1)(g – 1)(h – 1)(g – f)

h f - h g

(h – 1)(f – g)

f h - g h

(f – g)h

| f | - | g |

(f – g)(f + g)

log h f · log p g

(f – 1)(g – 1)(h – 1)(p – 1)

√ f - √ g

f- g

Пример

Решить неравенство

Задание для самостоятельного решения

Задание для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решения

1.

2.

3.

Метод мажорант (метод минимакса)

Метод мажорант является одним из наиболее интересных нестандартных методов решения уравнений и неравенств.

Задачи на применение метода мажорант встречаются во всех вузовских олимпиадах и на школьных олимпиадах по математике (на первых трех этапах).

Метод мажорант (метод минимакса)

Мажоранта и миноранта – (от франц.) две функции, значение первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции.

Метод мажорант – метод выявления ограниченности функции.

Мажорирование – нахождение точек ограничения функции .

Математическая модель для уравнения, решаемого методом мажорант (методом оценки)

М – мажоранта, если имеем f(x) = g(x) и известно ОО , и если f(x) ≤ M и g(x) ≥ M , то

Математическая модель для неравенства, решаемого методом мажорант (методом оценки)

f(x) ≤ g(x) , причем существует действительное число М такое, что для всех х из области определения неравенства выполняются следующие неравенства: f(x) ≥ M и g(x) ≤ M

(что меньшая функция f должна быть ≥ мажоранты, а большая функция g ≤ мажоранты).

Тогда получаем, что для любого х из области определения выполняются неравенства:

M ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ M.

Получаем аналогичную систему:

Опорные неравенства

• а)
• б)

• в) , где ab0
• г)

• д)

Схема решения

• Оценить левую часть f(x) уравнения (неравенства).
• Оценить правую часть g(x) уравнения (неравенства).
• Найти значение мажоранты М .
• Составить систему уравнений:
• Найти решение этой системы.
• Проверить, является ли найденное значение аргумента корнем данного уравнения (неравенства).

Признаки присутствия мажоранты в задаче

• Смешанное уравнение (или неравенство), т.е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов.
• Сложный, вид уравнения или неравенства, большие числа и коэффициенты.

Разновидностью метода мажорант являются задачи, в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку,

Пример

• Решить уравнение:

• Решение. Очевидно, что ,

Перемножив почленно эти неравенства, получаем:

Пример

Левая часть равна правой, лишь при условии

одновременно.

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений

Отсюда получаем корни уравнения.

Пример

Решить уравнение

Решение. Область значений каждой части неравенства равна:

1.

2.

Пример

Данное неравенство выполнимо, если каждая часть равна 4.

(х–1,5)2 + 4 = 4 , х = 1,5 .

Ответ: {1,5}.

Пример

Имеет место частный случай

где М – мажоранта для

Пример

Решить уравнение

Решение.

Задачи для самостоятельного решения

1.

2.

3.

4.

Минимаксные задачи с параметрами

При каких значениях параметра а система имеет единственное решение.

х² + 2ах + 4а² -5а + 3 ≤ 4sin y – 3 cos y,

0 ≤ y ≤ 2π

1) Рассмотрим квадратичную функцию

f(х) = х² + 2ах + 4а² -5а + 3, которая достигает своего наименьшего значения при х = - а

М = а² - 2а² + 4а² -5а + 3= 3а² -5а + 3.

Минимаксные задачи с параметрами

2) Чтобы оценить правую часть неравенства, используем неравенство

4sin y – 3 cos y ≤ √ 4² + 3² =5.

3) Для того, чтобы исходная система имела единственное решение, надо чтобы 3а² -5а + 3=5.

3а² - 5а - 2= 0,

а = 1/3, а = 2. Ответ: а = 1/3, а = 2.

Минимаксные задачи с параметрами

Минимаксные задачи с параметрами

Минимаксные задачи с параметрами