kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Многообразие Геометрических фигур

Нажмите, чтобы узнать подробности

Эта тема развивает интерес у учащихся к математике.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Многообразие Геометрических фигур»

.  900igr.net

.

900igr.net

Двумерные многообразия Пусть  и – два множества в евклидовом пространстве произвольной размерности. Если задано отображение , которое каждой точке множества ставит в соответствие точку множества и 1) отображение взаимно-однозначно, то есть различные точки переходят в различные; 2) отображение непрерывно, то есть близкие точки переходят в близкие; 3) обратное отображение непрерывно, то множества и – гомеоморфны, а отображение называется гомеоморфизмом . Например, внутренность круга гомеоморфна всей плоскости (рис.1) Рис. 1

Двумерные многообразия

Пусть и – два множества в евклидовом пространстве произвольной размерности. Если задано отображение , которое каждой точке множества ставит в соответствие точку множества и

1) отображение взаимно-однозначно, то есть различные точки переходят в различные;

2) отображение непрерывно, то есть близкие точки переходят в близкие;

3) обратное отображение непрерывно, то множества и – гомеоморфны, а отображение называется гомеоморфизмом .

Например, внутренность круга гомеоморфна всей плоскости (рис.1)

Рис. 1

Двумерные многообразия Например, поверхность куба гомеоморфна сфере (рис.2) Рис. 2

Двумерные многообразия

Например, поверхность куба гомеоморфна сфере (рис.2)

Рис. 2

Двумерные многообразия Рис. 3

Двумерные многообразия

Рис. 3

Двумерные многообразия Рис. 4

Двумерные многообразия

Рис. 4

Двумерные многообразия Рис. 5

Двумерные многообразия

Рис. 5

Двумерные многообразия Любая компактная двумерная поверхность гомеоморфна либо сфере с p  ручками, либо сфере с q листами Мебиуса, причем сферы с ручками не гомеоморфны сферам с листами Мебиуса, так как второй ряд поверхностей образуют неориенти - руемые поверхности. Сферы с различным числом ручек и различным числом листов Мебиуса также негомеоморфны между собой . Рис. 6

Двумерные многообразия

Любая компактная двумерная поверхность гомеоморфна либо сфере с p ручками, либо сфере с q листами Мебиуса, причем сферы с ручками не гомеоморфны сферам с листами Мебиуса, так как второй ряд поверхностей образуют неориенти - руемые поверхности. Сферы с различным числом ручек и различным числом листов Мебиуса также негомеоморфны между собой .

Рис. 6

Двумерные многообразия Рис. 7

Двумерные многообразия

Рис. 7

Двумерные многообразия Рис.8

Двумерные многообразия

Рис.8

Двумерные многообразия Рис.9

Двумерные многообразия

Рис.9

Двумерные многообразия Рис. 10

Двумерные многообразия

Рис. 10

Фундаментальная группа Рис. 11  Две петли и , проходящие через фиксированную точку P , называются гомотопными , если их можно непрерывно деформировать одна в другую. И мы уже можем рассматривать класс  гомотопных петель.

Фундаментальная группа

Рис. 11

Две петли и , проходящие через фиксированную точку P , называются гомотопными , если их можно непрерывно деформировать одна в другую. И мы уже можем рассматривать класс гомотопных петель.

Трехмерные многообразия Рис. 12

Трехмерные многообразия

Рис. 12

Трехмерные многообразия Рис.13

Трехмерные многообразия

Рис.13

Трехмерные многообразия Каждое компактное ориентируемое 3-мерное многообразие раскладывается в связную сумму  где сомножители - замкнутые неприводимые  трехмерные многообразия, -декартово произведение окружности на двумерную сферу и в связную сумму входит r –компонент. множители имеют бесконечную фундаментальную группу,    множители - конечную фундаментальную группу.

Трехмерные многообразия

Каждое компактное ориентируемое 3-мерное многообразие раскладывается в связную сумму

где сомножители - замкнутые неприводимые трехмерные многообразия, -декартово произведение окружности на двумерную сферу и в связную сумму входит r –компонент. множители имеют бесконечную фундаментальную группу, множители - конечную фундаментальную группу.

Трехмерные многообразия Рис. 14

Трехмерные многообразия

Рис. 14

Трехмерные многообразия Любое трехмерное компактное неприводимое многообразие можно разрезать конечным числом несжимающихся торов на компактные многообразия, границей которых есть торы.Каж-дое из этих многообразий или торонеприводимо или является многообразием Зейферта.  Гипотеза Пуанкаре состоит в следующем. Пусть – ком-пактное трехмерное односвязное многообразие (т.е. любая петля на многообразии стягивается в точку). Верно ли, что это многообразие гомеоморфно трехмерной сфере ?

Трехмерные многообразия

Любое трехмерное компактное неприводимое многообразие можно разрезать конечным числом несжимающихся торов на компактные многообразия, границей которых есть торы.Каж-дое из этих многообразий или торонеприводимо или является многообразием Зейферта.

Гипотеза Пуанкаре состоит в следующем. Пусть – ком-пактное трехмерное односвязное многообразие (т.е. любая петля на многообразии стягивается в точку). Верно ли, что это многообразие гомеоморфно трехмерной сфере ?

Однородные трехмерные геометрии В трехмерном случае всего 8 стандартных геометрий , которые 1) в окрестности каждой точки выглядят одинаково, пространство является однородным; 2) задаются на односвязном многообразии; 3) и для каждой геометрии существует трехмерное компактное многообразие, на котором она задается.  Существование только 8 геометрий приписывается Терстону, но это следует из результатов Бианки.  Перечислим их: 1) – метрика стандартной единичной сферы в  ; 2) – евклидово пространство; 3) – трехмерное пространство Лобачевского;

Однородные трехмерные геометрии

В трехмерном случае всего 8 стандартных геометрий ,

которые

1) в окрестности каждой точки выглядят одинаково, пространство является однородным;

2) задаются на односвязном многообразии;

3) и для каждой геометрии существует трехмерное компактное многообразие, на котором она задается.

Существование только 8 геометрий приписывается Терстону, но это следует из результатов Бианки. Перечислим их:

1) – метрика стандартной единичной сферы в ;

2) – евклидово пространство;

3) – трехмерное пространство Лобачевского;

Однородные трехмерные геометрии  Метрики прямого произведения: 4) ; 5) ;  Возьмем пространство единичных окружностей в касательных пространствах к плоскости Лобачевского . В нем вводится естественная метрика Сасаки. Универсальное накрывающее пространство и есть 6) ; 7) Nil ; Это трехмерная группа Гейзенберга, состоящая из матриц ,

Однородные трехмерные геометрии

Метрики прямого произведения:

4) ; 5) ;

Возьмем пространство единичных окружностей в касательных пространствах к плоскости Лобачевского . В нем вводится естественная метрика Сасаки. Универсальное накрывающее пространство и есть

6) ; 7) Nil ;

Это трехмерная группа Гейзенберга, состоящая из матриц ,

Однородные трехмерные геометрии  которые образуют группу относительно операции умножения и на ней задана метрика Sol .  Это трехмерная группа, на которой задана метрика    .  Заметим, что только сфера  является односвязным  компактным многообразием, на котором задана стандартная геометрия.

Однородные трехмерные геометрии

которые образуют группу относительно операции умножения и на ней задана метрика

  • Sol .

Это трехмерная группа, на которой задана метрика

.

Заметим, что только сфера является односвязным компактным многообразием, на котором задана стандартная геометрия.

Геометрическая гипотеза Терстона  Неприводимое трехмерное замкнутое многообразие разрезается несжимающимися торами на куски, на которых можно задать одну из стандартных геометрий.

Геометрическая гипотеза Терстона

Неприводимое трехмерное замкнутое многообразие разрезается несжимающимися торами на куски, на которых можно задать одну из стандартных геометрий.

Поток Риччи  Пусть есть риманово неприводимо компактное многообразие, на котором в локальных координатах метрика задается в виде

Поток Риччи

Пусть есть риманово неприводимо компактное многообразие, на котором в локальных координатах метрика задается в виде

Поток Риччи t=0 Рис. 15

Поток Риччи

t=0

Рис. 15

Поток Риччи Рис. 16

Поток Риччи

Рис. 16

Поток Риччи Рис. 17

Поток Риччи

Рис. 17

Поток Риччи Рис. 18

Поток Риччи

Рис. 18

Поток Риччи Рис. 19 Рис. 20

Поток Риччи

Рис. 19

Рис. 20

Поток Риччи Рис. 21

Поток Риччи

Рис. 21

Sylvia Nasar and David Cruber. Manifold Destiny. A legendary problem and the battle over who soved it. (The new Yorker.) http://www .newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2.21.08.2006 г. Русский перевод vadda. http:// vadda.livejournal.com

Sylvia Nasar and David Cruber. Manifold Destiny. A legendary problem and the battle over who soved it. (The new Yorker.)

http://www .newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2.21.08.2006 г. Русский перевод vadda. http:// vadda.livejournal.com


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 9 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Многообразие Геометрических фигур

Автор: Айзятова Минжиган Мязгутовна

Дата: 16.08.2021

Номер свидетельства: 585318

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(153) "Дизайн. Составление композиции из прямых, волнистых полосок, геометрических фигур. "
    ["seo_title"] => string(91) "dizain-sostavlieniie-kompozitsii-iz-priamykh-volnistykh-polosok-ghieomietrichieskikh-fighur"
    ["file_id"] => string(6) "247081"
    ["category_seo"] => string(12) "tehnologiyad"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1446487642"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(133) "Тесты  Математика       По V главе ''Измерение геометрических фигур'' 5 класс "
    ["seo_title"] => string(80) "tiesty-matiematika-po-v-ghlavie-izmierieniie-ghieomietrichieskikh-fighur-5-klass"
    ["file_id"] => string(6) "212154"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "testi"
    ["date"] => string(10) "1431770664"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(75) "Роль учителя во внеурочной деятельности "
    ["seo_title"] => string(46) "rol-uchitielia-vo-vnieurochnoi-dieiatiel-nosti"
    ["file_id"] => string(6) "230437"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1442145312"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(123) "конспект урока "понятие формы. многообразие форм окружающего мира" "
    ["seo_title"] => string(75) "konspiekt-uroka-poniatiie-formy-mnoghoobraziie-form-okruzhaiushchiegho-mira"
    ["file_id"] => string(6) "153140"
    ["category_seo"] => string(3) "izo"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1420976780"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(108) "Презентация для занятия по ФЭМП "Математика -это интересно""
    ["seo_title"] => string(66) "priezientatsiia_dlia_zaniatiia_po_femp_matiematika_eto_intieriesno"
    ["file_id"] => string(6) "411519"
    ["category_seo"] => string(21) "doshkolnoeObrazovanie"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1493115551"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1390 руб.
1980 руб.
1580 руб.
2260 руб.
1750 руб.
2500 руб.
1450 руб.
2070 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства