Многогранники 10 класс

Многогранники

Учитель математики МБОУ «Школа № 15»

Болгова Г.А.

Понятие многогранника.

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело называют многогранной поверхностью или многогранником.

• Грани - многоугольники , из которых составлен многогранник.
• Ребра – стороны граней , а концы рёбер – вершины многогранника.
• Диагональ – отрезок , соединяющий две вершины , не принадлежащие одной грани.

• Давайте рассмотрим, например, прямоугольный параллелепипед: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .  поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников. Т.е. его поверхность составлена из шести многоугольников. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют его  гранями.
• Заметим, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости.
• Стороны граней называются ребрами многогранника. А концы ребер вершинами многогранника.
• Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, например,  A 1 C – называется  диагональю многогранника . В данном случае, диагональ прямоугольного параллелепипеда.
• Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется  секущей плоскостью , а общая часть многогранника и секущей плоскости –  сечением многогранника .

Выпуклые и невыпуклые многогранники

Многогранник называется выпуклым ,

если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Если это условие не выполняется,

то многогранник называется  невыпуклым .

Отметим ,что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°.

Теорема Эйлера

• В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2.

Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение : Г+В-Р=2 , где Г – число граней В – число вершин Р – число ребер данного многогранника

Призма.

•   Это многогранник , две грани которого являются равными многоугольниками , лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами , имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

• Равные n-угольники , лежащими в параллельных плоскостях, называются  основаниями призмы .
• Параллелограммы – боковыми гранями  призмы .
• А стороны боковых граней, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми  ребрами призмы .
• Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, например, B 1 A 3 , называется  диагональю призмы .

• Призма в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название.

• Если в основании лежит треугольник, то призма называется треугольной.

• Если четырехугольник – то четырехугольной призмой.

• А если n-угольник, то n-угольной призмой.

Высота призмы

• Выберем произвольную точку А одного из оснований и проведем через нее прямую, перпендикулярную к плоскости другого основания и пересекающую ее в точке B.
• Отрезок, AB называется высотой призмы.

∙ Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой.

∙ Если же боковые ребра не перпендикулярны основанию, то призма называется наклонной.

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной.

Пирамида

• ∙ Многогранник, составленный из n-угольника A 1 A 2 …A n  и этих n треугольников, называется  пирамидой.
• ∙ Многоугольник A 1 A 2 …A n  называется  основанием пирамиды .
• ∙ Треугольники PA 1 A 2 , PA 2 A 3 , …, PA n A 1  называются 
• боковыми гранями пирамиды .
• ∙ Точка P –  вершиной пирамиды ,
• а отрезки PA 1 , PA 2 ,…, PA n  – ее боковыми ребрами.
• ∙ Отрезок, соединяющий вершину пирамиды
• с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется  высотой пирамиды .

• Объединение боковых граней называется  боковой поверхностью пирамиды , а объединение всех граней называется  полной поверхностью пирамиды . Тогда площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. А площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

• Пирамида в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Если в основании лежит треугольник, то пирамида называется треугольной. Если четырехугольник – то четырехугольной пирамидой. А если n-угольник, то n-угольной пирамидой.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной ,

если ее основание правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется  апофемой .

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Усеченная пирамида

• Плоскость β разбивает пирамиду на две фигуры.

•   A 1 A 2 B 2 B 1 , A 2 A 3 B 3 B 2 ,…, A n A 1 B 1 B n  называется усеченной пирамидой.

Спасибо за внимание