kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Открытый урок: " Построение сечений многогранников"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №76»

Открытый урок

 по геометрии в 10 классе

на тему:

«Построение сечений многогранников

 с использованием свойств параллельности

прямых и плоскостей в пространстве»

Учитель: Хоружая Наталья Александровна

г. Ростов-на-Дону

2014 – 2015 учебный год

Тема урока:

«Построение сечений многогранников с    использованием свойств параллельности прямых и плоскостей в пространстве».

Цель урока:    развитие пространственных представлений учащихся при изучении стереометрии.

Задачи урока:

  1. Практическое применение теоретических знаний по теме «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве» при построении сечений многогранников.
  2. Отработка использования современных информационных технологий в обучении старшеклассников.
  3. Активизация познавательной деятельности учащихся.

Программно - методическое обеспечение урока:

  •  Учебник для общеобразовательных учреждений «Геометрия 10 -11», Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселёва, Э.Г.Поздняк, Москва, Просвещение, 2013.
  • Дидактические материалы по геометрии для 10 класса, Б.Г.Зив.
  • Проектор «Overhead» с набором слайдов по стереометрии.
  • Мультимедийная установка для показа презентаций по теме урока, экран.
  • Модели многогранников и наглядные таблицы с сечениями многогранников.
  • Раздаточный материал для выполнения практических заданий.

Ход урока

  1. Повторение теоретического материала с использованием подготовленной презентации (фронтальный опрос):
  1. Аксиомы стереометрии и следствия из них.
  2. Параллельные прямые в пространстве (определение, лемма, теорема о трёх параллельных прямых).
  3. Параллельность прямой и плоскости (определение, признак, свойства).
  4. Скрещивающиеся прямые  (определение, признак, теорема о плоскости, параллельной одной из скрещивающихся прямых, проходящей через другую прямую).
  5. Параллельность плоскостей (определение, признак, свойства).

 

  1. Подготовительная часть к практическому построению (индивидуальная работа у доски).

Задача.   Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N и K лежат соответственно на рёбрах  BB1, AA1, AD  (CC1,  AD,BB1).

Множество общих точек секущей плоскости и грани выпуклого многогранника называется следом секущей плоскости на этой грани.

Многоугольник, сторонами которого является совокупность следов секущей плоскости на гранях многогранника, называется сечением многогранника.

  1. Построение сечений.
  1. Задание на построение  прямой,  параллельной данной прямой.

Задача 1.    Построить  прямую, параллельную  прямой  CD и проходящую через точку P, взятую на ребре  MA  пирамиды  MABCD. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Решение.     1) Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку P и прямую CD. Для этого найдём точку S=CDAB, затем проведём прямую SP – след плоскости CDP на плоскости MAB и найдём точку B1=SPMB.  Таким образом, в сечении мы получаем четырёхугольник CDPB1. 2) В плоскости CDP  через точку P проведём прямую  m//CD и найдём точку F=m B1C.  Прямая  PF является искомой прямой.

Задача 2.    На ребре AB призмы ABCDA1B1C1D1  взята точка E. Построить прямую, параллельную прямой  DE  и проходящую через точку P, взятую на ребре  BB1. (Фронтальная самостоятельная работа  по готовым чертежам с проверкой на экране).

2.Задание на построение прямой, параллельной данной плоскости.

Задача 1.   На рёбрах  AB и  AC  пирамиды MABC  взяты соответственно точки P и  Q. Построить сечение пирамиды плоскостью,  проходящей  через прямую  PQ  параллельно прямой  MA. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Задача 2.  Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через прямую PQ  параллельно другой заданной прямой: а) МА; б) МВ; в) АС. (Фронтальная самостоятельная работа  по готовым чертежам с проверкой на экране).

3.Задание  на построение сечения, параллельного данной плоскости.

Задача1.  На рёбрах АВ,  ВС и ВВ1 призмы АВСДА1В1С1Д1 взяты соответственно точки  P, Q и R. Построить сечения призмы следующими плоскостями, параллельными плоскости  PQR :

1) плоскостью,  проходящей через точку К1, взятую на ребре АВ;

2) плоскостью, проходящей через точку К2, взятую на ребре АД. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Задача 2.  Постройте сечения заданной пирамиды плоскостями, проходящими через заданную точку К параллельно заданной плоскости.

  1. Итог урока.

Задача из дидактического материала  (Б.Г.Зив).  Вариант 5.

Дан куб АВСДА1В1С1Д1, ребро которого равно 8 см. Точки Р, М и Т соответственно середины рёбер А1 В1, С1С и АД. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р, М и Т и найдите площадь сечения.

Дополнительные вопросы:

Все ли сечения построены  верно?

Домашнее задание:  № 84, № 86.

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №76»

Открытый урок

 по геометрии в 10 классе

на тему:

«Построение сечений многогранников

 с использованием свойств параллельности

прямых и плоскостей в пространстве»

Учитель: Хоружая Наталья Александровна

г. Ростов-на-Дону

2014 – 2015 учебный год

Тема урока:

«Построение сечений многогранников с    использованием свойств параллельности прямых и плоскостей в пространстве».

Цель урока:    развитие пространственных представлений учащихся при изучении стереометрии.

Задачи урока:

  1. Практическое применение теоретических знаний по теме «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве» при построении сечений многогранников.
  2. Отработка использования современных информационных технологий в обучении старшеклассников.
  3. Активизация познавательной деятельности учащихся.

Программно - методическое обеспечение урока:

  •  Учебник для общеобразовательных учреждений «Геометрия 10 -11», Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселёва, Э.Г.Поздняк, Москва, Просвещение, 2013.
  • Дидактические материалы по геометрии для 10 класса, Б.Г.Зив.
  • Проектор «Overhead» с набором слайдов по стереометрии.
  • Мультимедийная установка для показа презентаций по теме урока, экран.
  • Модели многогранников и наглядные таблицы с сечениями многогранников.
  • Раздаточный материал для выполнения практических заданий.

Ход урока

  1. Повторение теоретического материала с использованием подготовленной презентации (фронтальный опрос):
  1. Аксиомы стереометрии и следствия из них.
  2. Параллельные прямые в пространстве (определение, лемма, теорема о трёх параллельных прямых).
  3. Параллельность прямой и плоскости (определение, признак, свойства).
  4. Скрещивающиеся прямые  (определение, признак, теорема о плоскости, параллельной одной из скрещивающихся прямых, проходящей через другую прямую).
  5. Параллельность плоскостей (определение, признак, свойства).

 

  1. Подготовительная часть к практическому построению (индивидуальная работа у доски).

Задача.   Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N и K лежат соответственно на рёбрах  BB1, AA1, AD  (CC1,  AD,BB1).

Множество общих точек секущей плоскости и грани выпуклого многогранника называется следом секущей плоскости на этой грани.

Многоугольник, сторонами которого является совокупность следов секущей плоскости на гранях многогранника, называется сечением многогранника.

  1. Построение сечений.
  1. Задание на построение  прямой,  параллельной данной прямой.

Задача 1.    Построить  прямую, параллельную  прямой  CD и проходящую через точку P, взятую на ребре  MA  пирамиды  MABCD. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Решение.     1) Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку P и прямую CD. Для этого найдём точку S=CDAB, затем проведём прямую SP – след плоскости CDP на плоскости MAB и найдём точку B1=SPMB.  Таким образом, в сечении мы получаем четырёхугольник CDPB1. 2) В плоскости CDP  через точку P проведём прямую  m//CD и найдём точку F=m B1C.  Прямая  PF является искомой прямой.

Задача 2.    На ребре AB призмы ABCDA1B1C1D1  взята точка E. Построить прямую, параллельную прямой  DE  и проходящую через точку P, взятую на ребре  BB1. (Фронтальная самостоятельная работа  по готовым чертежам с проверкой на экране).

2.Задание на построение прямой, параллельной данной плоскости.

Задача 1.   На рёбрах  AB и  AC  пирамиды MABC  взяты соответственно точки P и  Q. Построить сечение пирамиды плоскостью,  проходящей  через прямую  PQ  параллельно прямой  MA. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Задача 2.  Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через прямую PQ  параллельно другой заданной прямой: а) МА; б) МВ; в) АС. (Фронтальная самостоятельная работа  по готовым чертежам с проверкой на экране).

3.Задание  на построение сечения, параллельного данной плоскости.

Задача1.  На рёбрах АВ,  ВС и ВВ1 призмы АВСДА1В1С1Д1 взяты соответственно точки  P, Q и R. Построить сечения призмы следующими плоскостями, параллельными плоскости  PQR :

1) плоскостью,  проходящей через точку К1, взятую на ребре АВ;

2) плоскостью, проходящей через точку К2, взятую на ребре АД. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Задача 2.  Постройте сечения заданной пирамиды плоскостями, проходящими через заданную точку К параллельно заданной плоскости.

  1. Итог урока.

Задача из дидактического материала  (Б.Г.Зив).  Вариант 5.

Дан куб АВСДА1В1С1Д1, ребро которого равно 8 см. Точки Р, М и Т соответственно середины рёбер А1 В1, С1С и АД. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р, М и Т и найдите площадь сечения.

Дополнительные вопросы:

Все ли сечения построены  верно?

Домашнее задание:  № 84, № 86.

Просмотр содержимого документа
«Открытый урок: " Построение сечений многогранников" »



СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………….


2

Гл. I. Построение сечений многогранников на основе системы аксиом стереометрии…………………………………………………….

3


Гл. II. Метод следов в построении плоских сечений многогранников……………………………………………………………………..

10

Гл. III. Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников……………………………………………………

14

Гл. IV. Комбинированный метод в построении плоских сечений многогранников……………………………………………….


16

Заключение…………………………………………………………….

18

Список литературы……………………………………………………

19










































В школы и вузы внедрена новая форма аттестации, и, следовательно, необходимо готовиться к ней. В них представлены задачи по геометрии по следующим характеристикам: уметь решать текстовую задачу, составляя математическую модель, предложенной в ней ситуации, уметь решать стереометрические задачи, уметь решать планиметрические задачи, уметь решать стереометрическую задачу на комбинацию геометрических тел. Так последнее содержит задание высокого уровня сложности и рассчитано на учащихся, планирующих в будущем связать свою профессиональную деятельность с углубленным изучением математики. Поэтому я хочу представить решение нескольких задач такого типа.

Мы строили плоские сечения многогран­ников лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффек­тивными в школьном курсе геометрии яв­ляются следующие три метода:

  1. метод следов;

  2. метод внутреннего проектирования;

3)комбинированный метод.
Рассмотрим каждый из них на приме­рах.


Актуальность работы:

Недостаточно специальной литературы, с помощью которой учащиеся могли бы решать задачи на построение сечений многогранников.


Новизна:

Систематизация основных теоретических знаний и классификация задач, включенных в ЕГЭ по геометрии на построение сечений.


Цель работы:

Проанализировать решение задач на построение сечений несколькими методами;


Задачи:

1. Сделать подборку задач, предлагаемых различными центрами творческого образования в последние годы и проанализировать их решение;

2. Систематизировать задачи, привести их решения;

3. Выделить теоретические разделы математики, которые используются при решении данных заданий;

Методы работы: теоретический и практический анализ.












Построение сечений многогранников

на основе системы аксиом

стереометрии.


Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер-отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точ­ке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольни­ка служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрез­ки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомо­го сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с реб­рами многогранника. Затем последовательно со­единить отрезками эти точки, при этом выделить сплошными линиями, видимые и штриховыми - невидимые стороны полученного многоугольни­ка - сечения (рис. 1-4).

Секущая плоскость α может быть задана: тре­мя точками, не лежащими на одной прямой; пря­мой и не принадлежащей ей точкой; другими ус­ловиями, определяющими ее положение относи­тельно данного многогранника. Например, на рис. 1 построено сечение четырехугольной пирамиды РАВСD плоскостью α, заданной точками М, К и Н, принадлежащими ребрам соответственно РС, РD и РВ; на рис. 2 секущая плоскость за­дана точками М, N и L, принадлежащими ребрам соответственно АА1, В1С1 и АD куба

Рис. 3

АВСDА1B1C1D1; на рис. 3 секущая плоскость про­ходит через вершину А основания АВСD пер­пендикулярно ребру РС правильной четырех­угольной пирамиды РАВСD, высота РО которой образует угол в 30° с боковым ребром; на рис. 4 построено сечение куба АВСВА1В1С1В1 плоскостью, проходящей через его центр М перпенди­кулярно диагонали А1С.




D1 H С1



Рис. 4


Эти сечения построены разными методами. Причем в двух первых случаях точки, определяю­щие секущую плоскость, могут быть любыми на ребрах многогранника, поэтому и секущая плос­кость определена неоднозначно; в каждом из двух последних случаев секущая плоскость определя­ется однозначно метрическими свойствами мно­гогранника и условиями расположения этой плос­кости относительно данного многогранника. Но тем не менее во всех четырех случаях сечение каждого из многогранников строится по опреде­ленным правилам, с учетом аксиом стереометрии, аффинных и метрических свойств данного мно­гогранника.


Примеры решения задач, используя аксиомы стереометрии.

Задача 1. Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н— внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 5, а).


Решение. 1-й шаг. Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плос­кость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК — одна из сто­рон искомого сечения (рис. 5, б).

2-й шаг. Аналогично, отрезок КН — другая сто­рона искомого сечения (рис. 5, в).

3-й шаг. Точки М и Н не лежат одновремен­но ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэто­му отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плос­кости грани АВР и пересекаются. Построим точ­ку T= КН ∩АР (рис. 5, г).

Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пе­ресечения двух плоскостей плоскость α и плос­кость АРС пересекаются по прямой МТ, кото­рая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 5, д).

4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1, устанав­ливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение — четырехуголь­ник MKHR (рис.5,е).


Р


Рис. 6

Задача 2. Постройте сечение пирамиды MABCD плоскостью α = (КНР), где K, H и P — внутренние точки ребер соответственно МА, МВ и MD (рис. 6, а).

Решение. Первые два шага аналогичны ша­гам 1 и 2 предыдущей задачи. В результате полу­чим стороны КР и КН (рис. 6, б) искомого сечения. Построим остальные вершины и сторо­ны многоугольника — сечения.

3-й шаг. Продолжим отрезок КР до пересече­ния с прямой AD в точке F(рис. 6, в). Так как прямая КР лежит в секущей плоскости α, то точка F= КР ∩ AD = КР ∩ (АВС) является общей для плоскостей α и АВС.

4-й шаг. Продолжим отрезок КН до пересече­ния с прямой АВ в точке L (рис. 6, г). Так как прямая КН лежит в секущей плоскости α, то точка L = КН ∩ АВ = КН ∩ (АВС) является об­щей для плоскостей α и АВС.

Таким образом, точки F и L являются общи­ми для плоскостей α и АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость АВС основа­ния пирамиды по прямой FL.

5-й шаг. Проведем прямую FL. Эта прямая пересекает ребра ВС и DС соответственно в точках R и T (рис. 6, д), которые служат верши­нами искомого сечения. Значит, плоскость α пе­ресекает грань основания ABCD по отрезку RT - стороне искомого сечения.

6-й шаг. Теперь проводим отрезки RH и РТ (рис. 6, е), по которым плоскость α пересекает грани ВМС и MCD данной пирамиды. Получа­ем пятиугольник РКНRТ - искомое сечение пи­рамиды MABCD (рис. 6, е).


Рассмотрим более сложную задачу.

Задача 3. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 7, а).

Решение. Прямые (QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плос­кости) и пересекаются в некоторой точке T1, (рис. 7,б), при этом T1 є α, так как QК є α .

Прямая РR пересекает DE в некоторой точ­ке F (рис. 7, в), которая является точкой пере­сечения плоскости АРR и стороны DE осно­вания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в неко­торой точке Т2 (рис. 7, г), при этом Т2 є α , как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).

Получили: прямая Т1 Т2 лежит в секущей плос­кости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом пря­мая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 7, д), которые являются точками пересе­чения плоскости α с ребрами DE и АЕ пира­миды и служат вершинами искомого сечения.

Далее, прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме пря­мой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н — еще одной вершине ис­комого сечения (рис. 7, е).

Далее, построим точку Т3 - Т1Т2 ∩ АВ (рис. 7, ж), которая, как точка прямой Т1Т2 є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т3 и К секущей плоскости α, значит, прямая Т3К — прямая пересечения этих плоско­стей. Прямая Т3К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 7, з), которая служит очередной верши­ной искомого сечения.







Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:

1. Т1 = QK ∩АС; 2. F = PR ∩ DE;

3. Т2 = KR ∩ AF; 4. М = Т1Т2 ∩ DE;

5. N = Т1Т2 ∩ АЕ; 6. Н = MR ∩ PD;

7. T3 = Т1Т2 ∩ АВ; 8. L = T3K ∩ PB.

Шестиугольник MNKLQH - искомое сече­ние.

Замечание. Сечение пирамиды на рис. 1 и се­чение куба на рис. 2 построены на основании лишь аксиом стереометрии.

Вместе с тем сечение многогранника, имеюще­го параллельные грани (призма, параллелепипед, куб), можно строить, используя свойства парал­лельных плоскостей.

Например, рассмотрим следующую задачу.

Задача 4. Точки M, P и R расположены на ребрах параллелепипеда (рис. 8). Пользуясь свой­ствами параллельных прямых и плоскостей, по­стройте сечение этого параллелепипеда плоско­стью MPR.

Решение. Пусть точки M, P и R располо­жены на ребрах соответственно DD1, ВВ1 и СС1 1 параллелепипеда АВСВА1В1С1В1 (рис. 8, а).

Обозначим: (MPR) = α - секущая плоскость. Проводим отрезки MR и PR (рис. 8, б), по которым плоскость α пересекает соответственно грани СС1D1D и ВВ1С1С данного параллелепипе­да. Отрезки MR и PR - стороны искомого сечения. Далее используем теоремы о пересече­нии двух параллельных плоскостей третьей.

Так как грань АА1В1В параллельна грани СС1D1D, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА1В1В должна быть парал­лельна прямой MR. Поэтому проводим отрезок PQ || MR, Q є АВ (рис. 8, в); отрезок РQ - сле­дующая сторона искомого сечения. Аналогично, так как грань АА1D1D параллельна грани СС1В1В, то прямая пересечения плоскости α с плоско­стью грани АА1D1D должна быть параллельна прямой PR. Поэтому проводим отрезок МН || PR, H є AD (рис. 8, в); отрезок МН - еще одна сторона искомого сечения. На ребрах АВ и AD гра­ни АВСD построили точки Q є АВ и H є AD, которые являются вершинами искомого сечения. Проводим отрезок QH (рис. 8, г) и получаем пя­тиугольник MRPQH - искомое сечение паралле­лепипеда. Штриховыми линиями проводим неви­димые стороны MR, RP и QH этого сечения.

Замечание. При построении сечения куба на рис. 4 использованы параллельность противопо­ложных граней куба, а также параллельность се­кущей плоскости и плоскости ВС1D.





Рис. 8




















Гл. II. Метод следов в построении плоских сечений многогранников.



Определение.

Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каж­дой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Имен­но это свойство следа используют при по­строении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости, удобно использовать такие прямые, ко­торые пересекают ребра многогранника.

Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей по­верхности призмы (пирамиды).

Задача 1. Построить сечение призмы АВСВЕА1В1С1D1Е1 плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основа­ния призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD1.

Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 9). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) — точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС1, ВB1, АА1, ЕЕ1 данной призмы.

Е1 D1

Рис. 9


Для построения точки N =α ∩ СС1 до­статочно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD1C1. Для этого, в свою очередь, доста­точно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку?

Так как прямая l лежит в плоскости осно­вания призмы, то она может пересекать пло­скость грани СDD1C1 лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD1) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD1) принад­лежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС1 достаточно построить точку X = l ∩ СD.

Аналогично, для построения точек Р= α ∩ ВВ1, Q = α ∩ АА1 и R = α ∩ ЕЕ1 достаточно построить соответственно точ­ки: У = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и Т =1 ∩ АЕ. Отсюда

Построение. Строим (рис. 10):

  1. X = l ∩ СD (рис. 10, б);

  2. N = МХ ∩ СС1 (рис. 10, в);

  3. У = l ∩ ВС (рис. 10, г);

  4. Р = NY ∩ ВВ1 (рис. 10, д);

  5. Z = 1 ∩ АВ (рис. 10, е);

  6. Q= РZ ∩ АА1 (рис. 10, ж);

  1. T= l ∩ АЕ (рис. 10, з);

  2. R= QT ∩ ЕЕ1 (рис. 10, и).


Пятиугольник MNPQR — искомое сече­ние (рис. 10, к).

Доказательство. Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости.

Поэтому имеем:

М є α , X є α = МХ є α, тогда МХ ∩ СС1 = N є α , значит, N = α ∩ СС1;

N є α, Y є α = NY є α, тогда NY ∩ ВВ1= Р є α, значит, Р = α ∩ ВВ1;

Р є α, Z є α = РZ є α, тогда PZ ∩ AА1 = Q є α, значит, Q = α ∩ АA1;

Q є α, T є α = QТ є α, тогда QТ ∩ EЕ1 =R є α, значит, R = α ∩ ЕЕ1.


Следовательно, MNPQR - искомое се­чение.




















Исследование. След l секущей плоско­сти α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадле­жит боковому ребру DD1 призмы. Поэто­му секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точкиN, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не при­надлежит следу l, то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет (всегда!) единственное ре­шение. Рис. 10


Задача 2. Постройте сечение пятиуголь­ной пирамиды PABCDE плоскостью, ко­торая задана следом l и внутренней точ­кой К ребра РЕ.

Решение. Схематически построение искомого сечения можно изобразить так (рис. 11): T1 → Q → Т2 → R → Т3 → М → Т4 → N.

Пятиугольник MNKQR — искомое се­чение.

«Цепочка» последовательности построе­ния вершин сечения такова:

1. Т1= l ∩ АЕ; 2. Q = Т1К ∩ РА;

3. Т2 = l ∩ АВ; 4. R = Т2Q ∩ РВ;

5. Т3 = l ∩ ВС; 6. М - T3R ∩ РС;

7. Т4 = l ∩ СD; 8. N = Т4М ∩ РD.

Однако секущая плоскость часто за­дается тремя точками, принадлежащими многограннику.

В таком случае для построения искомо­го сечения методом следов сначала строят след секущей плоскости в плоскости осно­вания данного многогранника.

Рис. 11


Задача 3. Постройте сечение призмы АВСDЕА1В1С1D1Е1 плоскостью α= (МРR), где М, Р и R являются внутренними точками соответственно ребер АА1, СС1 и ЕЕ1 (рис. 12).

Решение. Построим след секущей плоскости α в плоскости основания АВС данной призмы. Для построения этого следа достаточно построить две любые его точки. Такими точками являются точки пересечения плоскости основания данного многогранника с прямыми, лежащими в секущей плоскости.




Е1 D1










Рис. 12


Прямая МR лежит в секущей плоско­сти α = (МРR),а прямая АЕ - в плоско­сти АВС основания данной призмы, при этом эти прямые лежат в одной плоскости (плоскости грани АЕЕ1А1) и пересекают­ся. Точка T1 = МR ∩ АЕ является одной из точек следа плоскости α в плоскости основания призмы. Аналогично, точка Т2 = РR ∩ СЕ является второй точкой это­го следа. Тогда прямая Т1Т2 = l - след секущей плоскости в плоскости основания призмы. Далее строим точки: 1) Т3 = l ∩ АВ; 2) N = Т3М ∩ ВВ1; 3) Т4 = l ∩ВD; 4) Q = Т4N ∩ DD1. Со­единив отрезками последовательно точки М, N, Р, Q и R, получаем пятиуголь­ник MNPQR - искомое сечение данной призмы, выделив его невидимые стороны штриховыми линиями.

Аналогично строится сечение пирамиды плоскостью, заданной тремя точками.



















Гл. III. Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников.


В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников, ко­торый мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проекти­рования или методом соответствий, или методом диагональных сечений. Мы при­мем первое название.

Задача 1. Постройте сечение пирами­ды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ (рис. 26, а).

Решение. Плоскость основания пирами­ды обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения секу­щей плоскости α с ребрами пирамиды.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пира­миды.

Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К (рис. 26, в). Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К1: К1 = РК ∩ FR (рис. 26, г), при этом К1 є α. Тогда: М є α, К1 є α = прямая МK є а. Поэ­тому точка Q = МК1 ∩ РD (рис. 26, д) есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q— вер­шина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по пря­мым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н (рис. 26, е). Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н1 (рис. 26, ж). Тогда прямая RН1 пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ — вершине сечения (рис. 26, з).

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения та­кова:

1. К = АD ∩ ЕС; 2. К1 = РК ∩ RF;

3. Q = МК1 ∩ РD; 4. H = BE ∩ АD;

5. Н1 = РН ∩ МQ; 6. N = RН1 ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR — искомое се­чение (рис. 26, и).

Динамика построения этого сечения пи­рамиды проиллюстрирована на рис. 26.




















Е



E



В



Е
















Задача 2. Постройте сечение призмы АВСDEА1В1С1D1Е1, плоскостью α, задан­ной точками М є ВВ1, Р є DD1, Q є ЕЕ1 (рис. 27).

Решение. Обозначим: β — плоскость нижнего основания призмы. Для построения искомого сечения построим точки пересече­ния плоскости α = (МРQ) с ребрами призмы.

Построим точку пересечения плоскости α с ребром АА1.



Плоскости А1АD и ВЕЕ1 пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и ВЕ, которые пересекаются в неко­торой точке К. Так как плоскости А1АD и ВЕЕ1 проходят через параллельные ре­бра АА1 и ВВ1 призмы и имеют общую точку К, то прямая КК1 их пересечения проходит через точку К и параллельна ре­бру ВВ1. Точку пересечения этой прямой с прямой QМ обозначим: К1= КК1 ∩ QМ, КК1 ║ ВВ1. Так как QM є α, то К1 є α.

Е1










Рис. 27







Получили: Р є α , К1 є α = прямая РК1 є α, при этом РК1 ∩ АА1 = R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра АА1 (R = α ∩ АА1), поэтому является вершиной искомого сечения.

Аналогично строим точку N = α ∩ СС1.

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения та­кова:

  1. К = АD ∩ ВЕ;

  2. К1 = КК1 ∩ MQ, КК1 || ВВ1;

  3. R = РК1 ∩ АА1;

  4. Н = ЕС ∩АD;

  5. H1 – HH1 ∩ РR, НН1 || СС1;

  6. N = QН1 ∩ СС1.

Пятиугольник MNPQR— искомое сечение.


Гл. IV. Комбинированный метод в построении плоских сечений многогранников.


Сущность комбинированного метода по­строения сечений многогранников состоит в следующем. На некоторых этапах по­строения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проекти­рования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендику­лярности прямых и плоскостей.

Для иллюстрации применения этого ме­тода рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. Постройте сечение паралле­лепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью α, заданной точками Р, Q и R, если точка Р лежит на диагонали А1C1, точка Q-на ребре ВВ1 и точка R - на ребре DD1 (рис. 28).

Рис. 28



Решение, а) Решим эту задачу с при­менением метода следов и теорем о парал­лельности прямых и плоскостей.












Прежде всего, построим след секущей плоскости α = (РQR) на плоскости АВС Для этого строим точки Т1 = РQ ∩ Р1В (где PP1 ║AA1,P1є AC) и T2 = RQ ∩ ВD. По­строив след Т1Т2, замечаем, что точка Р лежит в плоскости А1B1C1, которая парал­лельна плоскости АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость А1B1C1 по прямой, проходящей через точку Р и параллельной прямой Т1Т2. Проведем эту прямую и обозначим через М и Е точки ее пересечения с ребрами соответственно А1B1 и А1D1 Получаем: М = α ∩ А1B1, Е =α∩ А1D1. Тогда отрезки ЕR и QМ являются сторонами искомого сечения.

Далее, так как плоскость ВСС1 парал­лельна плоскости грани ADD1A1, то пло­скость α пересекает грань ВСC1B1 по от резку QF (F= α ∩ СС1), параллельному прямой ЕR. Таким образом, пятиуголь­ник ERFQM - искомое сечение. (Точку F можно получить, проведя RF║ MQ)

б) Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей.

Рис. 29


Пусть Н=АС ∩ ВD (рис. 29). Прове­дя прямую НН1 параллельно ребру ВВ1 1 є RQ), построим точку F: F=РН1 ∩ CC1.Tочка F является точкой пересечения пло­скости α с ребром СС1, так как РН1 є α. Тогда отрезки RF и QF, по которым пло­скость α пересекает соответственно грани CС1D1D и ВСС1В1 данного параллелепипеда, являются сторонами его искомого сечения.

Так как плоскость АВВ1 параллельна плоскости CDD1, то пересечением плоско­сти α и грани АВВ1А1 является отрезок QМ (М є А1В1), параллельный отрезку FR; отрезок QМ - сторона сечения. Далее точка Е = МР ∩ А1D1 является точкой пересечения плоскости α и ребра А1D1, так как МР є α. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. (Точку Е можно по­строить, проведя прямую RЕ ║ FQ. Тогда М = РЕ ∩ А1B1).






Заключение


Выявлена тенденция практической направленности заданий для разностороннего развития учащихся, где происходит:

  1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям;

  2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу;

  3. Развитие математических способностей и мышления у учащихся;

  4. Развитие учащихся самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой;

  5. Развитие исследовательских навыков.

Данная работа может быть использована учащимися средних и старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах и для самообразования молодых учителей. Выпускники средних школ должны не только овладеть материалом школьных программ, но и уметь творчески применять его, находить решение любой проблемы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 20012.

  2. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 20012.

3. Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»,2012,№2/№3,1-64.


5




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 10 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Открытый урок: " Построение сечений многогранников"

Автор: Хоружая Наталья Александровна

Дата: 14.05.2015

Номер свидетельства: 211531

ПОЛУЧИТЕ БЕСПЛАТНО!!!
Личный сайт учителя
Получите в подарок сайт учителя


Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства