Открытый урок: " Построение сечений многогранников"

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №76»

Открытый урок

 по геометрии в 10 классе

на тему:

«Построение сечений многогранников

 с использованием свойств параллельности

прямых и плоскостей в пространстве»

Учитель: Хоружая Наталья Александровна

г. Ростов-на-Дону

2014 – 2015 учебный год

Тема урока:

«Построение сечений многогранников с    использованием свойств параллельности прямых и плоскостей в пространстве».

Цель урока:    развитие пространственных представлений учащихся при изучении стереометрии.

Задачи урока:

1. Практическое применение теоретических знаний по теме «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве» при построении сечений многогранников.
2. Отработка использования современных информационных технологий в обучении старшеклассников.
3. Активизация познавательной деятельности учащихся.

Программно - методическое обеспечение урока:

•  Учебник для общеобразовательных учреждений «Геометрия 10 -11», Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселёва, Э.Г.Поздняк, Москва, Просвещение, 2013.
• Дидактические материалы по геометрии для 10 класса, Б.Г.Зив.
• Проектор «Overhead» с набором слайдов по стереометрии.
• Мультимедийная установка для показа презентаций по теме урока, экран.
• Модели многогранников и наглядные таблицы с сечениями многогранников.
• Раздаточный материал для выполнения практических заданий.

Ход урока

1. Повторение теоретического материала с использованием подготовленной презентации (фронтальный опрос):

1. Аксиомы стереометрии и следствия из них.
2. Параллельные прямые в пространстве (определение, лемма, теорема о трёх параллельных прямых).
3. Параллельность прямой и плоскости (определение, признак, свойства).
4. Скрещивающиеся прямые  (определение, признак, теорема о плоскости, параллельной одной из скрещивающихся прямых, проходящей через другую прямую).
5. Параллельность плоскостей (определение, признак, свойства).

1. Подготовительная часть к практическому построению (индивидуальная работа у доски).

Задача.   Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N и K лежат соответственно на рёбрах  BB1, AA1, AD  (CC1,  AD,BB1).

Множество общих точек секущей плоскости и грани выпуклого многогранника называется следом секущей плоскости на этой грани.

Многоугольник, сторонами которого является совокупность следов секущей плоскости на гранях многогранника, называется сечением многогранника.

1. Построение сечений.

1. Задание на построение  прямой,  параллельной данной прямой.

Задача 1.    Построить  прямую, параллельную  прямой  CD и проходящую через точку P, взятую на ребре  MA  пирамиды  MABCD. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Решение.     1) Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку P и прямую CD. Для этого найдём точку S=CD∩AB, затем проведём прямую SP – след плоскости CDP на плоскости MAB и найдём точку B1=SP∩MB.  Таким образом, в сечении мы получаем четырёхугольник CDPB1. 2) В плоскости CDP  через точку P проведём прямую  m//CD и найдём точку F=m ∩ B1C.  Прямая  PF является искомой прямой.

Задача 2.    На ребре AB призмы ABCDA1B1C1D1  взята точка E. Построить прямую, параллельную прямой  DE  и проходящую через точку P, взятую на ребре  BB1. (Фронтальная самостоятельная работа  по готовым чертежам с проверкой на экране).

2.Задание на построение прямой, параллельной данной плоскости.

Задача 1.   На рёбрах  AB и  AC  пирамиды MABC  взяты соответственно точки P и  Q. Построить сечение пирамиды плоскостью,  проходящей  через прямую  PQ  параллельно прямой  MA. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Задача 2.  Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через прямую PQ  параллельно другой заданной прямой: а) МА; б) МВ; в) АС. (Фронтальная самостоятельная работа  по готовым чертежам с проверкой на экране).

3.Задание  на построение сечения, параллельного данной плоскости.

Задача1.  На рёбрах АВ,  ВС и ВВ1 призмы АВСДА1В1С1Д1 взяты соответственно точки  P, Q и R. Построить сечения призмы следующими плоскостями, параллельными плоскости  PQR :

1) плоскостью,  проходящей через точку К1, взятую на ребре АВ;

2) плоскостью, проходящей через точку К2, взятую на ребре АД. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Задача 2.  Постройте сечения заданной пирамиды плоскостями, проходящими через заданную точку К параллельно заданной плоскости.

1. Итог урока.

Задача из дидактического материала  (Б.Г.Зив).  Вариант 5.

Дан куб АВСДА1В1С1Д1, ребро которого равно 8 см. Точки Р, М и Т соответственно середины рёбер А1 В1, С1С и АД. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р, М и Т и найдите площадь сечения.

Дополнительные вопросы:

Все ли сечения построены  верно?

Домашнее задание:  № 84, № 86.

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №76»

Открытый урок

 по геометрии в 10 классе

на тему:

«Построение сечений многогранников

 с использованием свойств параллельности

прямых и плоскостей в пространстве»

Учитель: Хоружая Наталья Александровна

г. Ростов-на-Дону

2014 – 2015 учебный год

Тема урока:

«Построение сечений многогранников с    использованием свойств параллельности прямых и плоскостей в пространстве».

Цель урока:    развитие пространственных представлений учащихся при изучении стереометрии.

Задачи урока:

1. Практическое применение теоретических знаний по теме «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве» при построении сечений многогранников.
2. Отработка использования современных информационных технологий в обучении старшеклассников.
3. Активизация познавательной деятельности учащихся.

Программно - методическое обеспечение урока:

•  Учебник для общеобразовательных учреждений «Геометрия 10 -11», Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселёва, Э.Г.Поздняк, Москва, Просвещение, 2013.
• Дидактические материалы по геометрии для 10 класса, Б.Г.Зив.
• Проектор «Overhead» с набором слайдов по стереометрии.
• Мультимедийная установка для показа презентаций по теме урока, экран.
• Модели многогранников и наглядные таблицы с сечениями многогранников.
• Раздаточный материал для выполнения практических заданий.

Ход урока

1. Повторение теоретического материала с использованием подготовленной презентации (фронтальный опрос):

1. Аксиомы стереометрии и следствия из них.
2. Параллельные прямые в пространстве (определение, лемма, теорема о трёх параллельных прямых).
3. Параллельность прямой и плоскости (определение, признак, свойства).
4. Скрещивающиеся прямые  (определение, признак, теорема о плоскости, параллельной одной из скрещивающихся прямых, проходящей через другую прямую).
5. Параллельность плоскостей (определение, признак, свойства).

1. Подготовительная часть к практическому построению (индивидуальная работа у доски).

Задача.   Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N и K лежат соответственно на рёбрах  BB1, AA1, AD  (CC1,  AD,BB1).

Множество общих точек секущей плоскости и грани выпуклого многогранника называется следом секущей плоскости на этой грани.

Многоугольник, сторонами которого является совокупность следов секущей плоскости на гранях многогранника, называется сечением многогранника.

1. Построение сечений.

1. Задание на построение  прямой,  параллельной данной прямой.

Задача 1.    Построить  прямую, параллельную  прямой  CD и проходящую через точку P, взятую на ребре  MA  пирамиды  MABCD. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Решение.     1) Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку P и прямую CD. Для этого найдём точку S=CD∩AB, затем проведём прямую SP – след плоскости CDP на плоскости MAB и найдём точку B1=SP∩MB.  Таким образом, в сечении мы получаем четырёхугольник CDPB1. 2) В плоскости CDP  через точку P проведём прямую  m//CD и найдём точку F=m ∩ B1C.  Прямая  PF является искомой прямой.

Задача 2.    На ребре AB призмы ABCDA1B1C1D1  взята точка E. Построить прямую, параллельную прямой  DE  и проходящую через точку P, взятую на ребре  BB1. (Фронтальная самостоятельная работа  по готовым чертежам с проверкой на экране).

2.Задание на построение прямой, параллельной данной плоскости.

Задача 1.   На рёбрах  AB и  AC  пирамиды MABC  взяты соответственно точки P и  Q. Построить сечение пирамиды плоскостью,  проходящей  через прямую  PQ  параллельно прямой  MA. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Задача 2.  Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через прямую PQ  параллельно другой заданной прямой: а) МА; б) МВ; в) АС. (Фронтальная самостоятельная работа  по готовым чертежам с проверкой на экране).

3.Задание  на построение сечения, параллельного данной плоскости.

Задача1.  На рёбрах АВ,  ВС и ВВ1 призмы АВСДА1В1С1Д1 взяты соответственно точки  P, Q и R. Построить сечения призмы следующими плоскостями, параллельными плоскости  PQR :

1) плоскостью,  проходящей через точку К1, взятую на ребре АВ;

2) плоскостью, проходящей через точку К2, взятую на ребре АД. (Индивидуальная работа у доски с подробным объяснением)

Задача 2.  Постройте сечения заданной пирамиды плоскостями, проходящими через заданную точку К параллельно заданной плоскости.

1. Итог урока.

Задача из дидактического материала  (Б.Г.Зив).  Вариант 5.

Дан куб АВСДА1В1С1Д1, ребро которого равно 8 см. Точки Р, М и Т соответственно середины рёбер А1 В1, С1С и АД. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р, М и Т и найдите площадь сечения.

Дополнительные вопросы:

Все ли сечения построены  верно?

Домашнее задание:  № 84, № 86.