Открытый урок: " Построение сечений многогранников"

СОДЕРЖАНИЕ

	Введение……………………………………………………………….	2
	Гл. I. Построение сечений многогранников на основе системы аксиом стереометрии…………………………………………………….	3
	Гл. II. Метод следов в построении плоских сечений многогранников……………………………………………………………………..	10
	Гл. III. Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников……………………………………………………	14
	Гл. IV. Комбинированный метод в построении плоских сечений многогранников……………………………………………….	16
	Заключение…………………………………………………………….	18
	Список литературы……………………………………………………	19

В школы и вузы внедрена новая форма аттестации, и, следовательно, необходимо готовиться к ней. В них представлены задачи по геометрии по следующим характеристикам: уметь решать текстовую задачу, составляя математическую модель, предложенной в ней ситуации, уметь решать стереометрические задачи, уметь решать планиметрические задачи, уметь решать стереометрическую задачу на комбинацию геометрических тел. Так последнее содержит задание высокого уровня сложности и рассчитано на учащихся, планирующих в будущем связать свою профессиональную деятельность с углубленным изучением математики. Поэтому я хочу представить решение нескольких задач такого типа.

Мы строили плоские сечения многогран­ников лишь на основании аксиом и теорем стереометрии. Вместе с тем существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффек­тивными в школьном курсе геометрии яв­ляются следующие три метода:

1. метод следов;

2. метод внутреннего проектирования;

3)комбинированный метод.
Рассмотрим каждый из них на приме­рах.

Актуальность работы:

Недостаточно специальной литературы, с помощью которой учащиеся могли бы решать задачи на построение сечений многогранников.

Новизна:

Систематизация основных теоретических знаний и классификация задач, включенных в ЕГЭ по геометрии на построение сечений.

Цель работы:

Проанализировать решение задач на построение сечений несколькими методами;

Задачи:

1. Сделать подборку задач, предлагаемых различными центрами творческого образования в последние годы и проанализировать их решение;

2. Систематизировать задачи, привести их решения;

3. Выделить теоретические разделы математики, которые используются при решении данных заданий;

Методы работы: теоретический и практический анализ.

Построение сечений многогранников

на основе системы аксиом

стереометрии.

Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер-отрезков и граней - плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точ­ке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольни­ка служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрез­ки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомо­го сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с реб­рами многогранника. Затем последовательно со­единить отрезками эти точки, при этом выделить сплошными линиями, видимые и штриховыми - невидимые стороны полученного многоугольни­ка - сечения (рис. 1-4).

Секущая плоскость α может быть задана: тре­мя точками, не лежащими на одной прямой; пря­мой и не принадлежащей ей точкой; другими ус­ловиями, определяющими ее положение относи­тельно данного многогранника. Например, на рис. 1 построено сечение четырехугольной пирамиды РАВСD плоскостью α, заданной точками М, К и Н, принадлежащими ребрам соответственно РС, РD и РВ; на рис. 2 секущая плоскость за­дана точками М, N и L, принадлежащими ребрам соответственно АА₁, В₁С₁ и АD куба

Рис. 3

АВСDА₁B₁C₁D₁; на рис. 3 секущая плоскость про­ходит через вершину А основания АВСD пер­пендикулярно ребру РС правильной четырех­угольной пирамиды РАВСD, высота РО которой образует угол в 30° с боковым ребром; на рис. 4 построено сечение куба АВСВА₁В₁С₁В₁ плоскостью, проходящей через его центр М перпенди­кулярно диагонали А₁С.

D₁ H С₁

Рис. 4

Эти сечения построены разными методами. Причем в двух первых случаях точки, определяю­щие секущую плоскость, могут быть любыми на ребрах многогранника, поэтому и секущая плос­кость определена неоднозначно; в каждом из двух последних случаев секущая плоскость определя­ется однозначно метрическими свойствами мно­гогранника и условиями расположения этой плос­кости относительно данного многогранника. Но тем не менее во всех четырех случаях сечение каждого из многогранников строится по опреде­ленным правилам, с учетом аксиом стереометрии, аффинных и метрических свойств данного мно­гогранника.

Примеры решения задач, используя аксиомы стереометрии.

Задача 1. Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н— внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 5, а).

Решение. 1-й шаг. Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плос­кость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК — одна из сто­рон искомого сечения (рис. 5, б).

2-й шаг. Аналогично, отрезок КН — другая сто­рона искомого сечения (рис. 5, в).

3-й шаг. Точки М и Н не лежат одновремен­но ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэто­му отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плос­кости грани АВР и пересекаются. Построим точ­ку T= КН ∩АР (рис. 5, г).

Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пе­ресечения двух плоскостей плоскость α и плос­кость АРС пересекаются по прямой МТ, кото­рая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 5, д).

4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1, устанав­ливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение — четырехуголь­ник MKHR (рис.5,е).

■ Р

Рис. 6

Задача 2. Постройте сечение пирамиды MABCD плоскостью α = (КНР), где K, H и P — внутренние точки ребер соответственно МА, МВ и MD (рис. 6, а).

Решение. Первые два шага аналогичны ша­гам 1 и 2 предыдущей задачи. В результате полу­чим стороны КР и КН (рис. 6, б) искомого сечения. Построим остальные вершины и сторо­ны многоугольника — сечения.

3-й шаг. Продолжим отрезок КР до пересече­ния с прямой AD в точке F(рис. 6, в). Так как прямая КР лежит в секущей плоскости α, то точка F= КР ∩ AD = КР ∩ (АВС) является общей для плоскостей α и АВС.

4-й шаг. Продолжим отрезок КН до пересече­ния с прямой АВ в точке L (рис. 6, г). Так как прямая КН лежит в секущей плоскости α, то точка L = КН ∩ АВ = КН ∩ (АВС) является об­щей для плоскостей α и АВС.

Таким образом, точки F и L являются общи­ми для плоскостей α и АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость АВС основа­ния пирамиды по прямой FL.

5-й шаг. Проведем прямую FL. Эта прямая пересекает ребра ВС и DС соответственно в точках R и T (рис. 6, д), которые служат верши­нами искомого сечения. Значит, плоскость α пе­ресекает грань основания ABCD по отрезку RT - стороне искомого сечения.

6-й шаг. Теперь проводим отрезки RH и РТ (рис. 6, е), по которым плоскость α пересекает грани ВМС и MCD данной пирамиды. Получа­ем пятиугольник РКНRТ - искомое сечение пи­рамиды MABCD (рис. 6, е).

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача 3. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 7, а).

Решение. Прямые (QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плос­кости) и пересекаются в некоторой точке T₁, (рис. 7,б), при этом T₁ є α, так как QК є α .

Прямая РR пересекает DE в некоторой точ­ке F (рис. 7, в), которая является точкой пере­сечения плоскости АРR и стороны DE осно­вания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в неко­торой точке Т₂ (рис. 7, г), при этом Т₂ є α , как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).

Получили: прямая Т₁ Т₂ лежит в секущей плос­кости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом пря­мая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 7, д), которые являются точками пересе­чения плоскости α с ребрами DE и АЕ пира­миды и служат вершинами искомого сечения.

Далее, прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме пря­мой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н — еще одной вершине ис­комого сечения (рис. 7, е).

Далее, построим точку Т₃ - Т₁Т₂ ∩ АВ (рис. 7, ж), которая, как точка прямой Т₁Т₂ є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т₃ и К секущей плоскости α, значит, прямая Т₃К — прямая пересечения этих плоско­стей. Прямая Т₃К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 7, з), которая служит очередной верши­ной искомого сечения.

Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:

1. Т₁ = QK ∩АС; 2. F = PR ∩ DE;

3. Т₂ = KR ∩ AF; 4. М = Т₁Т₂ ∩ DE;

5. N = Т₁Т₂ ∩ АЕ; 6. Н = MR ∩ PD;

7. T₃ = Т₁Т₂ ∩ АВ; 8. L = T₃K ∩ PB.

Шестиугольник MNKLQH - искомое сече­ние.

Замечание. Сечение пирамиды на рис. 1 и се­чение куба на рис. 2 построены на основании лишь аксиом стереометрии.

Вместе с тем сечение многогранника, имеюще­го параллельные грани (призма, параллелепипед, куб), можно строить, используя свойства парал­лельных плоскостей.

Например, рассмотрим следующую задачу.

Задача 4. Точки M, P и R расположены на ребрах параллелепипеда (рис. 8). Пользуясь свой­ствами параллельных прямых и плоскостей, по­стройте сечение этого параллелепипеда плоско­стью MPR.

Решение. Пусть точки M, P и R располо­жены на ребрах соответственно DD₁, ВВ₁ и СС₁ 1 параллелепипеда АВСВА₁В₁С₁В₁ (рис. 8, а).

Обозначим: (MPR) = α - секущая плоскость. Проводим отрезки MR и PR (рис. 8, б), по которым плоскость α пересекает соответственно грани СС₁D₁D и ВВ₁С₁С данного параллелепипе­да. Отрезки MR и PR - стороны искомого сечения. Далее используем теоремы о пересече­нии двух параллельных плоскостей третьей.

Так как грань АА₁В₁В параллельна грани СС₁D₁D, то прямая пересечения плоскости α с плоскостью грани АА₁В₁В должна быть парал­лельна прямой MR. Поэтому проводим отрезок PQ || MR, Q є АВ (рис. 8, в); отрезок РQ - сле­дующая сторона искомого сечения. Аналогично, так как грань АА₁D₁D параллельна грани СС₁В₁В, то прямая пересечения плоскости α с плоско­стью грани АА₁D₁D должна быть параллельна прямой PR. Поэтому проводим отрезок МН || PR, H є AD (рис. 8, в); отрезок МН - еще одна сторона искомого сечения. На ребрах АВ и AD гра­ни АВСD построили точки Q є АВ и H є AD, которые являются вершинами искомого сечения. Проводим отрезок QH (рис. 8, г) и получаем пя­тиугольник MRPQH - искомое сечение паралле­лепипеда. Штриховыми линиями проводим неви­димые стороны MR, RP и QH этого сечения.

Замечание. При построении сечения куба на рис. 4 использованы параллельность противопо­ложных граней куба, а также параллельность се­кущей плоскости и плоскости ВС₁D.

Рис. 8

Гл. II. Метод следов в построении плоских сечений многогранников.

Определение.

Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каж­дой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Имен­но это свойство следа используют при по­строении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости, удобно использовать такие прямые, ко­торые пересекают ребра многогранника.

Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей по­верхности призмы (пирамиды).

Задача 1. Построить сечение призмы АВСВЕА₁В₁С₁D₁Е₁ плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основа­ния призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD₁.

Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 9). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) — точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС₁, ВB₁, АА₁, ЕЕ₁ данной призмы.

Е₁ D₁

Рис. 9

Для построения точки N =α ∩ СС₁ до­статочно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD₁C₁. Для этого, в свою очередь, доста­точно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку?

Так как прямая l лежит в плоскости осно­вания призмы, то она может пересекать пло­скость грани СDD₁C₁ лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD₁) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD₁) принад­лежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС₁ достаточно построить точку X = l ∩ СD.

Аналогично, для построения точек Р= α ∩ ВВ₁, Q = α ∩ АА₁ и R = α ∩ ЕЕ₁ достаточно построить соответственно точ­ки: У = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и Т =1 ∩ АЕ. Отсюда

Построение. Строим (рис. 10):

1. X = l ∩ СD (рис. 10, б);

2. N = МХ ∩ СС₁ (рис. 10, в);

3. У = l ∩ ВС (рис. 10, г);

4. Р = NY ∩ ВВ₁ (рис. 10, д);

5. Z = 1 ∩ АВ (рис. 10, е);

6. Q= РZ ∩ АА₁ (рис. 10, ж);

1. T= l ∩ АЕ (рис. 10, з);

2. R= QT ∩ ЕЕ₁ (рис. 10, и).

Пятиугольник MNPQR — искомое сече­ние (рис. 10, к).

Доказательство. Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости.

Поэтому имеем:

М є α , X є α = МХ є α, тогда МХ ∩ СС₁ = N є α , значит, N = α ∩ СС₁;

N є α, Y є α = NY є α, тогда NY ∩ ВВ₁= Р є α, значит, Р = α ∩ ВВ₁;

Р є α, Z є α = РZ є α, тогда PZ ∩ AА₁ = Q є α, значит, Q = α ∩ АA₁;

Q є α, T є α = QТ є α, тогда QТ ∩ EЕ₁ =R є α, значит, R = α ∩ ЕЕ₁.

Следовательно, MNPQR - искомое се­чение.

Исследование. След l секущей плоско­сти α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадле­жит боковому ребру DD₁ призмы. Поэто­му секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точкиN, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не при­надлежит следу l, то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет (всегда!) единственное ре­шение. Рис. 10

Задача 2. Постройте сечение пятиуголь­ной пирамиды PABCDE плоскостью, ко­торая задана следом l и внутренней точ­кой К ребра РЕ.

Решение. Схематически построение искомого сечения можно изобразить так (рис. 11): T₁ → Q → Т₂ → R → Т₃ → М → Т₄ → N.

Пятиугольник MNKQR — искомое се­чение.

«Цепочка» последовательности построе­ния вершин сечения такова:

1. Т₁= l ∩ АЕ; 2. Q = Т₁К ∩ РА;

3. Т₂ = l ∩ АВ; 4. R = Т₂Q ∩ РВ;

5. Т₃ = l ∩ ВС; 6. М - T₃R ∩ РС;

7. Т₄ = l ∩ СD; 8. N = Т₄М ∩ РD.

Однако секущая плоскость часто за­дается тремя точками, принадлежащими многограннику.

В таком случае для построения искомо­го сечения методом следов сначала строят след секущей плоскости в плоскости осно­вания данного многогранника.

Рис. 11

Задача 3. Постройте сечение призмы АВСDЕА₁В₁С₁D₁Е₁ плоскостью α= (МРR), где М, Р и R являются внутренними точками соответственно ребер АА₁, СС₁ и ЕЕ₁ (рис. 12).

Решение. Построим след секущей плоскости α в плоскости основания АВС данной призмы. Для построения этого следа достаточно построить две любые его точки. Такими точками являются точки пересечения плоскости основания данного многогранника с прямыми, лежащими в секущей плоскости.

Е₁ D₁

Рис. 12

Прямая МR лежит в секущей плоско­сти α = (МРR),а прямая АЕ - в плоско­сти АВС основания данной призмы, при этом эти прямые лежат в одной плоскости (плоскости грани АЕЕ₁А₁) и пересекают­ся. Точка T₁ = МR ∩ АЕ является одной из точек следа плоскости α в плоскости основания призмы. Аналогично, точка Т₂ = РR ∩ СЕ является второй точкой это­го следа. Тогда прямая Т₁Т₂ = l - след секущей плоскости в плоскости основания призмы. Далее строим точки: 1) Т₃ = l ∩ АВ; 2) N = Т₃М ∩ ВВ₁; 3) Т₄ = l ∩ВD; 4) Q = Т₄N ∩ DD₁. Со­единив отрезками последовательно точки М, N, Р, Q и R, получаем пятиуголь­ник MNPQR - искомое сечение данной призмы, выделив его невидимые стороны штриховыми линиями.

Аналогично строится сечение пирамиды плоскостью, заданной тремя точками.

Гл. III. Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников.

В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников, ко­торый мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проекти­рования или методом соответствий, или методом диагональных сечений. Мы при­мем первое название.

Задача 1. Постройте сечение пирами­ды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ (рис. 26, а).

Решение. Плоскость основания пирами­ды обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения секу­щей плоскости α с ребрами пирамиды.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пира­миды.

Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К (рис. 26, в). Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К₁: К₁ = РК ∩ FR (рис. 26, г), при этом К₁ є α. Тогда: М є α, К₁ є α = прямая МK є а. Поэ­тому точка Q = МК₁ ∩ РD (рис. 26, д) есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q— вер­шина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по пря­мым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н (рис. 26, е). Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н₁ (рис. 26, ж). Тогда прямая RН₁ пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ — вершине сечения (рис. 26, з).

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения та­кова:

1. К = АD ∩ ЕС; 2. К₁ = РК ∩ RF;

3. Q = МК₁ ∩ РD; 4. H = BE ∩ АD;

5. Н₁ = РН ∩ МQ; 6. N = RН₁ ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR — искомое се­чение (рис. 26, и).

Динамика построения этого сечения пи­рамиды проиллюстрирована на рис. 26.

Е

E

В

Е

Задача 2. Постройте сечение призмы АВСDEА₁В₁С₁D₁Е₁, плоскостью α, задан­ной точками М є ВВ₁, Р є DD₁, Q є ЕЕ₁ (рис. 27).

Решение. Обозначим: β — плоскость нижнего основания призмы. Для построения искомого сечения построим точки пересече­ния плоскости α = (МРQ) с ребрами призмы.

Построим точку пересечения плоскости α с ребром АА₁.

Плоскости А₁АD и ВЕЕ₁ пересекают плоскость β по прямым соответственно АD и ВЕ, которые пересекаются в неко­торой точке К. Так как плоскости А₁АD и ВЕЕ₁ проходят через параллельные ре­бра АА₁ и ВВ₁ призмы и имеют общую точку К, то прямая КК₁ их пересечения проходит через точку К и параллельна ре­бру ВВ₁. Точку пересечения этой прямой с прямой QМ обозначим: К₁= КК₁ ∩ QМ, КК₁ ║ ВВ₁. Так как QM є α, то К₁ є α.

Е₁

Рис. 27

Получили: Р є α , К₁ є α = прямая РК₁ є α, при этом РК₁ ∩ АА₁ = R. Точка R служит точкой пересечения плоскости α и ребра АА₁ (R = α ∩ АА₁), поэтому является вершиной искомого сечения.

Аналогично строим точку N = α ∩ СС₁.

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения та­кова:

1. К = АD ∩ ВЕ;

2. К₁ = КК₁ ∩ MQ, КК₁ || ВВ₁;

3. R = РК₁ ∩ АА₁;

4. Н = ЕС ∩АD;

5. H₁ – HH₁ ∩ РR, НН₁ || СС₁;

6. N = QН₁ ∩ СС₁.

Пятиугольник MNPQR— искомое сечение.

Гл. IV. Комбинированный метод в построении плоских сечений многогранников.

Сущность комбинированного метода по­строения сечений многогранников состоит в следующем. На некоторых этапах по­строения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проекти­рования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендику­лярности прямых и плоскостей.

Для иллюстрации применения этого ме­тода рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. Постройте сечение паралле­лепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ плоскостью α, заданной точками Р, Q и R, если точка Р лежит на диагонали А₁C₁, точка Q-на ребре ВВ₁ и точка R - на ребре DD₁ (рис. 28).

Рис. 28

Решение, а) Решим эту задачу с при­менением метода следов и теорем о парал­лельности прямых и плоскостей.

Прежде всего, построим след секущей плоскости α = (РQR) на плоскости АВС Для этого строим точки Т₁ = РQ ∩ Р₁В (где PP₁ ║AA₁,P₁є AC) и T₂ = RQ ∩ ВD. По­строив след Т₁Т₂, замечаем, что точка Р лежит в плоскости А₁B₁C₁, которая парал­лельна плоскости АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость А₁B₁C₁ по прямой, проходящей через точку Р и параллельной прямой Т₁Т₂. Проведем эту прямую и обозначим через М и Е точки ее пересечения с ребрами соответственно А₁B₁ и А₁D₁ Получаем: М = α ∩ А₁B₁, Е =α∩ А₁D₁. Тогда отрезки ЕR и QМ являются сторонами искомого сечения.

Далее, так как плоскость ВСС₁ парал­лельна плоскости грани ADD₁A₁, то пло­скость α пересекает грань ВСC₁B₁ по от резку QF (F= α ∩ СС₁), параллельному прямой ЕR. Таким образом, пятиуголь­ник ERFQM - искомое сечение. (Точку F можно получить, проведя RF║ MQ)

б) Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей.

Рис. 29

Пусть Н=АС ∩ ВD (рис. 29). Прове­дя прямую НН₁ параллельно ребру ВВ₁ (Н₁ є RQ), построим точку F: F=РН₁ ∩ CC₁.Tочка F является точкой пересечения пло­скости α с ребром СС₁, так как РН₁ є α. Тогда отрезки RF и QF, по которым пло­скость α пересекает соответственно грани CС₁D₁D и ВСС₁В₁ данного параллелепипеда, являются сторонами его искомого сечения.

Так как плоскость АВВ₁ параллельна плоскости CDD₁, то пересечением плоско­сти α и грани АВВ₁А₁ является отрезок QМ (М є А₁В₁), параллельный отрезку FR; отрезок QМ - сторона сечения. Далее точка Е = МР ∩ А₁D₁ является точкой пересечения плоскости α и ребра А₁D₁, так как МР є α. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. (Точку Е можно по­строить, проведя прямую RЕ ║ FQ. Тогда М = РЕ ∩ А₁B₁).

Заключение

Выявлена тенденция практической направленности заданий для разностороннего развития учащихся, где происходит:

1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям;

2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу;

3. Развитие математических способностей и мышления у учащихся;

4. Развитие учащихся самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой;

5. Развитие исследовательских навыков.

Данная работа может быть использована учащимися средних и старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах и для самообразования молодых учителей. Выпускники средних школ должны не только овладеть материалом школьных программ, но и уметь творчески применять его, находить решение любой проблемы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 20012.

2. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 20012.

3. Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»,2012,№2/№3,1-64.

5