(учитель Филина В.В. МБОУ СОШ им. Кирова г. Карачева Брянской обл.)
Цели:
- познакомить учащихся с новым типом многогранников – правильные многогранники;
- показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и гипотез;
- показать связь геометрии и природы.
I. Орг. момент
Учитель: Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс, увлекшись изготовлением моделей многогранников, написал в письме отцу: «…я сделал тетраэдр, додекаэдр и еще два эдра, для которых не знаю правильного названия». Эти слова ознаменовали рождение в пока еще ничем не примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла.
II. Изучение новой темы
Так вот тема нашего урока «Многогранники».
1) Сейчас, учитывая тему, давайте попытаемся сформулировать задачи, которые мы поставим перед собой на этот урок (их формулируют дети, выдвигая свои вопросы и пожелания, что бы они хотели узнать на этом уроке). ( Слайд 2 -3)
2) Какой многогранник называется правильным? (Слайд 4)
И все-таки самым интригующим свойством правильных тел является то, что их всего 5. Не случайно доказательством этого факта завершалась последняя, 13 книга «Начал» Евклида. (Слайды 5-16)
3) Работа в тетрадях. Перейдем к таблице в нашей рабочей тетради. (Ребята сами заполняют пропущенные места определения, затем определяют геометрию грани каждого объекта, используются слайды и модели тел).
Их форма – образец совершенства. Вы можете заметить ряд интересных особенностей, благодаря которым они получили свое название. Так, у каждого из них все грани – одинаковые, в каждой вершине многоугольника сходится одно и то же число ребер, а соседние грани сходятся под равными углами.
Подсчитаем число вершин (B), ребер (P) и граней (Г) у каждого многогранника и запишем результат в таблицу.
название
Геометрия грани
Грани (Г)
Вершины (В)
Ребра (Р)
В+Г-Р
Тетраэдр
Треугольник
4 (тетра)
4
6
2
Октаэдр
треугольник
8 (окто)
6
12
2
Гексаэдр (куб)
квадрат
6 (гекса)
8
12
2
Икосаэдр
треугольник
20 (икоси)
12
30
2
Додекаэдр
пятиугольник
12 (додека)
20
30
2
«Эдра»(греч.) – грань.
В+Г-Р = 2
В последней колонке получится
Эта формула была «подмечена» Декартом в 1640г., а позже доказал это удивительное соотношение Леонард Эйлер (1707-1783), один из величайших математиков, поэтому формула названа его именем. Она верна не только для правильных, но и для всех выпуклых многогранников.
4) Учитель: Совершенство форм, присущее правильным многогранникам, являлось причиной того, что им приписывались различные магические свойства. (Слайды 17-18).
Во времена пифагорейского союза, а возможно, и в нем самом, в древнегреческой философии родилась концепция 4 стихий – первооснов материального мира: огня, воздуха, воды и земли. Согласно некоторым античным источникам, четыре космические стихии были геометризированы самим Пифагором: атом каждой стихии мыслился в виде определенного правильного многогранника. Видимо, это близко к истине.
Атом огня символизировал многогранник, острый, похожий на пламя свечи - … (тетраэдр).(Слайд 19).
Атомам земли Платон придал форму самого неподвижного и устойчивого многогранника, ибо земля неподвижна и устойчива – это … (куб).(Слайд 20).
Воздух движется в разные стороны и оставшийся многогранник – октаэдр, как бы направленный в разные стороны, символизирует атом воздуха.(Слайд 21).
Вода отличается текучестью, и ее атомы символизировали самый «катящийся» многогранник – это … (икосаэдр). (Слайд 22)
Но стихий всего 4, а многогранников – 5. Для 5ого Платон вводит пятый элемент – «пятую сущность», атомам которого придается форма наиболее близкого к шару, самому совершенному телу на земле, многогранника - … (додекаэдр). (Слайд 23).
5)Учитель: Правильные многогранники встречаются и в живой природе.(Слайды 25-33).
6) Учитель: Правильные многогранники на протяжении всей истории человечества не переставали восхищать пытливые умы симметрий, мудростью и совершенством форм. Леонардо Да Винчи любил мастерить каркасы правильных тел и преподносить в дар знатным особам, возможно, пытаясь таким образом приобщить сильных мира сего к философским размышлениям о красоте вечных истин.
На картине Сальвадора Дали «Тайная вечеря» (1955г.) Христос и его ученики изображены сидящими внутри огромного прозрачного додекаэдра. (Слайд 34).
Знаменитым художником эпохи Возрождения, увлекавшимся геометрией, был Альберт Дюрер. В его известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изображен додекаэдр. В 1525г. Дюрер написал трактат, где представил 5 правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы. (Слайд 35)
7) Использование геометрических тел в архитектуре. (Слайды36-43).
8) Полуправильные тела Архимеда
Учитель: Но на пяти правильных телах история многогранников не остановилась. Вслед за правильным телами Платона были открыты полуправильные тела Архимеда, грани которых составлены из правильных многоугольников нескольких видов, причем в каждой вершине сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке и многогранные углы при вершинах равны. Заметим, что тела Архимеда могут быть получены из соответствующих тел Платона снятием равных фасок. Тел Архимеда всего 13. Любопытно, что во второй половине ХХ в. Было обнаружено еще одно тело Архимеда - псевдоромбокубооктаэдр, которое не может быть получено путем однотипных усечений тела Платона и поэтому в течение 2000 лет оставалось незамеченным. (Слайды 44-46).
III. Заключение (Слайды 47-48)
IV. Итог урока. Домашнее задание:
1. Изготовить модели правильных многогранников.
2. Подготовить доклад о звездчатых невыпуклых многогранниках.
V. Рефлексия
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Презентация на тему "Многогранники"»
Многогранникивокруг нас
Филина В.В. – учитель математики
МБОУ СОШ им. Кирова, г. Карачев
Цели:
Познакомиться с новым типом многогранников - правильными многогранниками.
Рассмотреть влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и гипотез.
Рассмотреть связь геометрии и природы.
« Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».
Льюис Кэролл
Определение правильного многогранника
Многогранник называется правильным , если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны
С глубокой древности человеку известны пять удивительных многогранников
Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n-угольники при n≥6.
Тетраэдр
Тетраэдр (tetra – четыре, hedra – грань). Правильный тетраэдр – правильный четырехгранник, то есть тетраэдр с равными ребрами, представляет собой правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и из каждой вершины которого выходит ровно три ребра
У него 4 вершины,4 грани,6 ребер
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов
Элементы симметрии:
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и
6 плоскостей симметрии.
Гексаэдр(куб)
Гексаэдр ( куб , hexa – шесть). Гексаэдр – правильный многогранник, все грани которого – квадраты, и из каждой вершины выходит три ребра.
У него 6 граней,8 вершин,12 ребер
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов
Элементы симметрии:
Куб имеет центр симметрии - центр куба,
9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Октаэдр
Октаэдр (okto – восемь). Это правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и к каждой вершине прилегают четыре грани
У него 8 граней,
12 ребер,6вершин
Элементы симметрии:
Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Додекаэдр
Существует правильный многогранник, у которого все грани правильные пятиугольники и из каждой вершины выходит 3 ребра. Этот многогранник имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин и называется додекаэдром (dodeka – двенадцать).
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градуса
Элементы симметрии:
Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.
Икосаэдр
Существует правильный многогранник, у которого все грани – правильные треугольники, и из каждой вершины выходит 5 ребер. Этот многогранник имеет 20 граней, 30 ребер, 12 вершин и называется икосаэдром (icosi – двадцать).
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов
Элементы симметрии:
Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра,
15 осей симметрии и
15 плоскостей симметрии.
Развертки правильных многогранников
Свойства этих многогранников изучали ученые и священники, их модели можно было увидеть в работах архитекторов и ювелиров, им приписывались различные магические и целебные свойства
Великий древнегреческий философ Платон, живший в IV – V вв. до нашей эры, считал, что эти тела олицетворяют сущность природы.
Четыре сущности природы были известны человечеству: огонь, вода, земля и воздух.
По мнению Платона, их атомы имели вид правильных многогранников.
тетраэдр-огонь
куб-земля
октаэдр-воздух
икосаэдр-вода
додекаэдр-вселенная
Многогранники в природе
04.03.2009
«Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая мою геометрию»
Создания природы красивы и симметричны. В кристаллографии существует раздел, который называется «геометрическая кристаллография»
Кристалл поваренной соли
Кристаллическая решетка поваренной соли имеет кубическую структуру.
Кристаллы в форме октаэдра
Квасцы
Шпинель
Флюорит
Алмаз
Кристаллы в форме призм
Рубин
Горный хрусталь
Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров.
Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба.
Правильные многогранники в живой природе
Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр.
Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Он больше похоже на звёздчатый многогранник.
Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности.
Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.
Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов.
Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.
Вирусы-бактериофаги
Головка вируса-бактериофага также имеет форму икосаэдра
Художники о правильных многогранниках
Сальвадор Дали «Тайная вечеря», на которой Христос и его ученики изображены сидящими внутри огромного прозрачного додекаэдра.
В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре
''Меланхолия '‘ на переднем плане изобразил додекаэдр.
Геометрические телав архитектуре7 чудес света
Пирамида Хеопса
Среди египетских пирамид особое место занимает пирамида фараона Хеопса. Длина стороны её основания L =233,16 м; высота Н =146,6; 148,2 м.
Храм Артемиды
Статуя Зевса в Олимпии
Александрийский маяк
Колосс Родосский
Мавзолей в Галикарнасе
Вися́чие сады́ Семирами́ды
Полуправильные многогранники
Полуправильные многогранники или Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:
1) Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник);
2) Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.
Существует 13 полуправильных многогранников:
Кубооктаэдр
Икосододекаэдр
Усеченный тетраэдр
Усечённый куб
Усечённый октаэдр
Усечённый додекаэдр
Усечённый икосаэдр
Ромбокубооктаэдр
Ромбоусечённый кубоктаэдр
Ромбоикосододекаэдр
Ромбоусечённый икосододекаэдр
Курносый куб
Курносый додекаэдр
Ромбододекаэдр. (полуправильные тела)
Он образован помощью семи кубов, образующих пространственный "крест« и додекаэдра.
Один из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих современных разделов математики.
Л.Эйлер
(1707-1783)
Теорема Эйлера:
Число вершин - число ребер + число граней =2
Итак, мы рассмотрели где встречаются правильные многогранники, какими они бывают.
Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.
