Методы решения рациональных уравнений

Методы решения рациональных уравнений

Солодова Елена Сергеевна

Учитель математики СОШ №24 имени Бориса Рукавицына

Г. Рыбинс к

Основные понятия

Опр.   Уравнение  – это равенство с одной или несколькими переменными (  неизвестными  ).

Опр.  Значения неизвестных, при которых данное уравнение обращается в тождество, называются  корнями уравнения  .

Опр.  Процедура нахождения  всех  корней уравнения называется  решением  уравнения .

(!!)   Решить уравнение – значит найти все его корни   или доказать, что их нет.

Что такое рациональные уравнения?

Уравнения, в которых есть только целые и дробные выражения и степени, называются рациональными. Если вы видите в уравнении арифметические корни, то такие уравнения уже не будут рациональными.

В свою очередь рациональные уравнения делятся на целые и дробные.

Целые рациональные уравнения

Если в уравнении нет переменной  x  в знаменателе, то такое уравнение называется целым.

Метод решения целых рациональных уравнений сильно зависит от того, какой степени перед вами уравнения.

Степень уравнения - это максимальная степень у переменной  x .

Например, уравнение  x 2+5 x −1=0  будет второй степени, так как есть  x 2 . Пример уравнения первой степени:  5 x −1=17

Уравнение третьей степени:  5 x 3−3 x 2=0 ; Уравнение четвертой степени:  7 x 4−5 x 2+ x −5=0 И т.д.

Основной алгоритм решения целых уравнений:

• Если есть скобки, раскрываем их;
• Переносим все слагаемые в левую часть так, чтобы в правой части остался только  0 . Не забываем при этом менять знак этих слагаемых;
• Приводим подобные слагаемые;
• Если получилось уравнение первой степени (в уравнении есть только  x ), то решаем его так  (линейные уравнения);
• Если получилось уравнение второй степени (в уравнении есть  x 2 ), то оно решается вот так  (квадратные уравнения).
• А вот если в преобразованном уравнении получились члены  x 3  или большей степени, то придется применять нестандартные методы решения. Например, замена переменной, группировка, схема Горнера и т.д.

Методы решения уравнений третьей степени и старше

Не существует универсального удобного метода решения уравнений третьей степени или выше, как, например, квадратные уравнения, которые легко решаются через дискриминант.

Есть несколько методов, которые полезно знать: замена переменной, метод группировки, деление многочлена на многочлен, схема Горнера и т.д.

Метод группировки

1. Объединяем слагаемые в группы, как правило, в пары, но иногда это могут быть и тройки;

2. В каждой группе (паре) выносим общий множитель за скобки;

3. Если в скобках в каждой паре получилось одинаковое выражение, то опять выносим общий множитель в виде одинакового выражения внутри этих скобок за «большие» скобки.

4. Если в результате шагов  1  и  2  в каждой паре получились разные выражения в скобках, то нужно вернуться на шаг  1 , поменять местами слагаемые и сгруппировать их в группы другим способом.

Как не перепутать целое рациональное с дробно-рациональным уравнением? Если х находится только в числителе дроби, то такое уравнение — целое рациональное. Если х есть в знаменателе дроби, то такое уравнение — дробно-рациональное. Пример 1:  x+2=0  — целое рациональное уравнение Пример 2: ( x2+2x)/(x—1)=0  — дробно-рациональное уравнение

Дробно-рациональные уравнения

Если в уравнении есть деление на выражение, зависящее от переменной  x , то такое уравнение будет называться дробно-рациональным.

В общем виде дробно-рациональное уравнение выглядит так: P ( x )/ Q ( x )=0 ; где  P ( x )  и  Q ( x )  - целые рациональные выражения;

Схему решения можно записать в виде: { P ( x )=0, Q ( x )≠0.

Простыми словами, решение дробно-рационального уравнения сводится к нахождению корней целого рационального уравнения  P ( x )=0 . И проверке того, чтобы найденные корни удовлетворяли неравенству  Q ( x )≠0 .

Алгоритм решения дробно- рациональных уравнений с использованием ОДЗ

• Находим ОДЗ. Для этого выписываем все знаменатели и приравниваем их к нулю;
• Решаем дробно-рациональное уравнение: переносим все в левую часть, приводим к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые, избавляемся от знаменателя и решаем получившееся целое рациональное уравнение;
• Проверяем, чтобы найденные корни удовлетворяли ОДЗ. Если не удовлетворяют, то отбрасываем их.

проводится в два этапа:

1. решить уравнение f(x)·

Использование основного свойства пропорции для уравнений вида

Решение уравнений основано на следующем утверждении: в пропорции

произведение крайних членов равно произведению ее средних членов. Т.е. ad = bc.

Решение уравнения вида

q(x)= g(x)·p(x) ;

2. выяснить для каждого корня, обращаются ли при найденном заначении переменной

знаменатели дробей g(x) и q(x) в нуль;

3. если g(x)=0 или q(x)=0, то полученный корень уравнения f(x)·q(x)= g(x)·p(x) не является