Урок-презентация " Методы решения рациональных алгебраических уравнений" 11 класс

Владеть математическими методами анализа данных должны все – инженеры, экономисты, юристы, строители, государственные деятели.

Н.А.Назарбаев

«К экономике знаний

– через инновации и образование»

Как показывает мировая практика, высокий уровень математической подготовки обеспечит качественный рывок во всех отраслях.

Н.А.Назарбаев

«К экономике знаний

– через инновации и образование»

Тема урока:

«Методы решения рациональных алгебраических уравнений»

Обобщить и систематизировать

знания учащихся по теме:

« Методы решения рациональных

алгебраических уравнений »

Цель урока:

Задачи урока:

Закрепить полученные

знания по теме

Развивать познавательный интерес,

самостоятельность мышления

Развивать умение анализировать

и оценивать свою деятельность

Воспитывать положительное

отношение к изучению математики

Методы решения рациональных алгебраических уравнений Линейное уравнение

Определение. Линейным называется уравнение вида:

ах + b = 0 , a ≠ 0

Такое уравнение имеет один корень, нахождение которого не вызывает затруднений:

х = - b/a.

1. Задание: Решите уравнение (а – 1)х + 2 = а + 1.

Решение:

При а ≠ 1, х = а – 1 / а – 1 = 1

При а = 1, уравнение принимает вид: 0  х + 2 = 2.

Поэтому любое действительное число будет его решением.

Ответ: Если а ≠ 1, то х = 1; если а = 1, то х є R

Многие уравнения в результате преобразований

сводятся к линейным.

2. Задание: Решите уравнение:

2/3 + х/4 + (1-х)/6 = (5х/12) – 1.

Решение: Умножив обе части уравнения на 12, получим:

8 + 3х + 2 – 2х = 5х – 12

4х = 22

х = 5,5

Ответ: х = 5,5.

Квадратное уравнение

Определение. Квадратным называется уравнение вида:

ах ² + bx + c = 0, a ≠ 0

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Умение быстро находить корни квадратного уравнения имеет большое значение при тестировании.

Известно, что для большинства квадратных уравнений с целыми корнями (при а = 1) эти корни без труда находятся подбором, основанным на теореме, обратной теореме Виета. Однако этот способ становится уже практически неприменимым, если уравнение имеет дробные корни. Для преодоления возникшей трудности используется следующий прием: «перебросить» коэффициент а в свободный член (умножить свободный член на а ). После этого найти корни нового уравнения и разделить их на а.

Рассмотрим этот прием на конкретном примере.

3. Задание: Решите уравнение 12х ² + 13 + 3= 0

Решение:

12х ² + 13х + 3= 0 х ² + 13х + 3  12 = 0

х= - 1/3, х„= - ¾ х= - 4, х„= - 9

Ответ: { - ¾; - 1/3 } .

Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение ах ² + b х + c = 0 .

Если а + b + с = 0 (то есть сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х= 1, х„= с/а.

4. Задание: Решите уравнение 345х ² + 137 х + 208 = 0.

Решение:

Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0)

то х=1, х„= - 208/345

Ответ: { - 208/345; 1 }

• Если а - b + с = 0 или b = а + с,

то х = - 1, х„ = - с/а.

5. Задание: Решите уравнение 11х ² + 27х + 16 = 0

• Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней можно записать в виде:

х = (- k ±  k² - ac)/a

6 . Задание: Решите уравнение 3х ² - 14х + 16 = 0

Уравнения со степенью больше 2

Для решения таких уравнений чаще всего применяют следующие методы:

• разложение на множители;
• введение новой переменной.

Метод разложения на множители

Путем группировки слагаемых и применяя формулу сокращенного умножения, приводим исходное уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких множителей, а справа – нуль. Затем приравниваем каждый из множителей.

7. Задание: Решите уравнение х ³ - 3х + 2 = 0

Решение:

х ³ - х – 2х + 2 = 0

х(х ² - 1) – 2(х-1) = 0

х (х-1)(х+1) – 2(х-1) = 0

(х - 1)(х ² +х – 2) = 0

1) х – 1 = 0 2) х ² + х – 2 = 0

х= 1 х„= -2 х„= 1

Ответ: { - 2; 1 }

Методы введения новой переменной

Ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначаем за новую переменную, упрощая тем самым вид уравнения .

11. Задание: (х ² + х – 2)(х ² + х – 3) = 12.

Решение:

Обозначим х ² + х – 3 = а, тогда (а + 1)а = 12

а ² + а – 12 = 0

а= -4, а„= 3

1) х ² + х - 3 = - 4 2) х ² + х – 3 = 3

х ² + х + 1 = 0 х ² + х – 6 = 0

уравнение решений не имеет, х= - 3, х„= 2

Так как D

Ответ: {- 3; 2}

В более сложных случаях замена видна лишь после некоторых преобразований.

12. Задание: Решите уравнение

(х ² + 2х) ² - (х + 1) ² = 55.

Решение: Переписав уравнение иначе, а именно:

(х ² + 2х) ² - (х ² + 2х + 1) = 55

Мы сразу видим замену : х ² + 2х = а.

а ² - а - 56 = 0

а= -7, а„= 8

1) а = - 7 2) а = 8

х ² + 2х + 7 = 0 х ² + 2х - 8= 0

уравнение решений не имеет, х= 2, х„= -4

так как D

Ответ: {- 4 ; 2}

16. Задание: Решите уравнение

(х - 4)(х - 5)(х - 6)(х - 7) = 1680.

Решение:

(х - 4)(х - 7)(х - 5)(х - 6) = 1680

(х ² - 11х + 28)(х ² - 11х + 30) = 1680

Обозначим: х ² - 11х + 28 = а, тогда

а(а + 2) = 1680

а ² + 2а – 1680 = 0

а= - 42, а„= 40

1) х ² - 11х + 28 = - 42 2) х ² - 11х + 28 = 40

х ² - 11х + 70 = 0 х ² - 11х - 12 = 0

уравнение решений не имеет, х= 12, х„= -1

так как D

Ответ: {-1 ; 12 }

Решение дробно – рациональных уравнений

При решении дробно – рациональных уравнений следует учесть, что областью определения уравнения являются те значения переменной х, при которых знаменатели дробей не обращаются в нуль.

При решении дробно – рациональных уравнений целесообразно поступать следующим образом:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Нестандартный подход

Общих формул нахождения корней алгебраических уравнений высоких степеней нет, и поэтому об их решениях говорят как об искусстве решать пример нестандартно, придумать «свой метод», догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

Домашнее задание:

1. Выбрать все тестовые задания по данной теме из сборника тестов 2015 года.

2. Повторить теоретический материал по теме: «Методы решения систем алгебраических уравнений».

а) Метод подстановки;

б) Метод введения новых переменных;

в) Метод алгебраических действий;

г) Системы, содержащие однородное уравнение;

д) Метод разложения на множители;

Спасибо за работу!!! Успехов на ЕНТ!!!