Математика и насекомые

Номинация: математические модели реальных процессов в природе и обществе Тема: Насекомые и геометрия Автор: Маслова Виолетта Андреевна ученица 6 класса Руководитель: Маслова Людмила Андреевна Учебное заведение: п. Озерецкий, МОУ Озерецкая СОШ № 8, телефон: 8-4964-16-55-90 e-mail : [email protected] Адрес: Московская область, Орехово-Зуевский р-н, п. Озерецкий, д.31 контактные телефоны: 8-4964-16-55-14, 8-909-967-24-23

Цель работы: рассмотреть какую роль в жизни насекомых занимает предмет геометрия

Для достижения цели необходимо было реализовать следующие задачи:

• Собрать информацию о насекомых в научной литературе.
• На примере насекомых установить взаимосвязь геометрии и природы

План работы:

• Обдумать тему работы
• Изучить научную литературу
• Использовать информацию из Интернета

Содержание

• Введение
• Геометрия паутины
• Шестиугольная геометрия сот
• Список литературы

Геометрия паутины

Пауки - одни из древнейших обитателей нашей

планеты, заселившие сушу более 200 миллионов лет

назад. В природе насчитывается около 35 тысяч

видов пауков. Эти восьминогие существа, обитающие

повсеместно, узнаваемы всегда и всюду, несмотря на

различия в окраске и размерах.

Но самая главная их отличительная особенность - это способность производить паутинный шелк, непревзойденное по прочности натуральное волокно. Пауки используют паутину для самых разных целей. Они делают из нее коконы для яиц, строят убежища для зимовки, используют в качестве "страховочного каната" при прыжках, плетут замысловатые ловчие сети и заворачивают пойманную добычу.

Ловчие приспособления, которыми они пользуются для

добывания пищи, бывают самых разных форм и видов.

Некоторые пауки просто протягивают несколько сигнальных

нитей рядом со своим убежищем и, как только насекомое

задевает за нить, бросаются на него из засады. Другие -

выбрасывают нить с клейкой каплей на конце вперед, как

своеобразный аркан.

Но вершина конструкторской деятельности пауков - это все-таки

круглые колесовидные тенёта, расположенные горизонтально

или вертикально.

Чтобы построить колесовидную ловчую сеть, паук-

крестовик, обычный обитатель наших лесов и садов,

выпускает довольно длинную прочную нить. Ветерок

или восходящий поток воздуха поднимает нить вверх,

и, если место для постройки паутины выбрано удачно,

она цепляется за ближайшую ветку или другую опору.

Паук проползает по ней, чтобы закрепить конец,

иногда прокладывая для прочности еще одну нить.

Затем он выпускает свободно свисающую нить и к ее

середине прикрепляет третью, так что получается

конструкция в форме буквы Y – первые три радиуса

из более чем полусотни .

Когда радиальные нити и рама готовы, паук

возвращается в центр и начинает прокладывать

временную вспомогательную спираль - что-то вроде

"строительных лесов".

Вспомогательная спираль скрепляет конструкцию и служит пауку дорожкой при построении ловчей спирали. Весь основной каркас сети, включая радиусы, делается из неклейкой нити, а вот для ловчей спирали используется двойная нить, покрытая клеящим веществом.

Удивительно то, что эти две спирали имеют разную геометрическую форму. Временная спираль имеет относительно мало витков, и расстояние между ними с каждым витком увеличивается. Происходит это потому, что, прокладывая ее, паук движется под одинаковым углом к радиусам. Форма получившейся ломаной линии близка к так называемой логарифмической спирали.

Липкая ловчая спираль строится по другому принципу. Паук начинает с края и продвигается к центру, сохраняя одинаковое расстояние между витками, и получается спираль Архимеда. При этом он обкусывает нити вспомогательной спирали.

Вывод

Человечество скопировало многие из конструкторских

находок природы, но такой сложный процесс, как

прядение паутины, воспроизвести пока не удается.

Эту непростую задачу ученые сейчас пытаются

решить с помощью биотехнологических приемов.

ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ СОТ

Вскрывая дупла вековых деревьев, населенных

медоносными пчелами, люди не перестают

восхищаться самобытным строительным талантом

насекомых. В естественных условиях обитания они

сооружают восковые гнезда, расчетливо слепленные

из легких и довольно прочных шестигранных ячеек.

Не гнездом, а целым висячим городом-кладом,

состоящим из нескольких десятков, а то и сотен тысяч

благоустроенных квартир и складских помещений,

компактно размещенных под общей крышей, было бы

правильнее всего именовать такое уникальное

восковое сооружение.

Пчелиные соты представляют собой

прямоугольник, покрытый правильными

шестиугольниками.

Задача: найти какими ещё правильными

многоугольниками можно покрыть плоскость.

• Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо предварительно выяснить, какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, то есть уложить их в виде паркета.
• Выполняя несложные расчёты, убеждаемся, что такими многоугольниками могут быть только квадраты, правильные треугольники и правильные шестиугольники.

Почему пчёлы выбрали именно

шестиугольник?

Решение

• Для ответа на этот вопрос нужно сравнить периметры разных многоугольников, имеющих одинаковую площадь. Пусть даны правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. У какого из этих многоугольников наименьший периметр?
• Пусть S - площадь каждой из названных фигур, сторона а n - соответствующего правильного n -угольника.
• Для сравнения периметров запишем их соотношение

Р3 : Р4 : Р6 = 1 : 0,877 : 0,816

• Мы видим, что из трёх правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Стало быть, мудрые пчёлы, экономят воск и время для построения сот.

При благоприятных условиях пчелиная семья способна

не только построить такой многоэтажный висячий город

за несколько дней, но и превратить его в настоящий

клад здоровья, накопив в нем десятки килограммов

драгоценного сладкого продукта, собранного с цветков

медоносных растений.

Вывод

Натуралистам пока не удалось до тонкости

расшифровать, чем же еще, кроме врожденного

таланта, руководствуются строительницы сотограда,

искусно сращивая маленькие эллипсовидной формы

восковые чешуйки в правильные шестигранники-ячеи,

из которых в целом и складывается такое добротное

для насекомых жилище.

Список литературы

• В.М. Николаевский “ Справочник по пчеловодству ”
• Что есть что. Пчёлы, шмели, осы. Москва. 2001 г.
• А.В. Иванов. Пауки, их строение, образ жизни и значение для человека. 1965 г.
• Детская энциклопедия “ Всё обо всём ”
• Информационные материалы интернет-ресурса