Математические фокусы

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФОКУСОВ

Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать ни одной возможности сделать его занимательным

Б. Паскаль

Каждый математический фокус – это теорема, выражающая определенное общее свойство чисел или фигур.

План разгадки любопытной зависимости:

• Наблюдение
• Гипотеза
• Доказательство

ФОКУС 1:

Умножьте число своего рождения на 20, к произведению добавьте 73, сумму умножьте на 5. К произведению прибавьте номер месяца, в котором вы родились, и еще 35. Сообщите мне результат, и я скажу, когда вас поздравлять с днем рождения.

Пример:

Пусть дата рождения 16 июля.

Тогда получаем:

16 * 20 = 320;

320 + 73 = 393;

393 * 5 = 1965;

1965 + 7 = 1972;

1972 + 35 = 2007

Отгадка

Замечаем, что если из сообщенного результата вычесть 400, то получится число, в котором первые 2 цифры/или первая одна цифра/ составляют число рождения, а последние две цифры – искомый номер месяца.

В примере: 2007-400=1607,

т.е. 1607 – 16 июля

Обоснование

Число рождения не более, чем двузначное; обозначим его /a может равняться нулю/.

Аналогично искомый номер месяца представим как . Выполним указанные действия:

Фокус 2:

Задумайте число. Удвойте его и прибавьте 4. Разделите на 2 и прибавьте 7. Умножьте на 8 и отнимите 12. Разделите на 4. Назовите итог.

Пример:

Задумано 8. Последовательно получаем:

8 * 2 = 16

16 + 4 = 20

20 : 2 = 10

10 + 7 = 17

17 * 8 = 136

136 – 12 = 124

124 : 4 = 31

Отгадка

Из названного результата вычитаем 15 и делим на 2:

31 – 15 = 16

16:2 = 8

Обоснование

Задумано а. Выполняя указанные действия, получим последовательно:

2 а ;

2 а + 4;

а + 2;

а + 9;

8а + 72;

8а + 60;

2 а + 15.

Вычтя 15 и поделив на 2, находим задуманное число.

Фокус 3

Задумайте число. Прибавьте к нему 2. Перемножьте получившиеся числа и к произведению прибавьте 5. Назовите итог, и я угадаю задуманное число.

Пример:

Задумано 15.

15 + 2 =17

15 * 17 = 255

255 + 5 = 260

Отгадка

Из сообщенного итога нужно вычесть 4, извлечь квадратный корень, и вычесть из него 1:

260 – 4 = 256

√ 256 = 16

16 1 = 15

Обоснование

а ;

а + 2;

а ( а + 2) = а 2 + 2 а ;

а 2 + 2 а + 5 = ( а 2 + 2 а + 1) + 4 = (а + 1) 2 +4;

Фокус 4

Задумайте 4-значное число. Отбросьте в нем сначала одну цифру справа, затем еще одну и затем еще одну. Полученные 3 числа – трех–, дву- и однозначное – сложите. Сумму умножьте на 9. К произведению прибавьте сумму цифр первоначально задуманного четырехзначного числа. Ну как? Я угадала? Это и есть задуманное вами число?

Пример

Обоснование

= 1000 a + 100 b + 10 c + d .

После отбрасывания цифр и единиц получаем число 100 a + 10 b + c .

После отбрасывания еще одной цифры справа получаем 10 a + b .

После отбрасывания еще одной цифры справа остается a .

Складываем: ( 100 a + 10 b + c ) + ( 10 a + b ) + a =

=111 a + 1 1 b + c .

После умножения на 9 имеем: 999 a + 99 b + 9 c .

Прибавив a + b + c + d , получим исходное число

1000 a + 100 b + 10 c + d .

Фокус 5

Возьмите табель-календарь за любой месяц любого года. Выделите в нем квадрат, содержащий 9 чисел, т.е. 3 столбца по 3 числа в столбце

(все числа - в одном месяце!). Назовите мне только меньшее из чисел этого квадрата и я сразу найду сумму всех 9 неизвестных мне чисел в выделенном квадрате.

Пример

Пусть выделены числа

9 16 23

10 17 24

11 18 25

Сообщено меньшее из чисел – 9. Ведущий сразу называет их общую сумму: 153.

Отгадка

Ведущий прибавляет к названному числу 8 и умножает сумму на 9:

(9 + 8) * 9 = 153

Обоснование

В календаре числа в вертикальных столбцах идут в вертикальном порядке: каждое следующее на 1 больше предыдущего. По горизонтальным строкам числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 7. Значит, если наименьшее числом в выделенном квадрате (т.е. стоящее в его левом верхнем углу) равно k , то квадрат имеет вид:

k k + 7 k + 14

k + 1 k + 8 k + 15

k + 2 k + 9 k + 16

Сумма всех чисел равна:

9 k + 72 = 9 * ( k + 8)