Математические фокусы. Угадывание задуманного числа

Основной темой математических фокусов является угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь «секрет» этих фокусов в том, что «отгадчик» знает и умеет использовать особые свойства чисел, а «задумывающий» этих свойств не знает).

Математические фокусы интересны тем, что каждый фокус имеет свой математический интерес и заключается в «разоблачении» его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольно просты, но иногда бывают хитро замаскированы.

Проверить выполнимость каждого фокуса можно на любом примере, но для обоснования большинства арифметических фокусов удобнее всего прибегнуть к алгебре. На первых порах вы можете опустить «доказательства» фокусов и ограничиться лишь усвоением их содержания дли показа своим друзьям. Но и доказательства не затруднят тех, кто любит размышлять и знаком с начатками алгебры.

Здесь дается только основной каркас математических фокусов, так как их практическое оформление может быть различным в зависимости от условий и места, а также от вашего вкуса, остроумия и выдумки.

Угадывание задуманного числа (7 фокусов)

Фокус 1.

Первый математический фокус с числами.
Задумайте число. Отнимите 1. Остаток удвойте и прибавьте первоначально задуманное число. Скажите результат. Я угадаю задуманное число.

Способ угадывания.
Прибавьте к результату 2, а сумму разделите на 3. Частное — задуманное число.
Пример.
Задумано 18; 18— 1 = 17; 17х2 = 34; 34 + 18=52. Угадываем: 52 + 2 = 54; 54:3=18.
Доказательство. Задуманное число обозначим буквой х. Выполняем требуемые действия:

х— 1; 2(х—1); 2(х— 1) + х;

Результат

2х - 2 + х = 3х - 2.

Прибавляя 2, получим 3х, и разделив на 3, получим задуманное число х.

Фокус 2.

Второй фокус из серии "математические фокусы".
Предложите своему другу задумать какое-либо число. Затем заставьте его несколько раз поочередно умножать и делить задуманное им число на различные, произвольно вами назначаемые числа. Результат действий пусть он вам не сообщает.

После нескольких умножений и делений остановитесь и предложите задумавшему число разделить полученный им результат на то число, которое он задумал, затем прибавить к последнему частному задуманное число и сказать вам результат. По этому результату вы немедленно угадываете число, задуманное вашим другом.

Секрет очень прост. Угадывающему самому тоже надо задумать произвольное число (например, 1) и проделывать над ним все назначаемые им умножения и деления вплоть до деления на первоначально задуманное .число. Тогда в частном у него получится то же самое число, что и у другого задумавшего, хотя бы первоначально задуманные числа и были у них различными. После этого угадывающему надо вычесть из сообщенного ему результата свой результат. Разность и будет искомым числом.

Пример. Задумано число 7. Умножено на 12. Результат (84) разделен на 2. Полученное число (42) умножено на 5. Результат (210) разделен на 3. Получилось 70, а после деления на задуманное число и прибавления задуманного числа —17.

Одновременно вы «про себя» задумали число 1. Умножаете на 12, получается 12. Делите на 2, получается 6. Умножаете на 5, получается 30. Делите на 3, получается 10. Вычитая 10 из 17, получаете искомое число 7.

Замечание 1. Для усиления эффекта вы можете предоставить возможность самому задумавшему число назначать числа, на которые ему хотелось бы умножать и делить получающиеся результаты, лишь бы он каждый раз сообщал вам эти числа.

Замечание 2. Не обязательно чередовать умножения и деления. Можно сначала назначить несколько умножений, а затем несколько делений, или наоборот.

Докажите этот арифметический фокус, т. е. покажите «на буквах», что фокус удается для любого задуманного числа.