Математические фокусы.5-7 класс

Математические фокусы.

1) Задумайте число и запишите его. Удвойте его и прибавьте 1. Затем умножьте на 5 и вычтите 5. Разделите на 10. Результат запишите рядом с задуманным числом. Что получилось?

(Задуманное число.)

2)Как найти задуманное четное число?

Предложите кому-нибудь задумать четное число, затем это число утроить, полученное произведение разделить на 2, а частное опять утроить. После объявления результата арифметических действий вы называете задуманное число. Как это сделать?

( Для нахождения задуманного числа надо разделить объявленный результат на 9 и затем частное умножить на 2. )

Обоснование.

Пусть кто-то задумал четное число, которое обозначим через 2k. Тогда в результате предложенных арифметических действий получается число (((2k ? 3) : 2) ? 3) = 9k.

Разделив его на 9 и удвоив результат, найдем задуманное число 2k.

3)Как найти зачеркнутую цифру?

Предложите кому-нибудь записать любое многозначное число, не все цифры которого одинаковы. Попросите переставить цифры этого числа таким образом, чтобы получилось число, отличное от первоначального, и записать его. Затем предложите вычесть меньшее число (из двух полученных) из большего числа, в разности зачеркнуть любую цифру, отличную от нуля, найти сумму оставшихся цифр и сказать результат. По объявленному результату вы можете сказать, какая цифра была вычеркнута.

(Как ее определить?

Зачеркнутая цифра есть то число, которое нужно прибавить к объявленному результату, чтобы получить ближайшее число, делящееся на 9. Если объявленное число уже делится на 9, значит, была вычеркнута цифра 9. )

Обоснование:

Пусть числа A и B имеют одну и ту же сумму цифр S. Поскольку разности A–S и B–S делятся на 9 (см. решение предыдущей задачи), следует, что и C=A–B=(A–S)–(B–S) делится на 9. Таким образом, сумма цифр числа C делится на 9. Дальнейшее обоснование равносильно обоснованию решения предыдущей задачи.

4)Как отгадать два числа?

Предложите кому-нибудь задумать два числа, одно из которых превышает другое на 1, и каждое из которых не больше девяти. Затем попросите перемножить два этих числа, из произведения вычесть меньшее из чисел и результат опять умножить на меньшее из задуманных чисел. По объявленной последней цифре полученного результата вы можете назвать задуманные числа. Как их найти?

Для нахождения задуманных чисел надо запомнить таблицу:

Можно запомнить только меньшее из чисел второй строки таблицы. Если объявленная цифра равняется 1, 4, 5 или б (этими цифрами оканчиваются квадраты целых чисел), то она совпадает с меньшим из задуманных чисел. В остальных случаях меньшее из задуманных чисел равно дополнению объявленной цифры до 10.

Обоснование:

Пусть задуманы числа k и k+1, где 1 ? k ? 8. Тогда произведение этих чисел равно k (k+1) = k2 + k.

Если из последнего результата вычесть меньшее из чисел – k, то получим k2. Возводя последовательно числа от 1 до 8 в куб, получаем:

13 = 1

23 = 8

33 = 27

43 = 64

53 = 125

63 = 216

73 = 343

83 = 512.

Каждое из полученных чисел оканчивается на одну из цифр от 1 до 8, и никакие два числа не оканчиваются на одну и ту же цифру. Поэтому, если помнить таблицу кубов чисел от 1 до 8, то по последней цифре куба некоторого числа можно сказать, какое число возводилось в куб.

5)Как найти задуманное число?

Предложите кому-нибудь задумать не очень большое число и умножить его на само себя. К полученному результату попросите прибавить удвоенное задуманное число и еще 1. По объявленному результату арифметических действий вы можете назвать задуманное число. Как это сделать?

Для нахождения задуманного числа надо из объявленного результата извлечь квадратный корень, а затем вычесть 1.

Обоснование:

Пусть кто-либо задумал число k. После предложенных арифметических действий получается число k•k + 2•k + 1 = (k+1)2.

Это число и будет объявлено.

6)Как найти цифру?

Записав число, сумма цифр которого делится на 9, и отвернувшись, предложите кому-нибудь умножить его на любое число. В полученном произведении предложите зачеркнуть любую из цифр, кроме нуля, а оставшиеся цифры переставить в произвольном порядке. После объявления результата указанных действий вы можете указать, какая цифра была зачеркнута. Как найти зачеркнутую цифру?

Зачеркнутая цифра есть то наименьшее натуральное число, которое нужно добавить к сумме цифр объявленного числа, чтобы получить число, делящееся на 9. Если сумма цифр объявленного числа уже делится на 9, то была вычеркнута цифра 9.

Обоснование:

Способ угадывания опирается на то, что разность между любым числом и суммой его цифр всегда делится на 9.

Пусть A = = 10n•an+10n-1•an-1+ ... +10•a1+a0 – натуральное число, записанное с помощью (n+1) цифры. Разность между этим числом и суммой его цифр равна:

то есть, делится на 9.

Аргументация способа угадывания.

Пусть B – число, записанное вами, сумма цифр которого делится на 9. Из сказанного следует, что и число B делится на 9. После того как это число было умножено на любое целое число, получаем число C, которое также делится на 9. Таким образом, сумма цифр числа C делится на 9. Если вычеркиваем цифру m числа C, тогда сумма цифр числа D, полученного в результате, будет на m меньше, чем сумма цифр числа C.

Поскольку в результате перестановки цифр сумма их не меняется, то зачеркнутая цифра (0 не вычеркивается) всегда будет равна наименьшему натуральному числу, которое необходимо прибавить к сумме цифр полученного результата, чтобы получить число, делящееся на 9.