Логические операции

Высказывания и оперции с ними

Определения и составление таблиц истинности

Основные понятия

Математическая логика – наука, которая изучает математические доказательства

Основное понятие

Высказывание – любое утверждение, относительно которого можно сказать что оно истинно или ложно

Например :

• Число 3 – натуральное
• 20

Обозначение:

• А ≡ { Москва – столица России } – истинное высказывание
• В ≡ { 7

Обозначение истинности/ложности высказывания:

Любое высказывание является или истинным, или ложным.

Если высказывание А истинно, то ему поставлено в соответствие число 1 (или И), если высказывание А ложно – то число 0 (или Л).

Функция истинности

Если задано некоторое множество высказываний, то можно рассматривать функцию f , областью определения является это множество, а областью значений – множество { 1; 0 }

Устный счет:

Устный счет:

Операции с высказываниями

Операции с высказываниями

Конъюнкцией (или логическим произведением) двух высказываний А и В называют высказывание, которое истинно, если каждое из высказываний А и В истинно, и ложно, если хотя бы одно из них ложно.

А ˄ В (читают: «А и В», «А конъюнкция В»)

Таблица истинности

Конъюнкция

Операции с высказываниями

Дизъюнкцией (или логической суммой) двух высказываний А и В называют высказывание, которое истинно, если хотя бы одно из высказываний – А или В истинно, и ложно, если они оба ложны.

А ˅ В (читают: «А или В»,

«А дизъюнкция В»)

Таблица истинности

Дизъюнкция

Операции с высказываниями

Импликацией (или логическим следованием) двух высказываний А и В называют высказывание, которое ложно при условии, что высказывание А истинно, а высказывание В ложно, а во всех остальных случаях оно истинно.

А В (читают: «если А, то В»)

А – условие импликации, В – вывод импликации

Таблица истинности

Импликация

Операции с высказываниями

Эквивалентностью (или двойной импликацией) двух высказываний А и В называют высказывание, которое истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба ложны, и ложно, если одно из них истинно, а другое ложно.

А В (читают: «А эквивалентно В»; «А тогда и только тогда, когда В»)

Таблица истинности

Эквиваленость

Операции с высказываниями

Отрицанием высказываня А называют высказывание, которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, если высказывание А истинно.

Ā (читают: «не А» или «неверно, что А»)

Таблица истинности

Отрицание

Замечание:

Комбинируя между собой логические операции, можно получить логические выражения.

Например: (А˅В)˄С, Ā → В

Решаем из дидактики:

А

В

А^ В

А V В

А → В

А ↔ В

A̅

B̅

Домашняя работа:

Выучить определения