Квадратные уравнения

Фамилия, имя:

Класс:

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – это уравнение вида

a + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c –

некоторые числа, причём a ≠ 0 Числа a, b и

c – коэффициенты квадратного уравнения.

Число a называют первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, а число c –свободным членом .

1

Назовите коэффициенты уравнения:

а) 5 +5x+32=0,

б) 7 -15x=0,

в) +24x – 3,5=0,

г) 3x -7 +4=0.

Помните! Коэффициент a всегда стоит перед , коэффициент b – перед х, коэффициент c не имеет буквенного множителя!

Составьте квадратные уравнения, если известны их коэффициенты:

2

а) а = 1 7, b = 3, c = 0,

б) а = 1, b = 5,5, c = –1,

в) а = -5, b = 0, c = –8.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведённым квадратным уравнением .

Примеры приведённого квадратного уравнения:

+ 10 x – 11 = 0

– x – 12 = 0

– 6 х + 5 = 0

Если в квадратном уравнении a + bx + c = 0 хотя бы один

из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение

называют неполным квадратным уравнением .

Корнями квадратного уравнения называют такие значения

переменной, при которых квадратное уравнение обращается

в верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.

0 , то квадратное уравнение имеет два корня: если D 0 , то квадратное уравнение имеет два корня: = = Пример. Сколько корней имеет квадратное уравнение:   а) 2 +5x+3=0, a=2, b=5, c=3 Решение: D = – 4аc = - 4·2·3= 25-24= 10, два корня б) 4 - 5x+7=0, a=4, b= -5, c=7 Решение: D = – 4аc = - 4·4·7= 25-112= = - 87в) – 4x + 4=0, a=1, b=-4, c=4 Решение: D = – 4аc = -4·1·4= 16-16= = 0, один корень г) 4 -5x=0, a=4, b= -5, c=0 Решение: D = – 4аc =-4*4*0=250, два корня" width="640"

Алгоритм решения полного квадратного уравнения:

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

• Записываем значения: а= ;b= ; c= ;
• Находим дискриминант по формуле: 𝐷 = − 4 𝑎𝑐 ;
• Далее возможно три варианта решения:

• если D
• если D

• если D = 0 , то квадратное уравнение имеет один корень
• если D = 0 , то квадратное уравнение имеет один корень

- b

• если D 0 , то квадратное уравнение имеет два корня:
• если D 0 , то квадратное уравнение имеет два корня:

=

=

Пример. Сколько корней имеет квадратное уравнение:

а) 2 +5x+3=0, a=2, b=5, c=3

Решение: D = – 4аc = - 4·2·3= 25-24= 10, два корня

б) 4 - 5x+7=0, a=4, b= -5, c=7

Решение: D = – 4аc = - 4·4·7= 25-112=

= - 87

в) – 4x + 4=0, a=1, b=-4, c=4

Решение: D = – 4аc = -4·1·4= 16-16= = 0, один корень

г) 4 -5x=0, a=4, b= -5, c=0

Решение: D = – 4аc =-4*4*0=250, два корня

0, два корня   Пример 2. Решите уравнение: б) – 4x + 4=0, a=1, b=-4, c=4   Решение: D = – 4аc =-4·1·4=16-16=0, один корень  " width="640"

Вычислите дискриминант уравнения и ответьте на следующие вопросы:

1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеет, то сколько

3

а) 12 + 7 x + 1 = 0 ,

б) 5 – 16 x + 3 = 0,

в) 4 – 4 x + 1 = 0,

г ) 5 – 2 x + 3 = 0.

Пример 1. Решите уравнение:

а) 2 +5x+3=0, a=2, b=5, c=3

Решение: D = – 4аc = -4·2·3=25-24=10, два корня

Пример 2. Решите уравнение:

б) – 4x + 4=0, a=1, b=-4, c=4

Решение: D = – 4аc =-4·1·4=16-16=0, один корень

Решите уравнения в тетради:

4

а) - 0,5 + 10x - 50 = 0;

б ) 7 - 8x + 2 = 0;

в) - 1,5 - x =0;

г) - - x + 20 = 0;

д) – 4 x + 5 = 0;

е) 2 - 4x + 3 = 0.

Не выполняя построения, найдите точки пересечения параболы

и прямой

5

6

Разгадайте кроссворд, затем ответите на вопрос:

В каком древнем городе ещё около 2000 лет до н.э. первыми научились решать квадратные уравнения?

• Как называется уравнение вида а + b х+с=0?
• Название выражения - 4ас
• Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D 0 ?
• Сколько коней имеет квадратное уравнение если D=0 ?
• Чему равен корень уравнения а = 0 ?
• Как называется квадратное уравнение, где коэффициенты b или c равны нулю?
• Как называется квадратное уравнение, в котором первый коэффициент а =1?

Ответы к заданиям:

1

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Коэффициенты

Коэффициенты

a

a

b

5

5

b

7

c

5

5

7

c

1

-15

32

-15

32

1

24

-7

0

24

-7

0

3

-3,5

-3,5

3

4

4

2

Коэффициенты

Коэффициенты

a

a

17

17

b

b

1

1

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

3

3

c

c

-5

-5

0

0

5,5

5,5

0

0

-1

-1

- 8

- 8

3

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Дискриминант, количество корней

Дискриминант, количество корней

D=1, два различных корня

D=1, два различных корня

D=14, два различных корня

D=14, два различных корня

D=0, два одинаковых корня или один

D=0, два одинаковых корня или один

D

D

.

4

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Корни квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения

х = 10

х = 10

х = 0, х = -2/3

х = 0, х = -2/3

х = -5; х = 4

х = -5; х = 4

нет действительных корней

нет действительных корней

нет действительных корней

нет действительных корней

Ответы к заданиям:

5

Решение системы уравнений:

Решение квадратного уравнения:

По теореме, обратной теореме Виета, получаем корни уравнения: -2; 5. При х= -2 у= 4, при х= 5 у= 25.

Ответ: (-2;4); (5;25)

6

Слово: ВАВИЛОН

• квадратное; 2. дискриминант; 3. два; 4. один; 5. нуль;

6. неполное; 7.приведённое

.