kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Компланарные векторы

Нажмите, чтобы узнать подробности

Используйте презентацию при объяснении нового материала

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Компланарные векторы»

Компланарные векторы Рисунки Савченко Е.М. Рисунки в презентации выполнены с помощью инструментов панели рисования программы Microsoft PowerPoint. Л.С. Атанасян

Компланарные

векторы

Рисунки Савченко Е.М. Рисунки в презентации выполнены с помощью инструментов панели рисования программы Microsoft PowerPoint.

Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11"

Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.  Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. c c «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. a Любые два вектора компланарны. 2 2

Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

c

c

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

a

Любые два вектора компланарны.

2

2

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. c k «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. a 3 3

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

c

k

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

a

3

3

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.  Являются ли векторы ВВ 1 ,  ОD и ОЕ компланарными? B 1 D C «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. Е В О А 4 4

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.

На рисунке изображен параллелепипед.

Являются ли векторы ВВ 1 ,

ОD и ОЕ компланарными?

B 1

D

C

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Е

В

О

А

4

4

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.  Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарными? B 1 D C Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. Е В А О 5 5

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.

Являются ли векторы ОА,

ОВ и ОС компланарными?

B 1

D

C

Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор

ОС не лежит в плоскости ОАВ.

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Е

В

А

О

5

5

Являются ли векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B компланарными? D 1 C 1 A 1 Векторы А 1 D 1 , A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1 . Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости. B 1 D C A B  Векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B не компланарны. 6 6

Являются ли векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B компланарными?

D 1

C 1

A 1

Векторы А 1 D 1 , A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1 .

Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости.

B 1

D

C

A

B

Векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B не компланарны.

6

6

Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными? Любые два вектора компланарны. D 1 C 1 A 1 B 1 D C A B 7 7

Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными?

Любые два вектора компланарны.

D 1

C 1

A 1

B 1

D

C

A

B

7

7

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Компланарны ли векторы?  Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.  АА 1 , СС 1 , ВВ 1 В 1 С 1 А 1 D 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. В С А D 8 8

355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Три вектора, среди которых имеются

два коллинеарных, компланарны.

АА 1 , СС 1 , ВВ 1

В 1

С 1

А 1

D 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

В

С

А

D

8

8

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Компланарны ли векторы? Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.  АВ, АD, АА 1 В 1 С 1 А 1 D 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. В С А D 9 9

355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так

как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.

АВ, АD, АА 1

В 1

С 1

А 1

D 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

В

С

А

D

9

9

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Компланарны ли векторы?  Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.  В 1 В, АС, DD 1 В 1 С 1 А 1 D 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. В С А D 10 10

355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Три вектора, среди которых имеются

два коллинеарных, компланарны.

В 1 В, АС, DD 1

В 1

С 1

А 1

D 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

В

С

А

D

10

10

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Компланарны ли векторы? Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.  АD, CC 1 , А 1 B 1 В 1 С 1 А 1 D 1  АD, CC 1 , А 1 B 1 Векторы не компланарны «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. В С А D 11 11

355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так

как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.

АD, CC 1 , А 1 B 1

В 1

С 1

А 1

D 1

АD, CC 1 , А 1 B 1

Векторы

не компланарны

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

В

С

А

D

11

11

Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Признак компланарности c Если вектор можно разложить по векторам   и , т.е. представить в виде  где x и y – некоторые числа, то векторы , и  компланарны. a c = xa + yb b «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. a b c 12 12

Любые два вектора компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

Признак компланарности

c

Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.

a

c = xa + yb

b

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

a

b

c

12

12

С c = xa + yb a В 1 Докажем, что векторы компланарны. c b А 1 В А О «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. ОВ 1 = у ОВ ОА 1 = х ОА Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,  равный вектору . c 13 13

С

c = xa + yb

a

В 1

Докажем, что векторы компланарны.

c

b

А 1

В

А

О

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.

ОВ 1 = у ОВ

ОА 1 = х ОА

Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ.

А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,

равный вектору .

c

13

13

Справедливо и обратное утверждение. Признак компланарности a b c c Если векторы , и компланарны, а векторы   и не коллинеарны, то вектор можно  разложить по векторам и   , причем  коэффициенты разложения определяются  единственным образом. Если вектор можно разложить по векторам   и , т.е. представить в виде  где x и y – некоторые числа, то векторы , и  компланарны. c b a c = xa + yb a b a b a b c c = xa + yb «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. 14 14

Справедливо и обратное утверждение.

Признак компланарности

a

b

c

c

Если векторы , и компланарны, а векторы

и не коллинеарны, то вектор можно

разложить по векторам и

, причем

коэффициенты разложения определяются

единственным образом.

Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.

c

b

a

c = xa + yb

a

b

a

b

a

b

c

c = xa + yb

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

14

14

Сложение векторов.  Правило треугольника. АВ + ВС = П АС О В Т О Р И М  a + b b a b a 15 15

Сложение векторов.

Правило треугольника.

АВ + ВС =

П

АС

О

В

Т

О

Р

И

М

a +

b

b

a

b

a

15

15

Сложение векторов. Правило параллелограмма. П О В Т О Р И М  a + АС АВ + АD = b В b b a + b А C a D a 16 16

Сложение векторов. Правило параллелограмма.

П

О

В

Т

О

Р

И

М

a +

АС

АВ + АD =

b

В

b

b

a +

b

А

C

a

D

a

16

16

a+c+m+n  Сложение векторов.  Правило многоугольника. П О В Т О Р И М  АВ + ВС + СD + DO = АO n m a m n c c a 17 17

a+c+m+n

Сложение векторов.

Правило многоугольника.

П

О

В

Т

О

Р

И

М

АВ + ВС + СD + DO

= АO

n

m

a

m

n

c

c

a

17

17

Правило параллелепипеда.  OA + OB + OC = OD из OED из OAE = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = OE + ED OD = = a + b + c D В 1  С c «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. Е В b a A О 18 18

Правило параллелепипеда.

OA + OB + OC = OD

из OED

из OAE

= (OA + AE) + ED

= OA + OB + OC =

OE + ED

OD =

= a + b + c

D

В 1

С

c

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Е

В

b

a

A

О

18

18

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа , и называются коэффициентами разложения. p = xa + yb + zc z y p x c z b a y x Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.  Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. 19 19

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде

где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор

разложен по векторам , и . Числа , и

называются коэффициентами разложения.

p = xa + yb + zc

z

y

p

x

c

z

b

a

y

x

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам.

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

19

19

По правилу многоугольника ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р p Докажем, что любой вектор можно представить в виде ОР 2 = x OA ОР = x OA + y OB + z OC p = xa + yb + zc p = xa + yb + zc Р 2 Р 1 = у OВ Р 1 Р  = z OC a P b b c c C p p «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. B P 1 P 2 a A O 20 20

По правилу многоугольника

ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р

p

Докажем, что любой вектор можно представить в виде

ОР 2 = x OA

ОР = x OA + y OB + z OC

p = xa + yb + zc

p = xa + yb + zc

Р 2 Р 1 = у OВ

Р 1 Р = z OC

a

P

b

b

c

c

C

p

p

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

B

P 1

P 2

a

A

O

20

20

Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора p = xa + yb + zc p = x 1 a + y 1 b + z 1 c – Это равенство выполняется только тогда,  когда o o o o = (x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c Если предположить, например, что , то из этого равенства можно найти «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и  Следовательно, коэффициенты  разложения определяются  единственным образом. 21 21

Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора

p = xa + yb + zc

p = x 1 a + y 1 b + z 1 c

Это равенство выполняется только тогда,

когда

o

o

o

o = (x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c

Если предположить, например, что , то из этого

равенства можно найти

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно,

и

Следовательно, коэффициенты

разложения определяются

единственным образом.

21

21

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:  АВ + АD + АА 1  = AC 1 D 1 C 1  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 22 22

358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

АВ + АD + АА 1

= AC 1

D 1

C 1

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

22

22

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: DА + DC + DD 1  = DB 1 D 1 C 1  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 23 23

358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

DА + DC + DD 1

= DB 1

D 1

C 1

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

23

23

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1 D 1 C 1  = DB 1 DC + DD 1 + DA  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 24 24

358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1

D 1

C 1

= DB 1

DC

+ DD 1

+ DA

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

24

24

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 A + A 1 D 1 + AB D 1 C 1 + A 1 B 1  = A 1 C A 1 A + A 1 D 1  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 25 25

358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

A 1 A + A 1 D 1 + AB

D 1

C 1

+ A 1 B 1

= A 1 C

A 1 A + A 1 D 1

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

25

25

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: B 1 A 1 + BB 1 + BC D 1 C 1  = BD 1  BA + BB 1 + BC  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 26 26

358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

B 1 A 1 + BB 1 + BC

D 1

C 1

= BD 1

BA +

BB 1 + BC

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

26

26

№ 359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Разложите вектор BD 1 по векторам BA, ВС и ВВ 1 . ВD 1 = BA + BC + BB 1 По правилу параллелепипеда D 1 C 1  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 27 27

359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Разложите вектор BD 1 по векторам BA, ВС и ВВ 1 .

ВD 1 = BA + BC + BB 1

По правилу параллелепипеда

D 1

C 1

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

27

27

№ 359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A, А 1 В и А 1 D 1 . По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 : D 1 C 1 = В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1  из А 1 В 1 B  A 1  B 1 = (В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1  = «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. = (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1  = D С = A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1  A В 28 28

359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A, А 1 В и А 1 D 1 .

По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 :

D 1

C 1

=

В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1

из А 1 В 1 B

A 1

B 1

= (В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1

=

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

= (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1

=

D

С

= A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1

A

В

28

28


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Компланарные векторы

Автор: Щекинова Майя Николаевна

Дата: 07.06.2022

Номер свидетельства: 609072

Похожие файлы

object(ArrayObject)#861 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(40) "Компланарные векторы "
    ["seo_title"] => string(22) "komplanarnyie-viektory"
    ["file_id"] => string(6) "114038"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1411232725"
  }
}
object(ArrayObject)#883 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(85) "обобщающий урок по теме "Координаты и векторы" "
    ["seo_title"] => string(54) "obobshchaiushchii-urok-po-tiemie-koordinaty-i-viektory"
    ["file_id"] => string(6) "201885"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1429128303"
  }
}
object(ArrayObject)#861 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(71) "Зачет по теме " Векторы в пространстве" "
    ["seo_title"] => string(42) "zachiet-po-tiemie-viektory-v-prostranstvie"
    ["file_id"] => string(6) "211908"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1431699899"
  }
}
object(ArrayObject)#883 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(77) "Урок-презентация "Векторы в пространстве" "
    ["seo_title"] => string(45) "urok-priezientatsiia-viektory-v-prostranstvie"
    ["file_id"] => string(6) "127727"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1415366536"
  }
}
object(ArrayObject)#861 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(94) "Рабочая программа по курсу математика для 11 класса "
    ["seo_title"] => string(56) "rabochaia-proghramma-po-kursu-matiematika-dlia-11-klassa"
    ["file_id"] => string(6) "241393"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1445245000"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства