kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Компланарные векторы

Нажмите, чтобы узнать подробности

Используйте презентацию при объяснении нового материала

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Компланарные векторы»

Компланарные векторы Рисунки Савченко Е.М. Рисунки в презентации выполнены с помощью инструментов панели рисования программы Microsoft PowerPoint. Л.С. Атанасян

Компланарные

векторы

Рисунки Савченко Е.М. Рисунки в презентации выполнены с помощью инструментов панели рисования программы Microsoft PowerPoint.

Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11"

Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.  Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. c c «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. a Любые два вектора компланарны. 2 2

Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

c

c

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

a

Любые два вектора компланарны.

2

2

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. c k «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. a 3 3

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

c

k

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

a

3

3

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.  Являются ли векторы ВВ 1 ,  ОD и ОЕ компланарными? B 1 D C «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. Е В О А 4 4

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.

На рисунке изображен параллелепипед.

Являются ли векторы ВВ 1 ,

ОD и ОЕ компланарными?

B 1

D

C

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Е

В

О

А

4

4

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.  Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарными? B 1 D C Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. Е В А О 5 5

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.

Являются ли векторы ОА,

ОВ и ОС компланарными?

B 1

D

C

Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор

ОС не лежит в плоскости ОАВ.

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Е

В

А

О

5

5

Являются ли векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B компланарными? D 1 C 1 A 1 Векторы А 1 D 1 , A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1 . Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости. B 1 D C A B  Векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B не компланарны. 6 6

Являются ли векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B компланарными?

D 1

C 1

A 1

Векторы А 1 D 1 , A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1 .

Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости.

B 1

D

C

A

B

Векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B не компланарны.

6

6

Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными? Любые два вектора компланарны. D 1 C 1 A 1 B 1 D C A B 7 7

Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными?

Любые два вектора компланарны.

D 1

C 1

A 1

B 1

D

C

A

B

7

7

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Компланарны ли векторы?  Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.  АА 1 , СС 1 , ВВ 1 В 1 С 1 А 1 D 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. В С А D 8 8

355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Три вектора, среди которых имеются

два коллинеарных, компланарны.

АА 1 , СС 1 , ВВ 1

В 1

С 1

А 1

D 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

В

С

А

D

8

8

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Компланарны ли векторы? Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.  АВ, АD, АА 1 В 1 С 1 А 1 D 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. В С А D 9 9

355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так

как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.

АВ, АD, АА 1

В 1

С 1

А 1

D 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

В

С

А

D

9

9

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Компланарны ли векторы?  Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.  В 1 В, АС, DD 1 В 1 С 1 А 1 D 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. В С А D 10 10

355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Три вектора, среди которых имеются

два коллинеарных, компланарны.

В 1 В, АС, DD 1

В 1

С 1

А 1

D 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

В

С

А

D

10

10

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Компланарны ли векторы? Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.  АD, CC 1 , А 1 B 1 В 1 С 1 А 1 D 1  АD, CC 1 , А 1 B 1 Векторы не компланарны «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. В С А D 11 11

355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так

как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.

АD, CC 1 , А 1 B 1

В 1

С 1

А 1

D 1

АD, CC 1 , А 1 B 1

Векторы

не компланарны

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

В

С

А

D

11

11

Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Признак компланарности c Если вектор можно разложить по векторам   и , т.е. представить в виде  где x и y – некоторые числа, то векторы , и  компланарны. a c = xa + yb b «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. a b c 12 12

Любые два вектора компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

Признак компланарности

c

Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.

a

c = xa + yb

b

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

a

b

c

12

12

С c = xa + yb a В 1 Докажем, что векторы компланарны. c b А 1 В А О «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. ОВ 1 = у ОВ ОА 1 = х ОА Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,  равный вектору . c 13 13

С

c = xa + yb

a

В 1

Докажем, что векторы компланарны.

c

b

А 1

В

А

О

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.

ОВ 1 = у ОВ

ОА 1 = х ОА

Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ.

А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,

равный вектору .

c

13

13

Справедливо и обратное утверждение. Признак компланарности a b c c Если векторы , и компланарны, а векторы   и не коллинеарны, то вектор можно  разложить по векторам и   , причем  коэффициенты разложения определяются  единственным образом. Если вектор можно разложить по векторам   и , т.е. представить в виде  где x и y – некоторые числа, то векторы , и  компланарны. c b a c = xa + yb a b a b a b c c = xa + yb «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. 14 14

Справедливо и обратное утверждение.

Признак компланарности

a

b

c

c

Если векторы , и компланарны, а векторы

и не коллинеарны, то вектор можно

разложить по векторам и

, причем

коэффициенты разложения определяются

единственным образом.

Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.

c

b

a

c = xa + yb

a

b

a

b

a

b

c

c = xa + yb

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

14

14

Сложение векторов.  Правило треугольника. АВ + ВС = П АС О В Т О Р И М  a + b b a b a 15 15

Сложение векторов.

Правило треугольника.

АВ + ВС =

П

АС

О

В

Т

О

Р

И

М

a +

b

b

a

b

a

15

15

Сложение векторов. Правило параллелограмма. П О В Т О Р И М  a + АС АВ + АD = b В b b a + b А C a D a 16 16

Сложение векторов. Правило параллелограмма.

П

О

В

Т

О

Р

И

М

a +

АС

АВ + АD =

b

В

b

b

a +

b

А

C

a

D

a

16

16

a+c+m+n  Сложение векторов.  Правило многоугольника. П О В Т О Р И М  АВ + ВС + СD + DO = АO n m a m n c c a 17 17

a+c+m+n

Сложение векторов.

Правило многоугольника.

П

О

В

Т

О

Р

И

М

АВ + ВС + СD + DO

= АO

n

m

a

m

n

c

c

a

17

17

Правило параллелепипеда.  OA + OB + OC = OD из OED из OAE = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = OE + ED OD = = a + b + c D В 1  С c «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. Е В b a A О 18 18

Правило параллелепипеда.

OA + OB + OC = OD

из OED

из OAE

= (OA + AE) + ED

= OA + OB + OC =

OE + ED

OD =

= a + b + c

D

В 1

С

c

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Е

В

b

a

A

О

18

18

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа , и называются коэффициентами разложения. p = xa + yb + zc z y p x c z b a y x Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам. «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.  Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. 19 19

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде

где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор

разложен по векторам , и . Числа , и

называются коэффициентами разложения.

p = xa + yb + zc

z

y

p

x

c

z

b

a

y

x

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам.

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

19

19

По правилу многоугольника ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р p Докажем, что любой вектор можно представить в виде ОР 2 = x OA ОР = x OA + y OB + z OC p = xa + yb + zc p = xa + yb + zc Р 2 Р 1 = у OВ Р 1 Р  = z OC a P b b c c C p p «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. B P 1 P 2 a A O 20 20

По правилу многоугольника

ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р

p

Докажем, что любой вектор можно представить в виде

ОР 2 = x OA

ОР = x OA + y OB + z OC

p = xa + yb + zc

p = xa + yb + zc

Р 2 Р 1 = у OВ

Р 1 Р = z OC

a

P

b

b

c

c

C

p

p

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

B

P 1

P 2

a

A

O

20

20

Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора p = xa + yb + zc p = x 1 a + y 1 b + z 1 c – Это равенство выполняется только тогда,  когда o o o o = (x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c Если предположить, например, что , то из этого равенства можно найти «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и  Следовательно, коэффициенты  разложения определяются  единственным образом. 21 21

Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора

p = xa + yb + zc

p = x 1 a + y 1 b + z 1 c

Это равенство выполняется только тогда,

когда

o

o

o

o = (x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c

Если предположить, например, что , то из этого

равенства можно найти

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно,

и

Следовательно, коэффициенты

разложения определяются

единственным образом.

21

21

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:  АВ + АD + АА 1  = AC 1 D 1 C 1  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 22 22

358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

АВ + АD + АА 1

= AC 1

D 1

C 1

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

22

22

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: DА + DC + DD 1  = DB 1 D 1 C 1  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 23 23

358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

DА + DC + DD 1

= DB 1

D 1

C 1

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

23

23

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1 D 1 C 1  = DB 1 DC + DD 1 + DA  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 24 24

358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1

D 1

C 1

= DB 1

DC

+ DD 1

+ DA

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

24

24

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 A + A 1 D 1 + AB D 1 C 1 + A 1 B 1  = A 1 C A 1 A + A 1 D 1  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 25 25

358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

A 1 A + A 1 D 1 + AB

D 1

C 1

+ A 1 B 1

= A 1 C

A 1 A + A 1 D 1

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

25

25

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: B 1 A 1 + BB 1 + BC D 1 C 1  = BD 1  BA + BB 1 + BC  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 26 26

358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

B 1 A 1 + BB 1 + BC

D 1

C 1

= BD 1

BA +

BB 1 + BC

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

26

26

№ 359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Разложите вектор BD 1 по векторам BA, ВС и ВВ 1 . ВD 1 = BA + BC + BB 1 По правилу параллелепипеда D 1 C 1  A 1  B 1 «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. D С A В 27 27

359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Разложите вектор BD 1 по векторам BA, ВС и ВВ 1 .

ВD 1 = BA + BC + BB 1

По правилу параллелепипеда

D 1

C 1

A 1

B 1

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

D

С

A

В

27

27

№ 359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .  Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A, А 1 В и А 1 D 1 . По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 : D 1 C 1 = В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1  из А 1 В 1 B  A 1  B 1 = (В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1  = «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др. = (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1  = D С = A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1  A В 28 28

359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .

Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A, А 1 В и А 1 D 1 .

По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 :

D 1

C 1

=

В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1

из А 1 В 1 B

A 1

B 1

= (В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1

=

«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.

= (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1

=

D

С

= A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1

A

В

28

28


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Компланарные векторы

Автор: Щекинова Майя Николаевна

Дата: 07.06.2022

Номер свидетельства: 609072

Похожие файлы

object(ArrayObject)#861 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(40) "Компланарные векторы "
    ["seo_title"] => string(22) "komplanarnyie-viektory"
    ["file_id"] => string(6) "114038"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1411232725"
  }
}
object(ArrayObject)#883 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(85) "обобщающий урок по теме "Координаты и векторы" "
    ["seo_title"] => string(54) "obobshchaiushchii-urok-po-tiemie-koordinaty-i-viektory"
    ["file_id"] => string(6) "201885"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1429128303"
  }
}
object(ArrayObject)#861 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(71) "Зачет по теме " Векторы в пространстве" "
    ["seo_title"] => string(42) "zachiet-po-tiemie-viektory-v-prostranstvie"
    ["file_id"] => string(6) "211908"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1431699899"
  }
}
object(ArrayObject)#883 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(77) "Урок-презентация "Векторы в пространстве" "
    ["seo_title"] => string(45) "urok-priezientatsiia-viektory-v-prostranstvie"
    ["file_id"] => string(6) "127727"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1415366536"
  }
}
object(ArrayObject)#861 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(94) "Рабочая программа по курсу математика для 11 класса "
    ["seo_title"] => string(56) "rabochaia-proghramma-po-kursu-matiematika-dlia-11-klassa"
    ["file_id"] => string(6) "241393"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1445245000"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1490 руб.
2130 руб.
1360 руб.
1940 руб.
1750 руб.
2500 руб.
1750 руб.
2500 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Проверка свидетельства