Используйте презентацию при объяснении нового материала
Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей
Компланарные векторы
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.
Просмотр содержимого документа
«Компланарные векторы»
Компланарные
векторы
Рисунки Савченко Е.М. Рисунки в презентации выполнены с помощью инструментов панели рисования программы Microsoft PowerPoint.
Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11"
Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
c
c
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
a
Любые два вектора компланарны.
2
2
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.
c
k
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
a
3
3
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.
На рисунке изображен параллелепипед.
Являются ли векторы ВВ 1 ,
ОD и ОЕ компланарными?
B 1
D
C
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
Е
В
О
А
4
4
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.
Являются ли векторы ОА,
ОВ и ОС компланарными?
B 1
D
C
Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор
ОС не лежит в плоскости ОАВ.
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
Е
В
А
О
5
5
Являются ли векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B компланарными?
D 1
C 1
A 1
Векторы А 1 D 1 , A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1 .
Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости.
B 1
D
C
A
B
Векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B не компланарны.
6
6
Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными?
Любые два вектора компланарны.
D 1
C 1
A 1
B 1
D
C
A
B
7
7
№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .
Компланарны ли векторы?
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
АА 1 , СС 1 , ВВ 1
В 1
С 1
А 1
D 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
В
С
А
D
8
8
№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .
Компланарны ли векторы?
Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так
как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.
АВ, АD, АА 1
В 1
С 1
А 1
D 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
В
С
А
D
9
9
№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .
Компланарны ли векторы?
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
В 1 В, АС, DD 1
В 1
С 1
А 1
D 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
В
С
А
D
10
10
№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .
Компланарны ли векторы?
Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так
как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.
АD, CC 1 , А 1 B 1
В 1
С 1
А 1
D 1
АD, CC 1 , А 1 B 1
Векторы
не компланарны
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
В
С
А
D
11
11
Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.
Признак компланарности
c
Если вектор можно разложить по векторам
и , т.е. представить в виде
где x и y – некоторые числа, то векторы , и
компланарны.
a
c = xa + yb
b
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
a
b
c
12
12
С
c = xa + yb
a
В 1
Докажем, что векторы компланарны.
c
b
А 1
В
А
О
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.
ОВ 1 = у ОВ
ОА 1 = х ОА
Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ.
А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,
равный вектору .
c
13
13
Справедливо и обратное утверждение.
Признак компланарности
a
b
c
c
Если векторы , и компланарны, а векторы
и не коллинеарны, то вектор можно
разложить по векторам и
, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.
Если вектор можно разложить по векторам
и , т.е. представить в виде
где x и y – некоторые числа, то векторы , и
компланарны.
c
b
a
c = xa + yb
a
b
a
b
a
b
c
c = xa + yb
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
14
14
Сложение векторов.
Правило треугольника.
АВ + ВС =
П
АС
О
В
Т
О
Р
И
М
a +
b
b
a
b
a
15
15
Сложение векторов. Правило параллелограмма.
П
О
В
Т
О
Р
И
М
a +
АС
АВ + АD =
b
В
b
b
a +
b
А
C
a
D
a
16
16
a+c+m+n
Сложение векторов.
Правило многоугольника.
П
О
В
Т
О
Р
И
М
АВ + ВС + СD + DO
= АO
n
m
a
m
n
c
c
a
17
17
Правило параллелепипеда.
OA + OB + OC = OD
из OED
из OAE
= (OA + AE) + ED
= OA + OB + OC =
OE + ED
OD =
= a + b + c
D
В 1
С
c
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
Е
В
b
a
A
О
18
18
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде
где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор
разложен по векторам , и . Числа , и
называются коэффициентами разложения.
p = xa + yb + zc
z
y
p
x
c
z
b
a
y
x
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам.
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
19
19
По правилу многоугольника
ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р
p
Докажем, что любой вектор можно представить в виде
ОР 2 = x OA
ОР = x OA + y OB + z OC
p = xa + yb + zc
p = xa + yb + zc
Р 2 Р 1 = у OВ
Р 1 Р = z OC
a
P
b
b
c
c
C
p
p
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
B
P 1
P 2
a
A
O
20
20
Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора
p = xa + yb + zc
p = x 1 a + y 1 b + z 1 c
–
Это равенство выполняется только тогда,
когда
o
o
o
o = (x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c
Если предположить, например, что , то из этого
равенства можно найти
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно,
и
Следовательно, коэффициенты
разложения определяются
единственным образом.
21
21
№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
АВ + АD + АА 1
= AC 1
D 1
C 1
A 1
B 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
D
С
A
В
22
22
№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
DА + DC + DD 1
= DB 1
D 1
C 1
A 1
B 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
D
С
A
В
23
23
№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1
D 1
C 1
= DB 1
DC
+ DD 1
+ DA
A 1
B 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
D
С
A
В
24
24
№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
A 1 A + A 1 D 1 + AB
D 1
C 1
+ A 1 B 1
= A 1 C
A 1 A + A 1 D 1
A 1
B 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
D
С
A
В
25
25
№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
B 1 A 1 + BB 1 + BC
D 1
C 1
= BD 1
BA +
BB 1 + BC
A 1
B 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
D
С
A
В
26
26
№ 359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .
Разложите вектор BD 1 по векторам BA, ВС и ВВ 1 .
ВD 1 = BA + BC + BB 1
По правилу параллелепипеда
D 1
C 1
A 1
B 1
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
D
С
A
В
27
27
№ 359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1 .
Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A, А 1 В и А 1 D 1 .
По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 :
D 1
C 1
=
В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1
из А 1 В 1 B
A 1
B 1
= (В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1
=
«Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян и др.
= (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1
=
D
С
= A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1
A
В
28
28
Полезное для учителя
Распродажа видеоуроков!
1670 руб.
2380 руб.
1490 руб.
2130 руб.
1460 руб.
2090 руб.
1850 руб.
2640 руб.
Курсы ПК и ППК для учителей!
500 руб.
2500 руб.
3560 руб.
17800 руб.
800 руб.
4000 руб.
800 руб.
4000 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО
* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт
Удобный поиск материалов для учителей
Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства