Обобщающий урок по теме "Координаты и векторы"

31

Пояснительная записка.

Открытия, обогащающие математику новыми понятиями, часто приходят из различных областей естествознания. Таким примером является понятие вектора, пришедшее из физики. Например, скорость, ускорение, перемещение, сила являются физическими величинами, которые имеют векторный характер.

Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши.

 Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках.

Векторы на плоскости были изучены в 9 классе в разделе “Планиметрия”. Определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия сходны с определением вектора на плоскости и связанными с ним понятиями.

Теории обучения - дидактике - известны два подхода к обучению: информационно-иллюстративный и деятельностный.

Деятельностный подход применим практически ко всем учебным предметам и предполагает своей целью включение обучающихся в учебную деятельность, обучение ее приемам.

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение - тензор.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий курса математики.

В результате изучения главы «Координаты и векторы» происходит формирование понятий прямоугольной системы координат и вектора в пространстве, равенства векторов, координат точки и вектора в пространстве , сложение, вычитание и умножение вектора на число, скалярного произведения векторов, метода координат в пространстве, решения задач.

В результате изучения параграфа все обучающиеся должны знать понятия точки и вектора в пространстве, коллинеарности и компланарности векторов, должны знать формулы для вычисления скалярного произведения векторов, угла между векторами, расстояния между двумя точками, длины вектора, решать задачи по данной теме.

Цель главы: обучающиеся должны уметь решать задачи на нахождение координат и длины вектора, угла между векторами и скалярного произведения векторов,построения в пространстве точки по заданным координатам, уметь определять коллинеарность и компланарность векторов, выполнять действия над векторами.

Проведенный урок «Обобщающий урок » входит в главу « Координаты и векторы» и является 19 по счету.

Цели урока:

1. Образовательная.

Обобщить изученный материал, проверить степень усвоения темы, продолжить закрепление формул в практической деятельности.

1. Воспитательная.

Воспитывать у обучающихся самостоятельность, формировать умения работы с формулами, решение задач.

1. Развивающая.

Развивать интерес к изучаемому предмету, самостоятельность в освоении новых знаний.

При изучении этой темы обучающиеся должны:

Знать:

• Понятие вектора в пространстве;

• Понятие прямоугольной системы координат в пространстве;

• Понятие угла между векторами;

• Формулы вычисления длин, углов, действий над векторами, скалярного произведения векторов.

Уметь:

• Строить точки;

• Вычислять длину вектора;

• Вычислять координаты вектора;

• Вычислять угол между векторами;

• Метод координат в пространстве;

• Вычислять скалярное произведение векторов.

Тип урока: проверка знаний, умений, навыков.

Тема: урок- обобщение прошедшего материала.

Содержание урока.

1. Организационный момент – 5 минут.

2. 1 тур « Ответы на вопросы» - 10 минут.

3. 2 тур «Индивидуальное задание» -10 минут.

4. 3 тур « Дописать формулы» и

«Конкурс капитанов» - 8 минут.

1. «Интересные факты из математики»- 5 минут

2. Домашнее задание – 2 минут.

3. Итог урока – 5 минут.

Ход урока.

1. Здравствуйте, садитесь. Сегодня у нас урок – обобщение по разделу «Координаты и векторы ». но проведем мы его не как традиционный урок, а как урок-игру «Математический турнир».

Цель нашего урока: обобщить изученный материал и проверить степень его усвоения в практической деятельности.

Класс я разделила на две команды , в каждой команде одинаковое количество обучающихся и одинаковые по дифференцированному подходу. Каждой команде было задано на дом придумать название команды и девиз. Итак, представляем свои команды….

Жюри, которое будет судить игру, так же выбрано из числа сильных обучающихся. Они выставляют баллы за каждый тур и в конце урока подведут итоги.

1. 1 тур «Ответы на вопросы»(приложение 1).

Каждой команде задаются по вопросу: правильный ответ-1 балл, не полный ответ-0,5 балла, за подсказку- минус 1 балл, если одна команда не отвечает на свой вопрос, то он отдается другой команде.

Вопросы 1 команде:

• Дайте определение вектора.

• Какова длина нулевого вектора?

• Какие векторы называются коллинеарными?

• Какие векторы называются противоположно направленными?

Вопросы 2 команде:

• Дайте определение нулевого вектора.

• Какова длина ненулевого вектора ?

• Какие векторы называются сонаправленными?

• Какие векторы называются равными?

Жюри подсчитывает количество баллов за тур.

1. 2 тур «Индивидуальное задание» ( приложение 2).

Каждый обучающийся получает индивидуальное задание, выполняют его и сдают на проверку жюри. Используется дифференцированный подход. Если кто то обучающие не согласны с выбором преподавателя, могут поменять карточку с заданием на более сложную или менее сложную. Жюри оценивает. За каждый правильный ответ 1 балл.

За половину ответа-0,5 балла. Жюри подсчитывает количество баллов за тур.

1. 3 тур «Дописать формулу» и «Конкурс капитанов» (приложение 3 и 4).

Объединяем два тура. Во время работы капитанов на доске, остальные обучающиеся будут проверять свои знания по формулам

Взаимопроверка по формулам :

Каждому обучающемуся розданы листочки на которых записаны формулы, их необходимо дописать.

1 вариант	2 вариант
=	d =
M(x= ;…….;……..)	= x1x2 +………….
k	=
+

Продолжить

пять минут дается на это задание. После того, как работа выполнена, обучающиеся меняются листочками - одна команда с другой и проверяют друг у друга правильность. За каждый правильный ответ 1 балл. Листочки, после проверки, отдаются жюри. Они подсчитывают количество баллов за тур.

«Конкурс капитанов»

Для этого конкурса карточки с заданиями раскладываются на столе. Задание дифференцированное. Капитаны команд выбирают по одной карточке и готовят решение на доске.

После того, как капитаны решат, жюри оценит их ответы. За каждый правильный ответ 5 баллов. Проверяю я и говорю итог жюри.

1. Пока жюри подсчитывает баллы мы послушаем интересные факты из математики. Обучающийся подготовил нам доклад (приложение 5).

2. Домашнее задание вам – подготовиться к контрольной работе по разделу «Координаты и векторы».

3. Итак, подведем итог урока: сейчас жюри скажут сколько баллов получила каждая команда и кто выиграл.

Оценки я выставлю всем по индивидуальному заданию.

Капитанам дополнительная оценка за конкурс капитанов.

Кто активно отвечал устно - тоже дополнительная оценка.

Обучающемуся за доклад так же оценка.

Итоги подведены! Спасибо за урок!

Литература.

1. Методические рекомендации к курсу геометрии 10-11 класс, по учебнику авторов Л.А. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.Издательство Москва «Просвещение», 2004 год. Составитель Саакян С.М.

2. Поурочные планы по геометрии 11 класс по учебнику авторов Л.А. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.Издательство Волгоград «Учитель», 2006 год. Составитель Г.И. Ковалева.

3. Учебник «Геометрия 10-11» Л.А. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев, Л.С. Киселев, Э.Г.Позняк, издательство Москва «Просвещение» , 2007 год.

Приложение 1.

1 тур «Ответы на вопросы»

Вопросы 1 команде:

• Дайте определение вектора.(отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом – называется вектором)

• Какова длина нулевого вектора?(длина нулевого вектора равна нулю)

• Какие векторы называются коллинеарными?(два ненулевых вектора называются коллинеарными если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых)

• Какие векторы называются противоположно направленными?(если векторы коллинеарны и не сонаправлены, то они называются противоположно направленными)

Вопросы 2 команде:

• Дайте определение нулевого вектора.(любая точка пространства может рассматриваться как нулевой вектор)

• Какова длина ненулевого вектора ?(длина ненулевого вектора АВ равна длине отрезка АВ)

• Какие векторы называются сонаправленными?(если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены в одну сторону, то такие векторы называются сонапрвленными)

• Какие векторы называются равными?(векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны)

Приложение 2.

2 тур «Индивидуальное задание»

Дифференцированный подход.

1. Задание для сильных учеников:

1. Даны векторы и . Вычислить длины векторов : , , + , -

Решение:

+

+

= =

+ + = + = + = 2

-

-

= = =

- - = - = - = 0

: = ; + = 2 ; = ; - = 0

1. Даны точки А(3;7;-4), В(2;2;-3), С(2;0;1). Вычислить периметр треугольника.

Решение:

Р=АВ+ВС+СА

= = = 5,2

= = = 4,5

= = = 8,6

Р=АВ+ВС+СА = 5,2+4,5+8,6=18, 3

Ответ: Р=18, 3

1. Даны точки M(2;-1;3),N(-4;1;-1),P(-3;1;2),Q(1;1;0).

A – середина MN

K – середина PQ

Вычислить координаты точек А и К, и расстояние между ними .

Решение:

М A N

P K Q

А( ; ; ) А(-1;0;1)

К( ; ; ) К(-1; 1; 1)

= = = = 1

: А(-1;0;1), К(-1; 1; 1), = 1

1. Даны векторы , , ,

Вычислить скалярное произведение векторов + - +

Решение:

= -13+50+32 = -3+6 = 3

= 0,5(-1)+(-3)1+42 = -0,5-3+8 = 4,5

= 30,5+0(-3)+24 = 1,5+8=9,5

= -1(-1)+51+32 = 1+5+6 = 12

+ - + = 3+4,5-9,5+12 = 10

Ответ: + - + = 10

1. Даны векторы , , .

Вычислить: -0,1 + 0,8 - 0,5

Решение:

-0,1 -0,1

0,8 0,8

-0,1 + 0,8

-0,1 + 0,8

0,5

0,5

-0,1 + 0,8 - 0,5

-0,1 + 0,8 - 0,5

Ответ: -0,1 + 0,8 - 0,5

1. Даны точки А(3;-2;4),В(4;-1;2),С(6;-3;2),Д(7;-3;2). Найти координаты векторов и и вычислить угол между этими векторами.

Решение:

) = = = = = =

Ответ: , , ) =

1. Даны точки А(5;-8;-1),В(6;-8;-2),С(7;-5;-1,5). Вычислить длины медиан треугольника.

В

К

М

С

А Р

М( ; ; ) М(5,5; -8; -1,5)

К( ; ; ) К(6,5; -6,5; -6,5)

Р( ; ; ) Р(6; -6,5; -6)

= = = = 10,07

= = = = 5,9

= = = = 4,27

Ответ: =10,07; = 5,9 ; = 4,27

1. Даны векторы = + + ; = + + ; =+ 3 - ; =

Записать координаты векторов и вычислить скалярное произведение: - + -

Решение:

= 11+1+12 = 1-1+2 = 2

= 21+30+(-1)2 = 2-2 = 0

= 12+(-1)3+2(-1) = 2-3-2 = -3

= 11+1+12 = 1+2 = 3

- + = 2- 0 +3 - (-3) = 2+3+3 = 8

Ответ: - + = 8

1. Даны точки А(-5;7;3),В(3;-11;1),С(6;-2;1). Вычислить площадь треугольника.

Решение:

= = = 19,8

= = = 9,5

= = = = 14,4

По формуле Герона:

Р = ; S_ABC =

Р = = = 21,85

S_ABC = = = 64,2

Ответ: S_ABC = 64,2

1. ЗАДАНИЕ ДЛЯ СРЕДНИХ УЧЕНИКОВ

1. Даны векторы = + ; = + ; = 2 -3 .

Записать координаты векторов и вычислить = 3 - 2 +

Решение:

3 3

2 2

3 - 2

3 - 2

(3 - 2+

Ответ:

1. Записать координаты векторов и вычислить скалярное произведение, если =+ ; = +. Вычислите угол между векторами и определите какой он (острый, прямой или тупой).

Решение:

= 02+2+31 = 0-6+3 = -3 (угол тупой)

) = = = =

Ответ: = -3 (угол тупой) ; ) =

1. Даны точки А(2;-3;1),В(0;-2;4),С(5;3;-1). Определить вид треугольника.

Решение:

= = =

= = =

= = = = = 7

Треугольник произвольный

Ответ: треугольник произвольный. = , = , = 7

1. Даны точки А(1;0;2),В(-2;-4;5),С(1;2;-3).Вычислить координаты т.М – середины отрезка АВ и длину МС.

Решение:

А М В

С

М( ; ; ) М(-0,5; -2; -1,5)

= = = = 4,5

Ответ: М(-0,5; -2; -1,5); = 4,5

1. Даны точки А(1;3;0),В(2;3;-1),С(1;2;-1). Найти длины векторов и , и вычислить угол между этими векторами .

Решение:

=

=

) = = = (60⁰)

Ответ: = , = , ) = 60⁰

1. Даны точки А(0;1;3),М(5;-3;3). т.М – середина отрезка АС. Найти координаты конца отрезка т. С(х₂;у₂;z₂).

Решение:

А М С

(0;1;3) (5;-3;3) (х₂;у₂;z₂)

Х= 2х = + 2х - = х₂ = 25-0 = 10

2у - = у₂ = 2(-3) -1= -7

2z - = z₂ = 23-3 = 3

С(10; -7; 3)

Ответ: С(10; -7; 3)

1. Даны точки А(0;-1;2),В(1;1;-3),С(2;-2;0). Определить вид треугольника.

Решение:

= = = 5,47

= = = 4,35

= = = = = 3

Треугольник произвольный

Ответ: треугольник произвольный. = 5,47 ; = 4,35 ; = 3

1. Даны векторы , , .

Вычислить координаты вектора 2 + 3 - .

2 2

3 3

2 + 3 -

2 + 3 –

Ответ: 2 + 3 -

3.ЗАДАНИЕ ДЛЯ СЛАБЫХ УЧЕНИКОВ

1) Даны точки А(5;4;0),В(3;-6;2). т. М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки М.

Решение:

М( ; ; ) М(4; -1; 1)

Ответ: М(4; -1; 1)

2) Записать координаты и найти длину вектора = -.

Решение:

= = = = 10

Ответ: ; = 10

3) Даны точки А(2;7;-9),В(-2;4;-1). Найти длину и координаты вектора .

Решение:

= = =

Ответ: ; =

4) Даны векторы , . Вычислить скалярное произведение этих векторов и определить угол между ними (острый, тупой или прямой).

Решение:

= - 45+3+01) = - 20+21 = 1 (угол острый)

Ответ: = 1 (угол острый)

5) Даны векторы , . Вычислить угол между векторами и определить какой он (острый, прямой или тупой).

Решение:

) = = = (60⁰ – острый угол)

Ответ: ) = (60⁰ – острый угол)

6) Даны точки А(4; - 4;- 2),В(- 8;4;0). т. М – середина отрезка АВ. Найти координаты точки М.

Решение:

М( ; ; ) М(-2; 0; -1)

Ответ: М(-2; 0; -1)

7)Дан вектор = +. Записать координаты вектора и вычислить его длину.

Решение:

= = = = 13

Ответ: ; = 13

8)Даны точки А(-3; 5;5),В(3;-5;-2). Найти координаты вектора и вычислить его длину.

Решение:

= = =

Ответ: ; =

9) Даны векторы , . Вычислить скалярное произведение векторов и их длины и .

Решение:

= = =

= = =

= 2+(-8)+1 = - 6+2 = - 4

Ответ: =, = , - 4

10)Даны векторы = ; = - . Записать координаты векторов и вычислить угол между ними.

Решение:

,

) = = =

Ответ: , , ) =

11)Даны векторы , , .

Вычислить координаты вектора + + .

Решение:

+ +

+ +

Ответ: + +

12)Даны координаты точек А(5; -2;0),В(1;-1;4). Вычислить расстояние .

Решение:

= = = 5,7

Ответ: 5,7

13)Даны векторы , , .

Вычислить координаты вектора 2 + - .

Решение:

2 2

+ -

+ -

Ответ: + -

Приложение 3.

3 тур «Дописать формулу»

1 вариант	2 вариант
=	d =
M(x= ; у=; z=)	= x1x2 + у1у2 + z1z2
k	=
+

Продолжить

Проверить правильность написания формул.

Приложение 4.

3 тур «Конкурс капитанов»

Карточки с заданиями раскладываются на столе.

Капитаны команд выбирают по одной карточке, готовят решения на доске.

1)Даны векторы = и = +. записать координаты векторов, вычислить скалярное произведение векторов, вычислить угол между векторами и определить какой он (острый, тупой или прямой).

Решение:

,

= = =

= = =

= (-1) +3 +2 = - 3+4 = 1

) = = (угол острый)

Ответ: ,

= ;

= 1 ; ) = (угол острый)

2)Даны векторы = и = +. записать координаты векторов, вычислить скалярное произведение векторов, вычислить угол между векторами и определить какой он (острый, тупой или прямой).

Решение:

,

= = =

= = =

= 2 +(-1) +0 = 2

) = = (угол острый)

Ответ: ,

= ;

= 2 ; ) = (угол острый)

3)Даны точки А(0;2;-1),В(3;-2;4),С(-2;0;1). Определить вид треугольника и найти его площадь.

Решение:

= = = 7

= = = 6,1

= = = = = 3,4

По формуле Герона:

Р = ; S_ABC =

Р = = = 8,2

S_ABC = = = 9,9

Треугольник произвольный

Ответ: треугольник произвольный. S_ABC 9,9

4)Даны точки К(2;-1;1),М(0;-3;4),N(-3;0;1). Найти периметр треугольника и его площадь.

Решение:

= = = 4,12

= = = 5,19

= = = = = 5,09

По формуле Герона:

Р = ; S_ABC =

Р = = = 7,1

S_ABC = = = 9,4

Ответ: Р = 14,2 ; S_ABC 9,4

5)Даны точки А(2;-2;1),М(-1;0;3). т.М – середина отрезка АВ. Найти координаты конца отрезка т. В(х₂;у₂;z₂) и расстояние МВ.

Решение:

А М В

(2;-2;1) (-1;0;3) (х₂;у₂;z₂)

Х= 2х = + 2х - = х₂ = 2(-1)-2 = -4

2у - = у₂ = 20 +2= 2

2z - = z₂ = 23-1 = 5

В(-4; 2; 5)

= = = =

Ответ: В(-4; 2; 5) ; =

6) Даны точки А(-1;1;0),В(-3;2;-1),С(5;-2;4). Вычислить координаты т.М – середины АВ и т. N – середины ВС, расстояние СМ и AN.

Решение: В

М N

А С

М( ; ; ) М(-2; 1,5; -0,5)

= = = = 9,02

N( ; ; ) N(1; 0; 1,5)

= = = = 2,7

Ответ: М(-2; 1,5; -0,5) ; N(1; 0; 1,5)

9,02 ; 2,7

Приложение 5.

«Интересные факты из математики»

В оставшееся время, пока готовятся капитаны, слушаем доклад обучающегося об интересных фактах в математике.

Какой знак вместо плюса используют ученики израильских школ?

Религиозные евреи стараются избегать христианской символики и вообще знаков, похожих на крест. Например, ученики некоторых израильских школ вместо знака «плюс» пишут знак, повторяющий перевёрнутую букву «т».

Как проверить подлинность купюры евро по серийному номеру?

Подлинность купюры евро можно проверить по её серийному номеру буквы и одиннадцати цифр. Нужно заменить букву на её порядковый номер в английском алфавите, сложить это число с остальными, затем складывать цифры результата, пока не получим одну цифру. Если эта цифра — 8, то купюра подлинная. Ещё один способ проверки заключается в подобном складывании цифр, но без буквы. Результат из одной буквы и цифры должен соответствовать определённой стране, так как евро печатают в разных странах. Например, для Германии это X2.

Какова вероятность выигрыша в пасьянсе «Свободная ячейка»?

Вероятность выпадения решаемой комбинации карт в пасьянсе «Свободная ячейка» (или «Солитер») оценивается более чем в 99,99%.

Почему Нобелевская премия не вручается за достижения в математике?

Бытует мнение, что Альфред Нобель не включил математику в список дисциплин своей премии из-за того, что его жена изменила ему с математиком. На самом деле Нобель никогда не был женат. Настоящая причина игнорирования математики Нобелем неизвестна, но есть несколько предположений. Например, на тот момент уже существовала премия по математике от шведского короля. Другое — математики не делают важных изобретений для человечества, так как эта наука имеет чисто теоретический характер.

Каким сверлом можно просверлить квадратное отверстие?

Треугольник Рело — это геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов радиуса a с центрами в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Сверло, сделанное на основе треугольника Рело, позволяет сверлить квадратные отверстия (с неточностью в 2%).

Чем русское число ноль отличается от западного?

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Когда празднуют день числа Пи?

У числа Пи есть два неофициальных праздника. Первый — 14 марта, потому что этот день в Америке записывается как 3.14. Второй — 22 июля, которое в европейском формате записывается 22/7, а значение такой дроби является достаточно популярным приближённым значением числа Пи.

Почему в обычном школьном классе скорее всего найдутся двое, родившиеся в один день?

В группе из 23 и более человек скорее всего (т.е. вероятность превышает 50%) найдутся двое, отмечающих день рождения в один и тот же день.

Кто решил сложную математическую проблему, приняв её за домашнее задание?

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

Какая игра связана с числом дьявола?

Сумма всех чисел на рулетке в казино равняется числу дьявола — 666.

Какой математик постигал основы науки по обоям в комнате?

Софья Ковалевская познакомилась с математикой в раннем детстве, когда на её комнату не хватило обоев, вместо которых были наклеены листы с лекциями Остроградского о дифференциальном и интегральном исчислении.

Где пытались законодательно округлить число Пи?

В штате Индиана в 1897 году был выпущен билль, законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета.

Формула вымирания

Российский интернет славен бурными дискуссиями по поводу вымирания России. Забавная штука – большинство возмущающихся имеет от силы одного ребёнка и больше рожать не собирается, по их мнению это достаточно для поддержания популяции.
Рассмотрим данное утверждение-заблуждение с точки зрения математики.
Итак, предположим в городе проживает 1 млн. молодых людей (0,5 млн мужчин и 0,5 миллиона женщин) и молодые люди родят по одному ребёнку.
У первого поколения молодых людей родится 0,5 млн. молодых людей, то есть молодых людей станет ровно вдвое меньше. У второго поколения родится 250 тыс. молодых людей, соответственно n-го поколения родится 1 млн./2ⁿ детей.
То есть:
Поколение n = 1000000 / 2ⁿ человек
Крайняя граница вымирания популяции – 120 человек (в реальности даже больше), после этого от близкородственного смешивания рождаются нежизнеспособные дети с дефективными генами.
Поколение на котором популяция вымрет легко высчитать, n=ln(1000000/120)/ln(2)
На самом деле 2 – неправильная цифра, которая не учитывает смертность в дофертильном возрасте. Для запада это 2.1, для России 2.2
Итак, n=log(1000000/120)/log(2.2) приблизительно равно 11.
То есть при рождаемости в 1 ребёнок, миллион молодых людей вымрет на 11-м поколении.
Общая формула вымирания такова
n=log(N/120)/log(2.2)
где N – количество молодых людей.
Если взять для России грубую оценку в 50 млн. молодых людей, то выяснится, что при демографии “1 семья – 1 ребёнок” Россия вымрет через 16 поколений…
А весь земной шарик бы вымер приблизительно на 21-м поколении.