Графический метод решения задач с параметрами

Графический метод решения уравнений с параметром.  

Выполнили: ученики 11 класса МБОУ СОШ №9 Никитин Никита, ЧЕРНОБРОВКИН А.

Руководитель: Газизова Г.Х., учитель математики МБОУ СОШ №9

Актуальность темы

• Исследование многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Решение таких задач связано с умением проводить сложные, разветвленные логические построения, выполнять алгебраические преобразования, использовать большое количество формул и методов, объединять в единое целое знания из нескольких разделов математики. Именно поэтому задачи с параметрами имеют высокую диагностическую ценность и постоянно включаются в олимпиадные экзаменационные задачи в ЕГЭ.
• Затронутая мною тема является актуальной, потому что задачи с параметрами содержатся в заданиях ЕГЭ по математике. Нередко мы, в том числе и я, учащиеся не можем справиться с простейшими задачами, содержащими параметры, что свидетельствует об отсутствии у нас навыков решения задач с параметрами.

Проблема

Решение задач с параметрами всегда вызывало и вызывает большие трудности еще и потому, что их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, а применяющиеся аналитические методы разнообразны и разбросаны по всему курсу математики. Вместе с тем, наряду с аналитическими, применяются и графические приемы решения такого класса задач, причем эти приемы зачастую проще для понимания учениками, более легкие в применении. Возникла проблема, как ознакомить заинтересованных учеников с этими приемами. Мы решили найти и собрать воедино графические приемы решения задач с параметрами, написать работу по собранному материалу и создать презентацию.

Цель

• Созданная презентация должна привлечь внимание выпускников, учащихся средних классов, увлеченных математикой, к наглядным и эффективным графическим приемам решения сложных задач. Написанная работа может быть пособием для учащихся при самостоятельном изучении данной темы.

• Заинтересовать проектом учителей математики, предоставив им работу и презентацию как пособие для занятий с учениками при формировании навыков решения задач с параметром, при подготовке к ЕГЭ.

• Разместить законченный проект в интернете для свободного доступа всех заинтересовавшихся данной темой.

Объект

Задачи с параметрами – алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащие параметры. Методы и приемы решения этих задач.

Предмет

Графические приемы решения задачи с параметрами. Примеры задач с решениями с использованием рассмотренных графических приемов

Задачи проекта

Самостоятельно изучить тему. Подобрать примеры задач, составить решения. Написать работу. Создать первый вариант презентации. Представить презентацию перед учениками. Представить презентацию перед учителями математики, раздать им работу и презентацию. Обсудить полученный опыт, исправить выявленные ошибки. Доработать презентацию с учетом выявленных ошибок, пожеланий, уточнений. Распространить итоговый проект среди заинтересованных лиц, опубликовать в интернете.

Рабочая гипотеза

Представление презентации перед учениками на уроке или внеклассных занятиях привлечет их интерес к предлагаемой теме. Возможно, заинтересовавшиеся ученики самостоятельно или под руководством учителя, изучив предлагаемую работу, разбирая решения примеров задач, освоят предложенные графические методы решения задач с параметрами.

Предполагаемая новизна

Теоретическое изучение физических процессов, экономических задач приводят к решению задач с параметрами, которые требуют исследования характера процесса в зависимости от параметра. Поэтому, каждая задача с параметром – это исследовательская работа .

Есть много способов решения заданий с параметрами, в том числе и графические приемы решения данных задач. В данной работе две задачи рассмотрены методом областей.

Метод областей является обобщением метода интервалов. При решении, например, неравенства f(x)≥0 мы находили нули функции f(x)=0, числовая ось разбивалась на промежутки, в которых сохранялся знак. Затем отбирали те промежутки, в которых f(x)≥0.

При решении неравенства методом областей находим все кривые, в которых f(х,у)=0. Данные кривые разбивают плоскость на подмножества, на которых знак постоянный.

В данной работе, в помощь учителю мы показали решение задач с параметрами методом областей, и подали в форме презентации с использованием наглядной анимации для демонстрации процесса решения задач

Этапы исследования

• Провели опрос «С какими проблемами сталкиваются ребята при подготовке к ЕГЭ» и выявили, что большинство затрудняются в решении уравнений с параметрами.
• Изучили теоретический материал по данной теме.
• Выделили различные способы решения уравнений с параметрами.
• Определили более наглядный метод.
• Научились решать уравнения с параметрами.
• Создали медиа-ресурс для решения уравнений с параметрами.

Критерии оценки

• Доступность изложенных в работе приемов решения задач. Полнота рассмотренных примеров задач с решениями. Наглядность демонстрации графических приемов в презентации. Достижимость поставленной цели и задач.

Способы оценки

• Выступления перед учащимися 9-11 классов, представление презентаций на уроке. Последующий опрос учеников об оценке понимания продемонстрированных приемов, о появлении заинтересованности предложенной темой, о желании более углубленного ознакомления с темой (ознакомиться с печатной работой). Защита работы на городской НПК «Открытие», живая реакция на доклад учеников, жюри, а также присутствующих учителей математики, проявивших интерес к проекту и готовность использовать его в процессе обучения школьников, доказывают актуальность и востребованность данного проекта.

Основные понятия

Параметр  (от др.-греч. παραμετρέω — соразмеряю) — величина, значения которой служат для различения групп элементов некоторого множества между собой.

Параметр - независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.

Уравнение с параметром  — математическое  уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить  уравнение с параметром означает для каждого значения найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению, а также:

1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Д. Пойя.

Графические приемы

решения задач с параметром

Задача №1. При каких значениях параметра а уравнение (4-х)|6-x|+а=0 имеет единственное решение? 1)a=-(4-x)|6-x|; a=(x-4)|6-x|; 2) Построим два графика в одной координатной плоскости: (1) f(x)=(x-4)|6-х| 1) (-∞;6] f(x)=(х-4)(6-х); f(x)=-x 2 +10x-24. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина параболы в точке (5;1). График пересекает ОХ в точках (4;0) и (6;0), ОУ в точке (0;-24). Дополнительные точки: (3;-3), (2;-8), (1;-15). 2) (6;+∞) f(x)=(x-4)(x-6); f(x)=x 2 -10x+24. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы в точке (5;-1). График пересекает ОХ в точках (4;0) и (6;0), ОУ в точке (0;24). Дополнительные точки: (7;3), (8;8), (9;15), (10;24). (2) g(x)=a а=0, у=0; а=1, у=1.

3) Уравнение имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут иметь одну, две или три общие точки. Выберем то значение параметра а при котором графики имеют одну общую точку, а уравнение имеет единственное решение. (-∞;0) – одно решение (0;1) – три решения а=1 – два решения (1;+∞) – одно решение Ответ: (-∞;0);(1;+∞).

Задача№2. При каких значения параметра а уравнение + =|x-a+13|+|x+a+1|имеет единственный корень.

1)Приравняем к нулю каждое под модульное выражение, чтобы раскрыть модуль.

x-a=13=0 x+a+1=0

x=a+13 x=-a-1

2) Покажем две прямые на параметрической плоскости:

3) Получили 4 области:

1 2 3 4

x-a+13 + - - +

x+a-1 + + - -

4)Раскроем модуль:

(1) (x+7)² + (a-6)²= x – a + 13 + x + a + 1

(x+7)² + (a-6)²=2x+14

x² + 14x +49 -2x -14 + (a-6)² = 0

x² + 12x + 35 + (a-6)²=0

(x+6)² + (a-6)² = 1; окружность с центром (6; -6), R=1

(2) (x+7)² + (a-6)² = -x+a-13+x+a+1

(x+7)² + a² – 12a + 36 – 2a +12 =0

(x+7)² + (a-7)² = 1; окружность с центром (7;-7), R=1

(3) (x+7)² + (a-6)² = -x + a -13 –x –a -1

(x+8)² + (a-6)² = 1; окружность с центром (6;-8), R=1

(4) (x+7)² + (a-6)² = x – a +13 – x – a - 1

(x+7)² + (a-5)² = 1; окружность с центром (5;-7), R=1

При а=4 и а=8 уравнение (x+7)²+(a+6)²= |x-a+13|+|x+a+1| имеет одно решение.

Ответ: а=4, а=8.

Задача№3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ах+ =2а+3 имеет единственное решение. 1) =2а-ах+3. 2) построим два графика в одной координатной плоскости и найдем при каком значении параметра график уравнения ах+ =2а+3 имеет единственное решение: (1) у=2а-ах+3; у=-а(х-2)+3. график этой функции представляет из себя семейство прямых, которые имеют различный коэффициент наклона и общую точку (2;3).

(2) у= ; преобразуем уравнение(выделим полный квадрат): у= = = = = = Этот график функции представляет из себя полуокружность с центром в точке (-4;0),R=3. 3) Мы видим, что прямые, заключенные между прямыми АВ и СВ имеют с полуокружностью одну общую точку. Прямая АВ имеет одну общую точку, а прямая СВ – две. Прямая ДВ также имеет с полуокружностью одну общую точку.

k=0 5) Итак, прямая и полуокружность имеют одну общую точку, если Ответ: [-1;- ); {0}. H" width="640"

4) Найдем коэффициенты наклона этих прямых. Для этого мы рассмотрим соответствующие прямоугольные треугольники:

а)∆BHA: k=tgA=

б)∆BHC: k=tgC= =

в)BD||оси OX, = k=0

5) Итак, прямая и полуокружность имеют одну общую точку, если

Ответ: [-1;- ); {0}.

H

Задача№4. При каких значениях параметра а уравнение |x - a² + a +2|+|x - a² + 3a - 1|=2a – 3 имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4;19).

1) Приравняем к нулю каждое подмодульное выражение, чтобы раскрыть модуль:

x-a²+a+2=0 x–a²+3a-1=0

x=a²-a–2 x=a²-3a+1

2) Покажем эти две параболы на параметрической области:

3) Получим 4 области, и взяв любую точку области, определим знак модуля:

1 2 3 4

x - a² + a + 2 - + + -

x - a² + 3a – 1 + + - -

4) Раскроем модули:

(1) -x+a²-a-2+x-a²+3a-1=2a-3; 0=0; xєR, aєR.

(2) x-a²+a+2+x-a²+3a-1=2a-3; x=a²-a-2.

(3) x-a²+a+2-x+a²-3a+1=2a-3; a=1,5.

(4) -x+a²-a-2-x+a²-3a+1=2a-3; x=a²-3a+1.

5) Найдём точки пересечения функций:

(1) Найдём точку пересечения парабол: a²-a-2=a²-3a+1; a=1,5

(2) Найдём точку пересечения параболы x=a²-a-2 и прямой x=4: a²-a-2=4; a=3

(3) Найдём точку пересечения параболы x= a²-3a+1 и прямой x=19: a²-3a+1=19; a=6

6) Найдём корни уравнения |x - a² + a +2|+ |x - a² + 3a - 1| = 2a – 3 , которые не принадлежат интервалу (4;19).

7) При а

При 1,5 ≤ a ≤ 3 , уравнение имеет корни.

При 3

При а≥6, уравнение имеет корни.

Ответ: [1,5;3];[6;+∞)

Задача№5. При каких значениях параметра а уравнение |x² +3x +a|+ |x|=6 имеет не менее трех решений.

1) Раскроем модули:

x² + 3x + a = 0 x=0

a = -x² - 3x (ось Оа)

2) Построим графики на параметрической плоскости Оха.

3) Получим 4 области, и взяв любую точку области,

определим знак модуля в ней:

1 2 3 4

x² + 3x + a + - - +

X + + - -

4) Раскроем модуль в каждой области:

(1) х² + 3х + а + х – 6 = 0; а = -х² - 4х + 6

(2) -x² - 3x – a + x – 6 = 0; a= -x² - 2x – 6

(3) -x² - 3x – a – x – 6 = 0; a= -x² - 4x – 6

(4) x² + 3x + a – x – 6 = 0; a= -x² - 2x + 6

5) Построим графики 4-ёх парабол в своих областях.

6) Найдём точки пересечения парабол:

Найдём точки пересечения 3-ей параболы с 3-ей областью:

-x²-3x=-x²-4x-6; x=-6, a=-18

Найдём точки пересечения 1-ой параболы с 3-ей областью:

-x²-3x=-x²-4x+6; x=6, a=-54

Найдём точки пересечения 2-ой параболы с 3-ей областью:

-x²-3x=-x²-2x-6; x=6, a=-54

Найдём точки пересечения 4-ой параболы с 3-ей областью:

-x²-3x=-x²-2x+6; x=-6, a=-18

Вывод: прямые, расположенные выше прямой а=-2 имеют с графиком два общих решения или не имеют решения вообще. А прямые, расположенные ниже прямой а=-18 имеют с графиком только две общие точки или вообще не имеют общих точек. Значит, уравнение |x² +3x +a|+ |x|=6 имеет не менее трех решений при -18 ≤ а ≤ - 2.

Ответ: -18 ≤ а ≤ - 2.

Вывод

Согласно спецификации ЕГЭ задание С5 является уравнением, неравенством или системой с параметром.

Подготовка к решению задач такого типа состоит в систематическом и обстоятельном изучении математики как на уроке, так и в процессе самостоятельной работы ученика.

Выпускнику полезно владеть различными методами решения подобных задач – аналитическими и графическими, уметь переводить словесное условие задачи в аналитическую форму – сводить ее к решению уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств.

Источники:

1. http://alexlarin.net.ru

2. http://4ege.ru/matematika/

3. http://ege-ok.ru/wppage/podarok-parametryi/

4. http://mathege.info/category/zadaniya-ege/c5-zadanie-ege/

5. ЕГЭ 2014. Математика. Типовые тестовые задания. 30 вариантов заданий. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В., М.: Экзамен, 2014

6. ЕГЭ 2014. Математика. Типовые экзаменационные варианты. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В., М.: Национальное образование, 2014.