Экономическая математика

Экономическая математика

Решение задач № 19 ЕГЭ 2015

Павловская Нина Михайловна,

учитель математики МБОУ «СОШ № 92

г. Кемерово

« Математика - это наука, брошенная человечеством на исследование мира в его возможных вариантах»

Иммануил Кант

одну сотую часть числа .

Процентом называют

1% = 10% = 20% =

25% = 50% = 100% =

Чтобы найти процент от числа нужно:

Чтобы найти число по значению его процента нужно:

0,01

0,2

0,1

0,25

0,5

1

это число умножить на соответствующую дробь.

часть, соответствующую этому проценту разделить на дробь.

Чашка стоила 120 рублей. Сколько будет стоить чашка после подорожания на 20%

120*1,2 = 144 рубля

Стиральная машина стоила 14000 рублей. Сколько она будет стоить после снижения цены на 20%

14000*0,8 = 11200 рубля

В 2009 году в городском квартале проживало 3000 жителей. В результате строительства новых домов число жителей в 2010 году выросло на 10%, а в 2011 году на 15% по сравнению с 2010 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2011 году?

3000*1,1*1,15= 3795 рублей

Формула расчета простых процентов

Sp = (S 0 · р · t : K) : 100

S п = S 0 + (S 0 · р · t : K) : 100

Sp - сумма процентов (доходов)

S п - сумма банковского вклада (депозита) с процентами

р - годовая процентная ставка

t - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу

K - количество дней в календарном году(365 или 366)

S 0 - сумма привлеченных в депозит денежных средств

Предположим что банком принят депозит в сумме 50тыс. рублей сроком на 3 месяца по ставке 10,5 процентов «годовых». Вычислите сумму процентов и сумму банковского вклада с процентами.

Sp = 50 000 · 10,5 · 90 : 365 : 100 = 1294,52

S п = 50 000 + 50 000 · 10,5 · 30 : 365 : 100 = 51 294,52

Формула расчета сложных процентов

Sp = S 0 · [(1 + р · t : K :100) п - 1] или

Sp = S п - S 0 = S 0 · (1 + р · t : K : 100) п – S 0

р - годовая процентная ставка

t - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу

K - количество дней в календарном году (365 или 366)

S 0 - сумма привлеченных в депозит денежных средств

Sp - сумма процентов (доходов).

n - число периодов начисления процентов.

S п - сумма вклада (депозита) с процентами

Однако, при расчете процентов проще сначала вычислить общую сумму вклада с процентами, и только затем вычислять сумму процентов (доходов). Формула расчета вклада с процентами будет выглядеть так:

S = S 0 · (1 + р · t : K : 100) п

Принят депозит в сумме 50тыс. Рублей сроком на 90 дней по ставке 10,5 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней. Вычислите сумму процентов и сумму банковского вклада с процентами.

Sp = 50 000 · [(1 + 10,5 · 30 : 365 : 100) ³ -1] =1 305,72

S = 50 000 · (1 + 10,5 · 30 : 365 :100) ³ = 51 305,72

Формула расчета сложных процентов

S n = S 0 (1± 0,01p) n или S n = S 0 (1± p/100) n

р - годовая процентная ставка

S 0 - сумма привлеченных в депозит денежных средств

n - число периодов начисления процентов.

S п - сумма вклада (депозита) с процентами

Эти формулы используют при решении задач о начислении процентов по вкладам.

Вкладчик открыл счёт в банке, внеся 2000руб. на вклад, годовой доход по которому составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счёте через 6 лет?

S=2000(1+12/100) 6 =2000(1,12) 6 =3947,65

Ответ: 3947 руб. 65 коп.

Петр хочет взять в кредит 1,3 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме может быть последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Петр взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 340 тыс. рублей.

При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на 1,1.

После чего происходит выплата 340 тыс. рублей.

год

год

0

0

Долг банку

Долг банку

1

1

Остаток, после транша

Остаток, после транша

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

1 300 000

1 430 000 – 340 000 = 1 090 000

1 300 000 ·1,1=1 430 000

1 199 000 – 340 000 = 859 000

1 090 000 ·1,1= 1 199 000

944 900 – 340 000 = 604 900

859 000 ·1,1= 944 900

665 390 – 340 000 = 325 390

604 900 ·1,1= 665 390

325 390 ·1,1= 357 929

357 929 – 340 000 = 17929

17929 ·1,1= 19 721,9

19 721,9 рублей – последний платеж

Ответ: 6 лет

31 декабря 2013 года Иван взял в банке 4 230 000 рублей в кредит под 11,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (увеличивает долг на 11,5%), затем Иван переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Иван выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на 1,115.

После чего происходит выплата Х рублей.

Составим выражение для вычисления суммы платежа Х.

Пусть S начальная сумма, b – коэффициент % ставки, S 1 - сумма долга через год, S 2 - сумма долга через 2 года.

S 1 = b S – Х,

S 2 = b(bS – Х) – Х,

S 2 = 0.

b ² S – bХ – Х = 0

b ² S = bХ + Х

b ² S = Х (b + 1)

Х =b ² S : (b + 1)

Х = 4 230 000 ·1,115² : 2,115 = 2 486 450

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Весь долг Сергей выплатил за три равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за два равных платежа?

При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на 1,125.

После чего происходит выплата Х рублей.

Составим выражение для вычисления суммы платежа Х.

Пусть S начальная сумма, b – коэффициент % ставки, S 1 - сумма долга через год, S 2 - сумма долга через 2 года, S 3 - сумма долга через 3 года.

S 1 = b S – Х, S 2 = b(bS – Х) – Х, S 3 = b(b(bS – Х) –Х) – Х,

S 3 = b ³ S – b ² Х –bХ – Х, S 3 = 0.

b ³ S – b ² Х – bХ – Х = 0

b ³ S = b ² Х +bХ + Х

b ³ S = Х (b ² + b + 1)

Х =b ³ S : (b ² + b + 1)

Х = 7 378 000·1,125 ³ : (1,125 ²+ 1,125+1)=3 098 250

Если выплатить за два года, то У =b ² S : (b + 1)

У = 7 378 000 ·1,125 ² : 2,125 = 4 394250

Экономия: 3 · 3 098 250 – 2 · 4 394 250 = 506 250

Транснациональная компания “Amoco inc.” решила провести недружественное поглощение компании “First Aluminium Company” (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что “Amoco inc.” было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на 1/3, а общее количество приобретенных “Amoco inc.” акций поглощаемой компании увеличивалось на 20%. Определите величину третьего предложения и общее количество скупленных акций FAC, если начальное предложение составило 27$ за одну акцию, а количество акций, выкупленных по второй цене - 15000 .

Начальная цена 1 акции – 27$.

Вторая цена на 1/3 больше: 27 + 1/3·27 = 36$.

Третья цена на 1/3 больше: 36 + 1/3·36 = 48$.

Первый раз куплено х акций

Второй раз куплено на 20% больше, т.е. 1,2х

1,2х = 15000

х = 12500

Третий раз куплено на 20% больше, т.е.

1,2 · 15000 = 18000

Всего купили 12500 +15000 +18000 = 45500

31 декабря 2013 года Николай взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (увеличивает долг на 12%), затем Николай переводит в банк 3 512 320 рублей. Какую сумму взял Николай в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на 1,12.

После чего происходит выплата 3 512 320 рублей.

Составим выражение для вычисления начальной суммы.

Пусть S начальная сумма, b – коэффициент % ставки, S 1 - сумма долга через год, S 2 - сумма долга через 2 года, S 3 - сумма долга через 3 года.

S 3 = b ³ S – b ² Х –bХ – Х

S 3 = 0.

S = Х(b ² + b + 1):b ³

S = 3 512 320 (1,12 ² +1,12 + 1):1,12 ³ = = 8 436 000

В одной стране в обращении находились 1 000 000$, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100 000$ в месяц, из которых 10% фальшивые. В то же время другая структура стала вывозить из страны 50 000$ ежемесячно, из которых 30% оказывались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5%?

Пусть х количество искомых месяцев

не фальшивые

фальшивые

было

200 000

800 000

90 000х

ввозят

10 000х

вывозят

35 000х

15 000х

стало

200 000 – 5 000х

800 000 + 55 000х

Ответ: 20 месяцев

Удачи на экзаменах!