Ари

Ари

Презентация к уроку по алгебре "Арифметическая прогрессия" 9класса.

1.Устная работа.а)По формуле вычислить номер члена последовательности.

б)Используя рекуррентную формулу вычислить первые четыре члена последовательности.

в)По формуле n-го члена вычислить найти n.

2.Исторические сведения.

3.По предложенным последовательностям найти два последующих члена.

4.Определение арифметической последовательности.

5.Свойства прогрессии.

6.Задача.

7.Пример на арифметическую прогрессию.

8.Задача.

9.Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

10.Задачи.

11.Задания ЕНТ (единого национального тестирования).

12.Домашнее задание.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Ари »

9 «В» класс

Ортман Т.П.

Устная работа

Последовательность (х n ) задана формулой: х n = n 2 .
Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100?
Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?

144=12 2 =х 12

225=х 15 , 100=х 10

48 и 168 не являются членами последовательности,

49 – является.

Устная работа

О последовательности ( u n ) известно, что u 1 =2 , u n+1 =3u n +1 .
Как называется такой способ задания последовательности?
Найдите первые четыре члена этой последовательности.

Рекуррентный способ.

u 1 = 2

u 2 =3u 1 + 1=7

u 3 =3u 2 +1 =22

u 4 =3u 3 +1 =67

Устная работа

О последовательности ( a n ) известно, что a n =(n-1)(n+4)
Как называется такой способ задания последовательности?
Найдите n , если a n =150 ?

Формулой n -ого члена.

Заметим, что в формуле n- ого члена множители отличаются друг от друга на 5.

150 =(n-1)(n+4)

150=10·15

n= 11

Что такое ПРОГРЕССИЯ?

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).
Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется.
Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

БОЭЦИЙ

Ани́ций Ма́нлий Торква́т Севери́н Боэ́ций , в исторических документах Ани́ций Ма́нлий Севери́н (ок.480 — 524 ( 526) ), один из наиболее авторитетных государственных деятелей своего времени, знаток и ценитель греческой и римской античности, философ-неоплатоник, теоретик музыки, христианский теолог .
Помимо богословских трудов в трактатах по дисциплинам квадривия — арифметике («De institutione arithmetica») и музыке («De institutione musica») — передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук.

Боэций (слева) на фреске Рафаэля «Афинская школа»

Что общего в последовательностях?

22, 26

2, 6, 10, 14, 18, ….
11, 8, 5, 2, -1, ….
5, 5, 5, 5, 5, ….
Найдите для каждой последовательности следующие два члена.

-4, -7

5, 5

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

( a n ) - арифметическая прогрессия,

если a n+1 = a n +d ,

где d -некоторое число.

Разность арифметической прогрессии

Число d , показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии.

d=a n+1 -a n

a 2

a 1

a 3

a n

a n-1

a n+1

+ d

a n 2, 6, 10, 14, 18, …. 11, 8, 5, 2, -1, …. 5, 5, 5, 5, 5, …. d =-3, a n+1 n d =0, a n+1 =a n" width="640"

Свойства прогрессии

d =4, a n+1 a n

2, 6, 10, 14, 18, ….
11, 8, 5, 2, -1, ….
5, 5, 5, 5, 5, ….

d =-3, a n+1 n

d =0, a n+1 =a n

Если в арифметической прогрессии разность положительна (d0) , то прогрессия является возрастающей .
Если в арифметической прогрессии разность отрицательна ( d
В случае , если разность равна нулю ( d=0 ) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной .

Задача
На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.
a 1 =50, d =3
1 числа: 50 т
2 числа: +1 машина (+3 т)
3 числа: +2 машины(+3·2 т)
………………………………………
30 числа:+29 машин(+3·29 т)
a 30 =a 1 +29 d
a 30 =137

Формула n -ого члена
a 1
a 2 =a 1 +d
a 3 =a 2 +d=a 1 +2d
a 4 =a 3 +d=a 1 +3d
…………………… ..
a n =a n-1 +d=a 1 +(n-1)d

a n =a 1 +d (n-1)

Пример
Последовательность ( c n )-арифметическая прогрессия. Найдите c 81 , если c 1 =20 и d =3 .

Пример
Решение:
Воспользуемся формулой n-ого члена
с 81 =с 1 + d (81-1),
c 81 =20+3 ·80,
c 81 =2 60.
Ответ: 260.

Задача.
В арифметической прогрессии четные члены оказались затёрты: 3, …, 7, …, 13…
Можно ли восстановить утраченные числа?
Заметим, что a 3 =a 1 +2 d , a 5 =a 3 +2 d , a 7 =a 5 +2 d и т.д.
Тогда d =( a n+2 -a n ):2 , то есть d =2.
Искомая последовательность
3, 5 , 7, 9 , 13, 15 , …
Можно ли найти пропущенные члены последовательности, не вычисляя разности?

Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Пусть a n – искомый член последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна:
a n -a n-1 =a n+1 -a n ,
2 a n =a n-1 +a n+1 ,
a n =( a n-1 +a n+1 ):2
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов.

Вертикальные стержни имеют такую длину: наименьший 5дм,а каждый следующий на 2 дм длиннее .
1.Записать последовательность в соответствии с условием задачи.
2.Записать эту же последовательность с помощью таблицы.
3.Найти разность d между предыдущим и последующим членами последовательности.
4.Найти среднее арифметическое чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания.

Решение
1. 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17.
2.
3 . - = 2;
- = 2 …
4.
= 5 ; 2; 5; 8

n
a
1
5
2
3
7
9
4
5
11
13
6
7
15
17

Задача
Последовательность ( c n )- арифметическая прогрессия. Найдите c 21 , если c 1 =5,8 и d =-1,5.
Решение:
Воспользуемся формулой n-ого члена
с 2 1 =с 1 + d ( 2 1-1),
c 21 =5,8+(-1,5) · 2 0,
c 21 =-24,2 .
Ответ: -24,2 .

Задача .
Числовая последовательность задана формулой a n =3+5 n , n =1,2,3,…
Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Если да, то какова ее разность?
Решение:
Поскольку a n+1 =3+5( n +1)=3+5 n +5= a n +5 , при всех значениях n , то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы a n+1 = a n +5 разность этой прогрессии равна 5.

Задача
Найти все члены арифметической прогрессии
( ) , обозначенные буквами
; ; - 19 ; - 11,5 ; ; …

Решение
d= - 11 ,5 + 19 = 7,5
= - 19 – 7,5 = - 26,5
= - 26,5 – 7,5 = - 34
= - 11,5 + 7,5 = - 4

Задача.
Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии.
Дано: a 7 =1, a 7 =a 4 -a 2 .
Найти: a 1 .
Решение:
По условию a 7 =a 4 -a 2 , то есть a 7 = 2 d ,
но a 7 =1, поэтому d =0,5 .
a 7 =a 1 +6 d ,
a 1 =a 7 - 6 d ,
a 1 =1-6·0,5,
a 1 =-2

Задания ЕНТ
1. Дана арифметическая прогрессия х-1; 2х-2; - 3
Найдите значение х?
А) 2
В) 0 и 3
С) 1 и 2
Д) 5

Задания ЕНТ
1. Каким членом арифметической прогрессии является число 26, если = - 7,3 и = -6,4
А) 27
В) 28
С) 37
Д) 38
Е) 39

Задания ЕНТ
Найдите в арифметической прогрессии, если
= 21 , = - 1 .
А) 16,6
В) 15,6
С) 16
Д) 18,2
Е) 12,8

Домашнее задание:
пункт 25,
№ 214, №218
Творческое задание:
Составьте задачу на арифметическую прогрессию.

Основные формулы:
Рекуррентный способ задания арифметической прогрессии a n+1 =a n +d
Разность прогрессии d=a n+1 -a n
Формула n -ого члена a n =a 1 +d(n-1)
Характеристическое свойство

Начался XXI- ый век.
Куда стремится человек!
Изучен космос и моря,
Строение звезд и вся земля.
Но нас зовет известный лозунг:
«Прогрессия- движение вперед.»