Решение комбинаторных задач

Тема урока:   Решение  комбинаторных задач

Цель урока : сформулировать первоначальные навыки решения комбинаторных задач.

Задачи урока:

Образовательные:

• Развитие умения решать комбинаторные задачи  ;

• Выработка умения применять математическую теорию в конкретных ситуациях.

 Развивающие:

• Развитие умения самостоятельно выбирать способ решения и умения обосновать выбор;

• Развитие умения решать задачи путём только логических рассуждений;

• Развитие коммуникативных и творческих способностей учащихся;

• Развитие умения делать выбор рационального способа кодирования.

Воспитательные:

• Прививать сознательное отношение к труду;

• Воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы;

• Прививать сознательное отношение к труду.

Оборудование:

• карточки с задачами.

Ход урока.

1.  Организационный момент.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Очень часто в жизни приходится делать выбор, принимать решение. Это сделать очень трудно, не потому что  выбора нет, а  потому что приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.

        Задачи, которые мы сегодня будем решать помогут вам творить, думать необычно, оригинально,   видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая.

        И еще сегодня в очередной раз убедимся, что наш мир полон математики и продолжим исследование на предмет выявления математики вокруг нас.

Актуализация темы и мотивация.

 Давайте решим задачу №1,  

Задача 1. У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. (Учитель вызывает 4 учеников к доске и дает им модели купюр). Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Учитель вызывает «кассира» и дает ему «билеты»). Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?

  Разыгрываем  сценку, с помощью которой можно найти два возможных варианта решения:

1. 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей;

2. 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей .

Задача №2.  Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?

( Учащимся раздаются цветные полоски (белый, синий, красный) и предлагается составить разные варианты флагов ?  

3.Изучение нового материала.

Учитель: При решении этих задач мы осуществили перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят в этих случаях, всех возможных комбинаций. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными. Просчитывать возможные (или невозможные) варианты в жизни приходится довольно часто,  поэтому  полезно познакомиться с комбинаторными задачами,а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

           Определение  учащиеся  записывают в тетрадь:

 Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения заданных элементов по заданным правилам 

  Обычный вопрос в комбинаторных задачах – это «Сколькими способами…?» или

 «Сколько вариантов…?»

Учитель: Давайте еще раз вернемся к задаче о флагах, решим ее используя перебор возможных вариантов:            

                          КБС            КСБ

                          БСК            БКС

                          СБК           СКБ   

Ответ: 6 вариантов.

           Итак, при решении этой задачи мы искали способ перебора возможных вариантов. Во многих случаях оказывается полезным прием  построения картинки – схемы перебора вариантов. Это, во – первых, наглядн , во- вторых, позволяет нам все учесть, ничего не пропустить.

Решение      Флаг

Варианты БСК, БКС, СБК, СКБ, КБС, КСБ.

Ответ: 6 вариантов.

Вопрос, ответ на который должны знать все, какой из представленных вариантов флагов – государственный флаг РФ.

Оказывается, Не только флаг  России имеет эти три цвета. Есть государства, флаги которых, имеют такие же цвета.

КБС – Люксембург и  Нидерланды.

 СКБ- Франция

Учитель: Найдем правило решения таких задач путем логического рассуждения.

Разберем на примере цветных полосок. Возьмем белую полоску – её можно переставить 3 раза, возьмем синюю полоску – её можно переставить только 2 раза, т.к. одно из мест уже занято белой, возьмем красную полоску – её можно положить только 1 раз.

ИТОГО: 3 х 2 х 1=6

Основное правило произведения:

 Правило умножения: если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций будет равно а х b.

Физкультминутка для глаз.

Упражнение « Фигуры».

Нарисовать глазами квадрат, круг, треугольник, овал, ромб по часовой стрелке, а затем – против часовой стрелки. Фигуры можно нарисовать на доске

  4.Практическая часть

Учитель: А теперь перейдем к математическим задачам. (раздаем карточки с задачами)

1. У одного довольно знаменитого мушкетера в гардеробе имеются  3 элегантных шляпы ,4 чудных  плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно составить?  (Выбираем по одному элементу из трех множеств, то есть, составляем «тройку»,  значит, по правилу умножения получаем 3 • 4 • 2 = 24 варианта костюма.)

2. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать? (Всего 11 человек, значит, капитана можно выбрать 11 способами, осталось 10 футболистов, из которых можно выбрать заместителя капитана. Итак, пару капитана  и его заместителя можно выбрать 11 • 10 = 110 способами.)

3. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить повторение цифр?  (Должно получиться двузначное число –  всего две позиции. На первую позицию можно поставить любую из предложенных цифр – 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом возможности повтора цифры, тоже 3 варианта выбора. Значит, пару цифр мы составляем 3 • 3 = 9 способами, т.е. получится 9 чисел.

4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется? (Трехзначное число: первая позиция – 5 вариантов цифр, вторая позиция с учетом исключения повторов цифр - 4 варианта, третья позиция – 3 варианта. Получаем 5 • 4 • 3 = 60 чисел.)

5. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры: а) могут повторяться; б) не могут повторяться? ( а) Двузначное число, как и любое многозначное, не может начинаться с 0, поэтому на первую позицию  можно поставить  лишь 3 из имеющихся 4-х цифр, 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом повтора,  можно поставить любую из цифр – 4 варианта выбора. Поэтому получается 3 • 4 = 12  чисел;   б) Первая позиция – 3 варианта, вторая позиция – 3 варианта, т.к. повтор исключается.  Получаем 3 • 3 = 9 чисел.)

6. Шифр для сейфа состоит из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра? (5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 вариантов.) Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов? (6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 способов.)

7. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено6 приборов? (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способов.)

8. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки – разные?  (8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 вариантов.)

9. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с 0 и 9? (Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всего 10 цифр, исключая по условию 0 и 9 в начале номера, с учетом возможности повтора, получаем  8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 8 000 000 номеров.)

5.Рефлексия

Учитель: Ребята вот и подходит к концу наш урок. Как вы считаете, мы сегодня достигли нашей цели, почему? Что было трудным на уроке и почему?

  Кроме того, ученикам предлагается ответить на 3 блиц - вопроса:

• На сегодняшнем уроке мне было … (легко, обычно, трудно)

• Новый материал я … (усвоил и могу применить, усвоил и затрудняюсь применить, не усвоил)

• Моя самооценка за урок …

Ответы на приведенные вопросы можно не подписывать, т.к. их основная функция помочь учителю проанализировать урок и его результаты

6.Подведение итогов. Выставление отметок

    7.   Домашняя работа:

1) а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

б)  Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что цифры не должны повторяться.

   2) Составить задачу о своем классе.

   3) Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде 3 горизонтальных полос разной ширины, разных цветов – белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой флаг?

Учитель: Итак, я была рада встрече с вами, интересуйтесь математикой, это, несомненно, отразится в положительную сторону в ваших размышлениях и действиях. До свидания!