kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Решение геометрических задач аналитическими методами

Нажмите, чтобы узнать подробности

Элективный курс "Решение геометрических задач аналитическими методами"

Просмотр содержимого документа
«Решение геометрических задач аналитическими методами»













ПРОГРАММА

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА


«РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ»








СОСТАВИТЕЛЬ: СИДЬКО С.Н.

УЧИТЕЛЬ ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ

МОУ СОШ № 5





г. Лермонтов, 2020 г.

  1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.


    • Цель курса.

Ознакомить учащихся с нестандартными задачами, решение которых должно показать единство геометрии, алгебры и математического анализа.

  • Категория учащихся.

Элективный курс рассчитан на учащихся, интересующихся математикой, поможет им углубить свои знания при подготовке к математическим олимпиадам и экзаменам в ВУЗы.

  • Актуальность программы.

Элективный курс позволяет школьникам обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

  • Инвариантность программы.

Программа элективного курса может быть изменена в соответствии с повышением уровня знания школьников.

  • Реалистичность программы.

Программа элективного кура рассчитана на 17 часов аудиторных занятий, включающих в себя как лекционные, так и практические занятия.

  • Предполагаемые формы работы.

Элективный курс предполагает лекционные занятия, в ходе которых слушатели получают необходимые теоретические сведения. На практических занятиях, слушатели получают возможность разобраться в конкретных математических задачах. В качестве отчетности и проверки знаний предусмотрена зачетная работа.



  1. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.


п/п

Наименование тем курса

Всего часов

В том числе

Формы контроля

Лекции

Практика

1

Введение

1

1



2

Решение геометрических задач средствами алгебры и тригонометрии

7

4

3

Самостоятельная работа

3

Применение векторов к решению геометрических задач

4

2

2

Самостоятельная работа

4

Приложение метода координат

5

2

3

Зачетная работа

Итого:

17

9

8

















  1. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ.

ТЕМА 1. ВВЕДЕНИЕ.

Содержание. Решение задач, большинство из которых доступно учащимся. Для их решения могут быть использованы элементарные средства:

  1. Уравнения первой и второй степени;

  2. Тождества;

  3. Неравенства.

А также решение задач на применение векторной алгебры, содержание которых отличается тем, что применение векторов при их решении предпочтительнее, чем использование других средств.

ТЕМА 2. РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ АЛГЕБРЫ И ТРИГОНОМЕТРИИ.

Содержание.

  1. Уравнения первой и второй степени.

  2. Алгебраические преобразования. Тождества и неравенства.

  3. Тригонометрические тождества и уравнения.

  4. Уравнения и неравенства смешанного вида.

  5. Задачи на построение.

  6. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений.

  7. Зависимости между элементами треугольника, четырехугольника.

  8. Смешанные задачи.

ТЕМА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Содержание.

  1. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

  2. Длина вектора. Поворот вектора на 90о.

  3. Скалярное произведение.

  4. Смешанные задачи.



ТЕМА 4.ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ.

Содержание.

  1. Уравнение прямой относительно аффинной системы координат.

  2. Прямоугольная система координат на плоскости. Прямая и окружность.

  3. Смешанные задачи.



  1. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОДЕРЖАНИЮ И ПРОВЕДЕНИЮ ЗАНЯТИЙ.

ТЕМА 1. ВВЕДЕНИЕ.

Лекция,(1 час.)

Решение задач с помощью уравнений (или систем уравнений) обычно производят в такой последовательности:

  1. Вводят переменные, т.е. обозначают буквами x,y,z…неизвестные величины, которые требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

  2. Используя введенные переменные, а также данные в условии задачи числа и соотношения между ними, составляют систему уравнений (или одно уравнение).

  3. Решают эту систему уравнений (или уравнение).

  4. Из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

Решение задач с помощью неравенств, сводится к выведению конкретного неравенства, исходя из условия задачи и доказательству его верности. При решении неравенств используются правила преобразования неравенства в равносильное ему неравенство, а также метод интервалов.

При решении задач с помощью тождеств, ведутся тождественные преобразования.

Векторная алгебра может быть использована при решении широкого класса содержательных геометрических задач:

  • Касающиеся взаимного расположения двух прямых;

  • Принадлежности трех точек одной прямой;

  • Вычисления отношения отрезков параллельных прямых.

Для решения таких задач необходимы лишь действия с векторами, известные из школьного курса геометрии. Особенностью решения многих задач является то, что все привлекаемые для решения векторы откладываются от одной и той же точки, называемой полюсом.

ТЕМА 2. РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ АЛГЕБРЫ И ТРИГОНОМЕТРИИ.

Лекция,(4 часа.)

Тригонометрические функции находят применение при решении самых разнообразных задач. Среди них есть задачи, приводящие к тригонометрическим уравнениям, а также задачи, решаемые путем введения вспомогательных неизвестных. При решении задачи аналитическим методом не требуется остроумных вспомогательных построений, задача сводится к применению формул, решению уравнений, доказательству тождеств.

Пример. Около окружности радиуса r описан правильный двенадцатиугольник А1А2…А12. Доказать, что

| А1А2|+| А1А4|=2r

Решение: Заметим, что если АВ – хорда окружности, r – радиус окружности, и α – величина центрального угла АОВ, то

|АВ|=2Rsin .

Пользуясь этой формулой получаем:

| А1А2|=2Rsin15o, | А1А4|=2Rsin45o, 2r=| А1А6|=2Rsin75o, и задача сводится к доказательству тождества:

sin15o+sin45o=sin75o.

Геометрические задачи на вычисление углов иногда приводят к уравнениям более сложного вида, чем тригонометрические уравнения. Например, одна из частей уравнения может быть линейной функцией неизвестного угла, а другая – тригонометрической функцией того же угла (sinX= X). Уравнения такого рода могут быть решены приближенно графическим методом и методом проб. Иногда целесообразно пользоваться обоими методами.

Задачи на максимум и минимум могут быть решены элементарными средствами, без использования производной. Одни из них сводятся к нахождению наибольшего или наименьшего значения квадратного трехчлена, другие – к исследованию выражения, содержащего тригонометрические функции.

П ример. Из всех цилиндров, вписанных в данный шар, найти тот, который имеет наибольшую площадь боковой поверхности.





α

Решение.

Пусть АВСD – осевое сечение цилиндра,

вписанного в шар радиуса R (см. рис.).

Обозначим через r и h соответственно радиус

основания и высоту искомого цилиндра.

Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна S=2πrh.

Примем величину угла BAC за независимую переменную и обозначим её через α. Выразим S как функцию α. Из прямоугольного треугольника ABC имеем h=2Rsinα, r=Rcosα. Следовательно, S=4πR2sinαcos α, или S=2πR2sin2 α, где 0o o. Отсюда получаем Smax=2πR2 при α=45o.

Осевое сечение цилиндра есть квадрат.

Практические занятия,(3 часа.)

По теме 2 на практических занятиях могут быть предложены следующие задачи:

  1. Основания равнобокой трапеции равны 6см и 4см, а диагональ равна dсм. Найти длины отрезков, на которые диагональ делится точкой пересечения диагоналей.

  2. Наклонная образует с плоскостью угол α. Через основание наклонной проведена в данной плоскости прямая l под углом β к проекции наклонной на плоскости. Найдите угол φ между наклонной и прямой l.

  3. Данный круг разделите прямой на два сегмента так, чтобы их площади относились, как 1:3.

  4. В данный шар вписать цилиндр наибольшего объема.

ТЕМА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Лекция,(2 часа.)

Для любых двух векторов и справедливо неравенство

| + | | |+| |, если и , то знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда векторы и сонаправлены. Это соотношение можно использовать при решении некоторых задач, в которых требуется сравнить длины отрезков.

Пример. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заключающих её сторон.

Решение. Если CD – медиана треугольника ABC, то имеет место равенство:

= ( ).

Так как векторы и не коллинеарны, то 2|CD| = | | CA|+|CB|, откуда |CD| (|CA|+|CB|).

Для решения планиметрических задач, в которых требуется установить перпендикулярность прямых или отрезков, иногда удобно пользоваться операцией поворота вектора на 90o. Направление поворота против часовой стрелки будем считать положительным. Допустим, вектор получен из вектора поворотом его на 90o в положительном направлении. Пусть вектор =i . Множитель i указывает действие поворота, никакого другого смысла в этот множитель вкладывать не следует.

Свойства операции поворота вектора на 90o:

  1. i(k )=k(i ), k – вещественное число;

  2. i( + )= i +i ;

  3. i = ;

  4. i(i )=- .

Практические занятия,(2 часа.)

По теме 3 на практических занятиях могут быть предложены следующие задачи:

  1. Точка пересечения средних линий четырехугольника совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Докажите, что четырехугольник – параллелограмм.

  2. На плоскости даны точки A и B. Найдите множество точек С плоскости, для которых | |= | - |.

  3. Докажите, что сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей правильного n – угольника равна n2R2, где R – радиус описанной около многоугольника окружности.

ТЕМА 4.ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ.

Лекция,(2 часа)

В курсе алгебры средней школы изучается прямоугольная система координат на плоскости. При решении задач, касающихся взаимного расположения прямых, принадлежности трех точек одной прямой, и некоторых других более удобной является другая система координат, называемая аффинной. Дадим описание аффинной системы координат на плоскости и выведем основные формулы, необходимые для решения задач координатным методом. Пусть на плоскости заданы две прямые, пересекающиеся в точке О. Выберем на одной из них точку Е1, а на другой – точку Е2, отличные от О. Обозначим = и = .

Совокупность точки O и упорядоченной пары векторов , называется аффинной системой координат. Точка О называется началом координат, направленные прямые ОЕ1 и ОЕ2 – осями координат, а векторы и - базисными векторами. В частном случае, когда | |=| |=1 и угол Е1ОЕ2=90o, получим прямоугольную систему координат.

Действия над векторами, заданными своими координатами относительно аффинной системы координат, выполняются по следующим правилам:

если {x1;y1} и {x2;y2}, то:

  1. + =( x1 +x2; y1+ y2 );

  2. - =( x1 -x2; y1- y2 );

  3. p =( px1;py1), где p- действительное число.

Практические занятия,(3 часа)

По теме 4 на практических занятиях могут быть предложены следующие задачи:

  1. На сторонах АС и ВС треугольника АВС строятся соответственно точки М и N так, что . Найдите множество середин отрезков MN.

  2. В плоскости прямоугольника АВСD дана точка M. Докажите, что

|MA|2+|MC|2=|MB|2+|MD|2.

3. Найдите радиус сферы описанной около тетраэдра АВСD с прямым трехгранным углом при вершине D, если |DA|=а, |DB|=b, |DC|=c. Укажите положение центра сферы относительно граней тетраэдра.


5. ЛИТЕРАТУРА.



  1. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии.

  2. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Векторы и их применение в геометрии.

  3. Васильев Н.Б., Гуттенмахер В.Л. Прямые и кривые.

  4. Кречмар В.А. Задачник по алгебре.

  5. Шклярский Д.О. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум.



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Планирование

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Решение геометрических задач аналитическими методами

Автор: Сидько Светлана Николаевна

Дата: 16.02.2020

Номер свидетельства: 539941

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(61) "Подготовка к ЕГЭ. Решение задач С1"
    ["seo_title"] => string(40) "podghotovka-k-iege-rieshieniie-zadach-s1"
    ["file_id"] => string(6) "273172"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1452164650"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(84) "Конспект урока математики. 4 класс. Виды углов."
    ["seo_title"] => string(41) "konspiekturokamatiematiki4klassvidyughlov"
    ["file_id"] => string(6) "271780"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1451768931"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(114) "Программа по работе с одаренными детьми "Абсолютная величина" "
    ["seo_title"] => string(67) "proghramma-po-rabotie-s-odariennymi-diet-mi-absoliutnaia-vielichina"
    ["file_id"] => string(6) "117638"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1412861219"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(151) "Индивидуально-групповые консультации по математике в 8 классе по подготовке к ГИА "
    ["seo_title"] => string(89) "individual-no-ghruppovyie-konsul-tatsii-po-matiematikie-v-8-klassie-po-podghotovkie-k-gia"
    ["file_id"] => string(6) "195544"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1427913510"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(36) "ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ "
    ["seo_title"] => string(21) "vielikiie-matiematiki"
    ["file_id"] => string(6) "137827"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1417438812"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства