Решение геометрических задач аналитическими методами

ПРОГРАММА

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

«РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ»

СОСТАВИТЕЛЬ: СИДЬКО С.Н.

УЧИТЕЛЬ ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ

МОУ СОШ № 5

г. Лермонтов, 2020 г.

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

• Цель курса.

Ознакомить учащихся с нестандартными задачами, решение которых должно показать единство геометрии, алгебры и математического анализа.

• Категория учащихся.

Элективный курс рассчитан на учащихся, интересующихся математикой, поможет им углубить свои знания при подготовке к математическим олимпиадам и экзаменам в ВУЗы.

• Актуальность программы.

Элективный курс позволяет школьникам обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

• Инвариантность программы.

Программа элективного курса может быть изменена в соответствии с повышением уровня знания школьников.

• Реалистичность программы.

Программа элективного кура рассчитана на 17 часов аудиторных занятий, включающих в себя как лекционные, так и практические занятия.

• Предполагаемые формы работы.

Элективный курс предполагает лекционные занятия, в ходе которых слушатели получают необходимые теоретические сведения. На практических занятиях, слушатели получают возможность разобраться в конкретных математических задачах. В качестве отчетности и проверки знаний предусмотрена зачетная работа.

1. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.

№ п/п	Наименование тем курса	Всего часов	В том числе		Формы контроля
			Лекции	Практика
1	Введение	1	1
2	Решение геометрических задач средствами алгебры и тригонометрии	7	4	3	Самостоятельная работа
3	Применение векторов к решению геометрических задач	4	2	2	Самостоятельная работа
4	Приложение метода координат	5	2	3	Зачетная работа
Итого:		17	9	8

1. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ.

ТЕМА 1. ВВЕДЕНИЕ.

Содержание. Решение задач, большинство из которых доступно учащимся. Для их решения могут быть использованы элементарные средства:

1. Уравнения первой и второй степени;

2. Тождества;

3. Неравенства.

А также решение задач на применение векторной алгебры, содержание которых отличается тем, что применение векторов при их решении предпочтительнее, чем использование других средств.

ТЕМА 2. РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ АЛГЕБРЫ И ТРИГОНОМЕТРИИ.

Содержание.

1. Уравнения первой и второй степени.

2. Алгебраические преобразования. Тождества и неравенства.

3. Тригонометрические тождества и уравнения.

4. Уравнения и неравенства смешанного вида.

5. Задачи на построение.

6. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений.

7. Зависимости между элементами треугольника, четырехугольника.

8. Смешанные задачи.

ТЕМА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Содержание.

1. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

2. Длина вектора. Поворот вектора на 90^о.

3. Скалярное произведение.

4. Смешанные задачи.

ТЕМА 4.ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ.

Содержание.

1. Уравнение прямой относительно аффинной системы координат.

2. Прямоугольная система координат на плоскости. Прямая и окружность.

3. Смешанные задачи.

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОДЕРЖАНИЮ И ПРОВЕДЕНИЮ ЗАНЯТИЙ.

ТЕМА 1. ВВЕДЕНИЕ.

Лекция,(1 час.)

Решение задач с помощью уравнений (или систем уравнений) обычно производят в такой последовательности:

1. Вводят переменные, т.е. обозначают буквами x,y,z…неизвестные величины, которые требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2. Используя введенные переменные, а также данные в условии задачи числа и соотношения между ними, составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3. Решают эту систему уравнений (или уравнение).

4. Из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

Решение задач с помощью неравенств, сводится к выведению конкретного неравенства, исходя из условия задачи и доказательству его верности. При решении неравенств используются правила преобразования неравенства в равносильное ему неравенство, а также метод интервалов.

При решении задач с помощью тождеств, ведутся тождественные преобразования.

Векторная алгебра может быть использована при решении широкого класса содержательных геометрических задач:

• Касающиеся взаимного расположения двух прямых;

• Принадлежности трех точек одной прямой;

• Вычисления отношения отрезков параллельных прямых.

Для решения таких задач необходимы лишь действия с векторами, известные из школьного курса геометрии. Особенностью решения многих задач является то, что все привлекаемые для решения векторы откладываются от одной и той же точки, называемой полюсом.

ТЕМА 2. РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ АЛГЕБРЫ И ТРИГОНОМЕТРИИ.

Лекция,(4 часа.)

Тригонометрические функции находят применение при решении самых разнообразных задач. Среди них есть задачи, приводящие к тригонометрическим уравнениям, а также задачи, решаемые путем введения вспомогательных неизвестных. При решении задачи аналитическим методом не требуется остроумных вспомогательных построений, задача сводится к применению формул, решению уравнений, доказательству тождеств.

Пример. Около окружности радиуса r описан правильный двенадцатиугольник А₁А₂…А₁₂. Доказать, что

| А₁А₂|+| А₁А₄|=2r

Решение: Заметим, что если АВ – хорда окружности, r – радиус окружности, и α – величина центрального угла АОВ, то

|АВ|=2Rsin .

Пользуясь этой формулой получаем:

| А₁А₂|=2Rsin15^o, | А₁А₄|=2Rsin45^o, 2r=| А₁А₆|=2Rsin75^o, и задача сводится к доказательству тождества:

sin15^o+sin45^o=sin75^o.

Геометрические задачи на вычисление углов иногда приводят к уравнениям более сложного вида, чем тригонометрические уравнения. Например, одна из частей уравнения может быть линейной функцией неизвестного угла, а другая – тригонометрической функцией того же угла (sinX= X). Уравнения такого рода могут быть решены приближенно графическим методом и методом проб. Иногда целесообразно пользоваться обоими методами.

Задачи на максимум и минимум могут быть решены элементарными средствами, без использования производной. Одни из них сводятся к нахождению наибольшего или наименьшего значения квадратного трехчлена, другие – к исследованию выражения, содержащего тригонометрические функции.

П ример. Из всех цилиндров, вписанных в данный шар, найти тот, который имеет наибольшую площадь боковой поверхности.

α

Решение.

Пусть АВСD – осевое сечение цилиндра,

вписанного в шар радиуса R (см. рис.).

Обозначим через r и h соответственно радиус

основания и высоту искомого цилиндра.

Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна S=2πrh.

Примем величину угла BAC за независимую переменную и обозначим её через α. Выразим S как функцию α. Из прямоугольного треугольника ABC имеем h=2Rsinα, r=Rcosα. Следовательно, S=4πR²sinαcos α, или S=2πR²sin2 α, где 0^{o o}. Отсюда получаем S_max=2πR² при α=45^o.

Осевое сечение цилиндра есть квадрат.

Практические занятия,(3 часа.)

По теме 2 на практических занятиях могут быть предложены следующие задачи:

1. Основания равнобокой трапеции равны 6см и 4см, а диагональ равна dсм. Найти длины отрезков, на которые диагональ делится точкой пересечения диагоналей.

2. Наклонная образует с плоскостью угол α. Через основание наклонной проведена в данной плоскости прямая l под углом β к проекции наклонной на плоскости. Найдите угол φ между наклонной и прямой l.

3. Данный круг разделите прямой на два сегмента так, чтобы их площади относились, как 1:3.

4. В данный шар вписать цилиндр наибольшего объема.

ТЕМА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Лекция,(2 часа.)

Для любых двух векторов и справедливо неравенство

| + | | |+| |, если и , то знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда векторы и сонаправлены. Это соотношение можно использовать при решении некоторых задач, в которых требуется сравнить длины отрезков.

Пример. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заключающих её сторон.

Решение. Если CD – медиана треугольника ABC, то имеет место равенство:

= ( ).

Так как векторы и не коллинеарны, то 2|CD| = | | CA|+|CB|, откуда |CD| (|CA|+|CB|).

Для решения планиметрических задач, в которых требуется установить перпендикулярность прямых или отрезков, иногда удобно пользоваться операцией поворота вектора на 90^o. Направление поворота против часовой стрелки будем считать положительным. Допустим, вектор получен из вектора поворотом его на 90^o в положительном направлении. Пусть вектор =i . Множитель i указывает действие поворота, никакого другого смысла в этот множитель вкладывать не следует.

Свойства операции поворота вектора на 90^o:

1. i(k )=k(i ), k – вещественное число;

2. i( + )= i +i ;

3. i = ;

4. i(i )=- .

Практические занятия,(2 часа.)

По теме 3 на практических занятиях могут быть предложены следующие задачи:

1. Точка пересечения средних линий четырехугольника совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Докажите, что четырехугольник – параллелограмм.

2. На плоскости даны точки A и B. Найдите множество точек С плоскости, для которых | |= | - |.

3. Докажите, что сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей правильного n – угольника равна n²R², где R – радиус описанной около многоугольника окружности.

ТЕМА 4.ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ.

Лекция,(2 часа)

В курсе алгебры средней школы изучается прямоугольная система координат на плоскости. При решении задач, касающихся взаимного расположения прямых, принадлежности трех точек одной прямой, и некоторых других более удобной является другая система координат, называемая аффинной. Дадим описание аффинной системы координат на плоскости и выведем основные формулы, необходимые для решения задач координатным методом. Пусть на плоскости заданы две прямые, пересекающиеся в точке О. Выберем на одной из них точку Е₁, а на другой – точку Е₂, отличные от О. Обозначим = и = .

Совокупность точки O и упорядоченной пары векторов , называется аффинной системой координат. Точка О называется началом координат, направленные прямые ОЕ₁ и ОЕ₂ – осями координат, а векторы и - базисными векторами. В частном случае, когда | |=| |=1 и угол Е₁ОЕ₂=90^o, получим прямоугольную систему координат.

Действия над векторами, заданными своими координатами относительно аффинной системы координат, выполняются по следующим правилам:

если {x₁;y₁} и {x₂;y₂}, то:

1. + =( x₁ +x₂; y₁+ y₂ );

2. - =( x₁ -x₂; y₁- y₂ );

3. p =( px₁;py₁), где p- действительное число.

Практические занятия,(3 часа)

По теме 4 на практических занятиях могут быть предложены следующие задачи:

1. На сторонах АС и ВС треугольника АВС строятся соответственно точки М и N так, что . Найдите множество середин отрезков MN.

2. В плоскости прямоугольника АВСD дана точка M. Докажите, что

|MA|²+|MC|²=|MB|²+|MD|².

3. Найдите радиус сферы описанной около тетраэдра АВСD с прямым трехгранным углом при вершине D, если |DA|=а, |DB|=b, |DC|=c. Укажите положение центра сферы относительно граней тетраэдра.

5. ЛИТЕРАТУРА.

1. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии.

2. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Векторы и их применение в геометрии.

3. Васильев Н.Б., Гуттенмахер В.Л. Прямые и кривые.

4. Кречмар В.А. Задачник по алгебре.

5. Шклярский Д.О. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум.