Программа элективного курса "Комплексные числа"

Элективный курс по математике 10-11 класс

Тема: «Комплексные числа»

(34 часа)

Составила: Учитель математики МКОУ «СОШ №15»

г. Благодарного Поцепун Татьяна Ильинична

Комплексные числа (34 часа)

Пояснительная записка.

Элективный курс для профильной подготовки учащихся 10-11 классов, посвящен комплексным числам. Данная тема вообще не изучается в средней школе и понятие числа остается не завершенным. Восполнить этот пробел, призван данный элективный курс. Именно в этом курсе завершается расширение понятия числа, обосновывается необходимость этого и доказывается, что дальнейшее расширение невозможно. Чтобы фраза «уравнение не имеет решений в действительных числах» не была голословной, а выражение «уравнение n-й степени имеет n-корней» была подтверждена практическими заданиями, необходимо изучить с учащимися тему: «Комплексные числа». Эту тему целесообразно изучать в 10-11 классе после изучения тригонометрии, т.к. большое значение имеет тригонометрическая форма комплексного числа. Этот курс преследует несколько целей, в частности расширить понятие числа, научить учащихся находить корни из отрицательных чисел и на исторических и современных примерах показать применение этих «мнимых» чисел.

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний. Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее необходимость выполнения вычитания – к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались невыполненными на этом множестве операции извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении новых чисел в отличие от действительных. Такие числа были названы комплексными, имеющие вид а+bi, где а и bесть действительные числа. Отказываться изучать выражения данного вида лишь потому, что символ i не есть действительное число, означало бы допустить очень большое торможение в развитии алгебры, развитии её методов, многие алгебраические действия остались бы невыполненными. Например, нельзя было бы выполнить действие извлечения корня 6-й степени из отрицательного числа. Учение о числах вида а+bi и теории, развитые на основе этого учения, оказались мощным средством, позволившим успешно решить крупнейшие теоретические и практические проблемы. Например, знаменитый русский ученый Николай Егорович Жуковский блестяще использовал эти теории для расчета крыльев самолета. Эти теории с огромным успехом применяются в электротехнике, гидромеханике, аэромеханики, теории упругости и во многих других отделах естествознания и техники. Необходимость изучения данного курса также состоит том, что при решении упражнений на повторение в 11 классе по учебнику Ш.А.Алимова предлагается выполнить задания с комплексными числами, но теоретический материал в 10 – 11 классах по этой теме не рассматривается. Все свойства, входящие в элективный курс, и их доказательства не вызовут трудности у уча­щихся, т.к. не содержат громоздких выкладок. 

При изучении теории комплексных чисел применяются опорные конспекты, предусмотрено использование интерактивной доски и индивидуальная работа учащихся по усвоению теории.

Цели курса:

- расширить кругозор  учащихся непосредственных связей школьной программы математики с наукой и ее приложениями;

- сформировать представление о теории комплексных чисел.

Задачи курса:

- познакомить учащихся с понятием комплексного числа; научить выполнять основные арифметические операции на множестве комплексных чисел;

- сформировать умение решать упражнения по данной теме;

- показать необходимость знаний данного курса в развитии математики и во многих отделах техники и естествознания;

-овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения на практике, изучения смежных дисциплин ( физики), продолжения образования и сознательного выбора профессии;

- показать прикладную значимость математики.

- развивать интеллектуальные способности, логическое мышление;

Программа (34 часа)

Комплексные числа.

Тема 1.

Постановка задачи о расширении поля действительных чисел. Комплексные числа, алгебраическая форма комплексного числа.

Тема 2.

Четыре действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Тема 3.

Векторы на плоскости как изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа и связь между ними.

Тема 4.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел заданных в тригонометрической форме. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Тема 5.

Решение двучленных уравнений 3-й и 4-й степени с действительными коэффициентами. Алгебраическое уравнение n-й степени.

Тема 6.

Исторические замечания.

Учебно-тематический план

№ Темы	Наименование разделов и тем	Кол-во часов	Дата провед.
1.	Комплексные числа Тема 1. Числовые поля Постановка задачи о расширении поля действительных чисел Алгебраическая форма комплексного числа	34 1 1 1
2.	Тема 2. Основные понятия Сложение комплексных чисел. Противоположные числа. Вычитание комплексных чисел. Умножение комплексных чисел. Деление комплексных чисел.	1 1 1 1
3.	Тема 3. Комплексные числа как аффиксы точек. Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Выражение модуля и аргумента комплексного числа в зависимости от составляющих.	1 1 1 1
4.	Тема 4. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Возведение в степень. Общее определение корня и извлечение корня из комплексного числа. Соответствие между сложением и вычитанием комплексных чисел и векторов. Задачи. Комплексные числа как изображения физических величин.	1 1 1 1 1 1 1
5.	Тема 5. 19)Извлечение корней квадратных из отрицательных чисел. Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами. 20)Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами. 21)Двучленные уравнения 4-й степени с действительными коэффициентами. 22)Алгебраическое уравнение n-й степени.	1 1 1 1
6.	Тема 6. 23) Исторические замечания. Прошлое и настоящее комплексных чисел.	1
7.	Проверка усвоения знаний(контрольная работа, тестирование)	1
8.	Составление проектов. Самостоятельная работа дома.	10

Основное содержание курса

1.Алгебраическая форма комплексного числа

Примеры:

1. (1+i)⁴ = [(1+i)²]² = (1+2i + i²)² = (1+2i-1)² = (2i)² = 4i² = 4 (-1) = -4;

2. (1+i)³ = 1+3i+3(i)²+(i)² = 1+3i-9-3i = -8;

3. (2+3i)(3+2i) = 6+4i+9i+6i² = 6+13i-6 = 13i;

4. (2+3i)(2-3i) = 2²-(3i)² = 4+9 = 13.

2. Четыре действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение

(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i.

Вычитание

(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i

Умножение

(a+bi) (c+di) = ac+bdi²+adi+bci = (ac-bd)+(ad+bc)i.

(a+bi) (a-bi) = a² - (bi)² = a²-b²i² = a²+b².

Произведение двух сопряженных комплексных чисел есть действительное неотрицательное число.

Деление

(Здесь предполагалось, что c+di≠0, т.к. делить на нуль невозможно.)

3. Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел.

Комплексное число a+bi изображается вектором

На рисунке 1 векторы ,,, изображают комплексные числа: 1+3i; -2+I; 4-2i; -3-3i; 5+0i; -5+0i; 0+5i; 0-5i.

рис1.

Модуль комплексного числа

|a+bi| =

|1+i| = ;

|-1-i| = ;

|0+0i| = 0;

|3-4i| = 5;

|3+0i| = = 3 = |3|;

|-3+0i| = =3=|-3|;

|a+0i| = = |a|.

Из последних трех равенств видно, что модуль действительного числа равен абсолютному значению этого действительного числа:

|0+5i| = 5;

|0-5i| = 5;

|bi| = |b|;

|i| = 1.

Отсюда видно, что модуль чисто мнимого числа равен абсолютному значению коэффициента при i.

Нуль есть единственное комплексное число, модуль которого равен нулю.

Аргумент комплексного числа

рис2.

Примеры.

Построив векторы, соответствующие комплексным числам:

1+i; 1-i; -1+i; -1-i; (рис2.), легко видеть что arg(1+i)=; arg(1-i)=;

a

rg(-1+i)=; arg(-1-i)=.

Рис3.

Построив векторы, соответствующие числам 4+0i; -4+0i; 0+2i; 0-2i; (рис3),

легко видеть, что arg(4+0i)=arg4=0;

arg(-4+0i)= arg(-4)=π;

arg(0+2i)=arg2i=;

arg(0+2i)=arg(-2i)=-.

4. Тригонометрическая форма комплексного числа

a=r cosφ и b= r sinφ

a+bi=r cosφ+ir sinφ=r (cosφ+i sinφ)

Выражение r (cosφ+i sinφ) называется тригонометрической формой комплексного числа в отличие от формы a+bi, называемой алгебраической.

Примеры преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую

1+i=(cos+ i sin );

1-i=[cos(-)+i sin (-)];

1= cos0 + sin0;

-1= cosπ +i sinπ;

i= cos+i sin;

+3i= 2(cos+i sin ).

Очевидно, что

r(cosφ+i sinφ) = r[cos(φ+2kπ) + i sin(φ+2kπ)]

Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны друг другу тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную π.

Следовательно, если

r₁ (cosφ₁+i sinφ₁) = r₂ (cos φ₂+ isin φ₂),

1. r₁=r₂ и 2) φ₂ = φ₁ +2kπ.

Умножение

[r₁(cos φ₁+isin φ₁)] [r₂(cos φ₂+isinφ₂)]=r₁r₂(cosφ₁ cosφ₂ - sinφ₁ sin φ₂+isinφ₁ cosφ₂ + icos φ₁ sin φ₂) = r₁r₂[cos(φ₁₊ φ₂)+isin(φ₁+ φ₂)]

Литература.

1. Е.С. Кочетков, Е.С. Кочеткова. «Алгебра и элементарные функции» часть 2, «Просвещение» Москва, 1966г.

2. С.И. Туманов «Элементарная алгебра» «Просвещение» Москва – 1970г

3. М.Б. Балк, Г.Д. Балк «Математика после уроков» «Просвещение» Москва – 1971.

4. И.С. Петраков «Математические кружки в 8-10 классах» «Просвещение» Москва – 1987г.

5. Н.Е. Федорова, М.Б. Ткачева «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» «Методические рекомендации для учителя» - М: Мнемозима 2002г.