Переход к стандартному виду

Стандартный вид числа

Любая десятичная дробь может быть записана в виде a,bc... · 10^k. Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.

Сегодня мы научимся приводить к такому виду любую десятичную дробь. Заодно убедимся, что подобная запись — это уже «перебор», и никаких преимуществ в большинстве случаев она не дает.

Для начала — небольшое повторение. Как известно, десятичные дроби можно умножать не только между собой, но и на обычные целые числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»). Особый интерес представляет умножение на степени десятки. Взгляните:

Задача. Найдите значение выражения: 25,81 · 10; 0,00005 · 1000; 8,0034 · 100.

Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:

Для первого выражения: 25,81 · 10.

1. Значащие части: 25,81 → 2581 (сдвиг вправо на 2 цифры); 10 → 1 (сдвиг влево на 1 цифру);

2. Умножаем: 2581 · 1 = 2581;

3. Суммарный сдвиг: вправо на 2 − 1 = 1 цифру. Выполняем обратный сдвиг: 2581 → 258,1.

Для второго выражения: 0,00005 · 1000.

1. Значащие части: 0,00005 → 5 (сдвиг вправо на 5 цифр); 1000 → 1 (сдвиг влево на 3 цифры);

2. Умножаем: 5 · 1 = 5;

3. Суммарный сдвиг: вправо на 5 − 3 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 5 → ,05 = 0,05.

Последнее выражение: 8,0034 · 100.

1. Значащие части: 8,0034 → 80 034 (сдвиг вправо на 4 цифры); 100 → 1 (сдвиг влево на 2 цифры);

2. Умножаем: 80 034 · 1 = 80 034;

3. Суммарный сдвиг: вправо на 4 − 2 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 80 034 → 800,34.

Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:

1. 25,81 · 10¹ = 258,1;

2. 0,00005 · 10³ = 0,05;

3. 8,0034 · 10² = 800,34.

Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10^k (где k 0) равносильно сдвигу десятичной точки вправо на k разрядов. Именно вправо — ведь число увеличивается.

Аналогично, умножение на 10^−k (где k 0) равносильно делению на 10^k, т.е. сдвигу на k разрядов влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения: 2,73 · 10; 25,008 : 10; 1,447 : 100;

Во всех выражениях второе число — степень десятки, поэтому имеем:

1. 2,73 · 10 = 2,73 · 10¹ = 27,3;

2. 25,008 : 10 = 25,008 : 10¹ = 25,008 · 10⁻¹ = 2,5008;

3. 1,447 : 100 = 1,447 : 10² = 1,447 · 10⁻² = ,01447 = 0,01447.

Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например: 137,25 = 13,725 · 10¹ = 1,3725 · 10² = 0,13725 · 10³ = ...

Стандартный вид числа — это выражения вида a,bc... · 10^k, где a, b, c, ... — обычные цифры, причем a ≠ 0. Число k — целое.

Примеры:

1. 8,25 · 10⁴ = 82 500;

2. 3,6 · 10⁻² = 0,036;

3. 1,075 · 10⁶ = 1 075 000;

4. 9,8 · 10⁻⁶ = 0,0000098.

Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.